八年级数学下册 23.3 矩形、菱形与正方形（第1课时）（原卷版）

第第页23.3矩形、菱形与正方形（第1课时）23.3导入：在本节中，我们将研究几类特殊的四边形——矩形、菱形与正方形.在小学阶段，我们已经了解过长方形与正方形，其中长方形就是我们将要介绍的矩形.矩形及其性质1.矩形的定义定义四个内角都是直角的四边形叫作矩形.生活中有很多矩形的实例，如黑板、教科书、地砖，它们的边框都可以看作矩形.如图23-3-2,在矩形ABCD中，由矩形的定义，可知∠A=∠B=∠C=∠D=90°.所以∠A+∠B=180°,∠A+∠D=180°,所以AD//BC,AB//CD,即矩形ABCD的两组对边平行.根据平行四边形的定义，可知矩形必然是平行四边形.所以，矩形是一种特殊的平行四边形.矩形的性质①从对称的角度分析矩形：a.矩形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点；b.矩形也是轴对称图形，其对称轴是每组对边的中点连接的线段所在的直线（两条直线）。②矩形具有平行四边形的所有性质：简述为对边分别平行且相等；对角相等；对角线相互平分。③定义性质：矩形的四个内角都是直角④定理矩形的两条对角线相等定理证明如图23-3-3,已知：四边形ABCD是一个矩形，AC、BD是它的对角线.求证：AC=BD.因为矩形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理1,得AB=DC.又因为∠ABC=∠DCB=90°,BC=CB,所以△ABC≌△DCB.所以AC=BD.矩形的判定问题：由于矩形是四个内角均为直角的平行四边形，那么对于平行四边形而言，有几个角是直角就能保证它是一个矩形呢?1.定理1有一个内角是直角的平行四边形是矩形.定理证明如图23-3-5,已知：在平行四边形ABCD中∠A=90°.求证：平行四边形ABCD是一个矩形.因为四边形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理2,得∠A=∠C,∠B=∠D.由多边形的内角和定理，得∠A+∠B+∠C+∠D=360°,又因为∠A=90°,所以∠C=90°,2∠B=180°.所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°.由矩形的定义，得平行四边形ABCD是一个矩形.引入：如果一个平行四边形是矩形，那么它的对角线相等.这个命题的逆命题也是真命题.由此，又得到矩形的一个判定定理：2.定理2对角线相等的平行四边形是矩形.定理证明如图23-3-6,已知：在平行四边形ABCD中，AC=BD.求证：平行四边形ABCD是一个矩形.因为四边形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理1,得AB=DC.又因为AC=BD,BC=CB,所以△ABC≌△DCB.所以∠ABC=∠DCB.由平行四边形的定义，知AB//DC,进而∠ABC+∠DCB=180°.所以∠ABC=90°.由矩形的判定定理1,得平行四边形ABCD是一个矩形.题型1：矩形的性质的辨析1．下列图形性质中，矩形不一定具有的是（

）A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形2．下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（

）A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．对角线相等 D．对角相等3．下列关于矩形的说法，正确的是（

）A．矩形的对角线互相垂直 B．矩形的对角线平分一组对角C．矩形的邻边一定不相等 D．矩形的邻边互相垂直题型2：根据矩形的性质求角度Ⅰ4．如图，已知矩形，对角线，交于点，下列说法不正确的是（

）A． B． C． D．5．如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于()A．110° B．115° C．120° D．125°6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（

）A．30° B．60° C．90° D．120°7．如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（

）A． B． C． D．题型3：根据矩形的性质求角度Ⅱ8．如图，直线，矩形的顶点A、D分别在直线b、a上，若，则的度数为（

）A． B． C． D．9．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（

）A． B． C． D．10．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（

）A． B． C． D．11．如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．12．在矩形中，对角线、相交于点，的角平分线交于点，若，则（

）A． B． C． D．题型4：根据矩形的性质求长度Ⅰ13．线段为矩形的对角线，若，则的长为．14．如图，矩形中，对角线，相交于点O，且，则的长为．15．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是．16．如图所示，矩形的两条对角线相交于点，则矩形的对角线的长是．17．矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则矩形的对角线长为．18．矩形的对角线与相交于点，若，，则的长为（

）A． B． C． D．题型5：根据矩形的性质求长度Ⅱ19．如图，在矩形中，点E在上，且平分．若，则．20．如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（

）A． B． C． D．21．如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（）A．1 B．5 C．2 D．22．如图，在矩形中，，，对角线和交于点，过点作垂直于，交于点，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．223．如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边，那么点到矩形的两条对角线的距离和等于（）A． B． C． D．题型6：根据矩形的性质求面积24．如图，矩形的周长为，对角线相交于点O，若比的周长多2，则该矩形的面积为（

）A． B． C． D．25．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作，点E恰好为的中点，，则矩形的面积为．26．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，则的面积为（

）A．3 B．6 C．1.5 D．227．如图，矩形中，对角线与相交于点O，过点C作，垂足为点E．若，．则矩形的面积为（

）A．24 B．12 C．10 D．8题型7：折叠问题28．如图，将矩形沿折叠，点B落在边上的点F处．若，，则的长度为（

）A．10 B．11 C．12 D．1329．如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（

）A． B． C． D．30．如图把一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与相交于点，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．题型8：矩形的判定31．下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是（

）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等 D．一组邻边相等32．下列说法中，不正确的是（

）A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一组邻角相等的平行四边形是矩形C．有一组对角互补的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形33．如图，在中，对角线相交于点O．添加下列条件不能判定为矩形的是（

）A． B． C． D．题型9：添加一个条件成为矩形34．在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（

）A． B． C． D．35．如图，要使平行四边形成为矩形，需要增加的一个条件可以是（

）A． B． C． D．36．如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（

）A． B． C． D．题型10：矩形的判定与性质综合37．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（

）

A． B． C． D．38．如图，在平行四边形中，，，，则（

）A． B． C． D．39．如图，在四边形中，，，，四边形对角线交于点O，，，四边形的面积为（

）A．60 B．90 C．120 D．15040．如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（

）A．5 B．4 C． D．3题型11：解答证明题41．如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：．42．如图，在中，，为边的中点，以，为邻边作，连接，，求证：四边形是矩形．43．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为．已知，求的度数．44．如图，在中，，为边上的中线，点E为中点，过点A作，交的延长线于点F，连接．求证：四边形为矩形．45．如图，在四边形中，，．对角线、相交于点O，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求四边形的面积．46．如图，四边形是矩形，对角线、相交于点O，，交的延长线于点E．(1)求证：；(2)若，，求四边形的面积．47．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求矩形的面积48．在长方形中，．(1)如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长．(2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长：(3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当三点在同一直线上时，请直接写出的长．一、单选题1．下列性质中，矩形一定具有的是（

）A．四边相等 B．对角线垂直 C．邻边相等 D．对角线相等2．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，则的长为（

）A．4 B．8 C． D．3．矩形的对角线交于点O，且，的周长为23，则矩形的两条对角线的和是（

）A．18 B．28 C．36 D．464．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积为（

）A．4 B．8 C．12 D．165．已知四边形的对角线相交于点，则下列条件中不能判定它是矩形的是（

）A．B．C．D．6．如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（

）A． B． C． D．二、填空题7．如图，在矩形中，，则的长是．8．如图，要使成为矩形，应添加的条件是（只填一个）．9．如图，矩形中，直线垂直平分，与，分别交于点，若，，则矩形的对角线的长为．

10．如图，矩形中于，若，则度．11．如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是°．12．如图，矩形中，交于点O，，，点M在边上，且，点P是上的动点，连接，当是等腰三角形时，的长为．三、解答题13．如图，在平行四边形中，过点D作于点F，点E在边上，，连接．求证：四边形是矩形．14．如图，在中，D是的中点，E是的中点．过点B作交的延长线于点F．连接．

(1)求证：；(2)如果，试判断四边形的形状．15．如图，中，，平分，，．(1)求证：四边形是