2025-2026学年湖南省衡阳市衡阳县高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省衡阳市衡阳县高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据1，2，4，5，7，10的第40百分位数为(

)A.2 B.2.4 C.3 D.42.已知复数z=1−i，则z+i1+i=(

)A.1−i2 B.1+i2 C.1−i 3.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|x3=3x2A.{0,1} B.{0,2} C.{1,2} D.{0,1,2}4.不等式x−3x+1≤3的解集是(

)A.{x|−3≤x≤−1} B.{x|−3≤x<−1}

C.{x|x≤−3或x>−1} D.{x|x≤−3或x≥−1}5.某班要从3名男生和4名女生中选出3人参加学校的演讲比赛，要求至少有1名女生参加，则不同的选法共有(

)A.30种 B.31种 C.34种 D.35种6.已知等差数列{an}的通项公式为an=3n−2，在{an}中每相邻两项之间都插入A.2025 B.2026 C.2027 D.20287.设函数f(x)=3sinωx+cosωx(ω>0)，若f(x+2π)=f(x)恒成立，且存在x0∈[0,π8]A.1 B.2 C.3 D.48.已知抛物线E：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，与y轴平行的直线与l和E分别交于点A，B，且(AB+AF)⊥BF，若△ABFA.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4=30，aA.−2 B.12 C.2 D.10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=(x+2)e−x−2，则A.当x>0时，f(x)=(x−2)ex+2

B.f(x)的图象是一条连续不断的曲线

C.f(x)的图象在x=2处的切线方程为e2x−y−211.已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上且位于第一象限，过点P作∠F1PF2的平分线交x轴于点M，过点F1A.|PF1|=|PQ| B.ON//PQ

C.存在点P，使得点Q与C的下顶点重合 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(2,1)，b=(x,3)，a⋅b=1，则|13.已知函数f(x)=(x+a)(x+4)2的极小值点为x=−2，则f(x)<0的解集为

．14.在三棱锥A−BCD中，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=CD=3，BD=1，若A，B，C，D四点都在同一个表面积为13π的球的球面上，则AC=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记a2+c2−b2=k，△ABC的面积为S．

(1)若B=60°，求Sk的值；

(2)若16.(本小题15分)

已知双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3，且C经过点A(0,2)．

(1)求C的方程；

(2)过点D(1,1)作直线l与C交于P，17.(本小题15分)

如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，DD1⊥底面ABCD，下底面ABCD是边长为4的正方形，上底面A1B1C1D1是边长为3的正方形，M，N分别是AD，CD18.(本小题17分)

某果园的精品苹果成箱包装，每箱100个.每箱苹果在交付客户之前要对苹果作检验，如检验出坏果，则更换为好果.检验时，先从这箱苹果中任取10个作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有苹果作检验.设每个苹果为坏果的概率都是0.2，且各个苹果是否为坏果相互独立．

(1)记10个苹果中检验出的坏果数量为Y，若k=k0时，P(Y=k)的值最大，求k0．

(2)现对一箱苹果检验了10个，结果恰有(1)中所得的k0个坏果.已知每个苹果的检验费用为2元，若有坏果流入市场，则果园要对每个坏果支付15元的赔偿费用．

(i)若不对该箱余下的苹果作检验，这一箱苹果的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−alnx−a，a∈R．

(1)当a=e时，求f(x)的最小值；

(2)若f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围；

(3)在第(2)问的条件下，记f(x)的两个零点为x1，x2，证明：x1x2>1．

附：当1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】CD

10.【答案】ABC

11.【答案】ABD

12.【答案】8913.【答案】(−∞,−4)∪(−4,−1)

14.【答案】1015.【答案】34

△ABC为等边三角形，理由如下：由(1)知k=2accosB=40，所以accosB=20，

又S=12acsinB=103，所以acsinB=203，两式相除，可得tanB=acsinBaccosB=3，

因为B∈(0,π)，所以B=π3，所以ac=16.【答案】y24−17.【答案】连接BD，B1D1，记BD与MN交于P，与AC交于O，连接D1P，

因为M，N分别是AD，CD的中点，则DP=12OD，

又因为正方形ABCD边长为4，所以BP=34BD=32，DP=2，

因为正方形A1B1C1D1边长为3，则B1D1=32，

因为四棱台ABCD−A118.【答案】2

(i)290；(ii)应该对该箱余下的所有苹果作检验

19.【答案】0

(e,+∞)

因为f′(x)=ex−ax=xex−ax，

令F(x)=xex−a，则F′(x)=(1+x)ex>0，所以F(x)在(0,+∞)上单调递增，

由(2)知a的取值范围为(e,+∞)，所以F(1)=e−a<0，