2025-2026学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）期末数学试卷一、填空题1．已知，，则．2．已知复数满足，则．3．已知圆锥的高为4，底面半径为3，则圆锥的侧面积为．4．如图，△是水平放置的△的斜二测直观图，若，，则△的面积为．5．设，，则向量在方向上的投影向量的坐标为．6．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有条．7．已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．8．如图所示，为梯形，，，，现在将这个图形绕着直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的体积是．9．已知复数满足，则的最小值为．10．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是．11．已知平面向量，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则的最小值为．12．如图，正方体绕直线旋转，直线旋转至直线，则直线与直线所成角的大小为．二、单选题13．已知，为非零向量，命题和命题，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．已知直线、和平面、，且，，则下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则15．设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（）A． B． C． D．16．如图，在棱长为2的正方体中，点、分别在线段和上，给出下列命题：①有且仅有一条直线与垂直；②存在点、，使△为等边三角形，则（）A．①、②均为真命题 B．①、②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题三、解答题17．已知向量与的夹角为，，，求：（1）；（2）若，求实数的值．18．已知，为虚数单位，复数．（1）当复数为纯虚数时，求的值；（2）已知，，当时，若是关于的方程的一个根，求与的值．19．如图，四边形为长方形，平面，，．（1）若、分别是、的中点，求证：平面；（2）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由．20．（17分）已知函数为奇函数，且的周期为．（1）求的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域；（3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：，，，，．试确定的值，并求的值．21．如图，在矩形中，，，是线段上的一动点，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段上．（1）当点与点重合时，①证明：平面；②求二面角的余弦值；（2）设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值．

参考答案一、填空题1．．2．．3．4．12．5．．6．3．8．．9．2．10．③④．11．．12．．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：（1）因为，，与的夹角为，所以，所以，所以．（2）因为向量与互相垂直，所以，所以，即，解得．18．解：（1）因为为纯虚数，所以，解得．（2）时，．因为是方程的一个根，所以代入得：，则，解得，．20．解：（1）由于函数周期，且，可得，可得，又为奇函数，可得，可得，又因为，可得，所以函数；（2）将的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，当时，可得，当，即时，函数取得最小值，最小值为，当，即时，函数取得最大值，最大值为，所以在区间上的值域为；（3）由方程，可得，因为，所以，设，则，，作出正弦函数的图象如图所示，由图可知方程在区间上有3个根，所以，其中，，即，，解得：，，所以．21．解：（1）①证明：当点与端点重合时，由可知，由题意知平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，可知，，平面，平面，所以平面．②过作于点，连接．因为平面，平面，所以，因为，，，所以平面，所以所以为二面角的平面角，且在四边形中，、、三点共线．因为，由几何关系可得所以在△中，即二面角的余弦值为．（2）过点作交于，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，过作于点，连接．由②同理可得平面，平面，所以平面平面，作，垂足为，由平面平面，平面，可得平面，连接，是直线与平