河北省邢台市部分高中2026届高三数学下学期二模试题【含答案】

一、单选题1．已知，则（

）A． B．2 C． D．32．已知集合则（

）A． B． C． D．3．某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（

）A．乙车间产量的中位数为6月份的产量B．甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差C．甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值D．甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数4．已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（

）A． B． C． D．5．已知数列的前项和为，且，则“”是“数列为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．如图，为圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，弦与交于点.已知圆柱的高为1，侧面积为.若且M恰为DE的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A． B．C． D．7．已知函数，.若与的图象恰好有4个不同的交点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知是抛物线上一点，点，在轴上，的内切圆的方程为，则面积的最小值为（

）A．42 B．56 C．72 D．88二、多选题9．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于点对称 B．C．在上单调递增 D．是偶函数10．已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（

）A． B．C．函数的图象关于点对称 D．11．已知数列满足则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．可能为等比数列C．若为等差数列，则 D．若，的前n项和为，则三、填空题12．已知向量，若，则__________.13．已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，离心率为过且斜率为的直线交的左支于两点，为线段的中点，，则____.14．已知函数的图象上存在点P，Q，使得以线段PQ为直径的圆经过坐标原点O，且圆心在y轴上，则实数a的取值范围是________.四、解答题15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)判断的形状并证明；(2)若，M为边AB上一点，且，求CM.16．如图，在四棱台中，，，⊥平面，四边形ABCD为平行四边形，点E在棱上，且//平面(1)证明:;(2)若平面平面，，求二面角的正弦值.17．某商场在春节期间举办促销活动，顾客每次消费超过1000元(含1000元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(顾客只能选择其中一种).方案1：从装有3个红球、2个黑球(除颜色外，其他完全相同)的盒子中，有放回地取3次球，每次只能取1个，每取出1个红球，立减200元，若3次都取出红球，则除了立减的600元外再减300元(即总共减900元).方案2：从装有3个红球、2个黑球(除颜色外，其他完全相同)的盒子中，不放回地取3次球，每次只能取1个，若取出3个红球，则享受免单优惠；若取出2个红球，则享受四五折优惠(即只需支付消费金额的45%)；其余情况不享受优惠.(1)已知某参与抽奖的顾客选择方案2，则在他第一次取出红球的条件下，求他能够享受优惠的概率；(2)若某顾客恰好消费了1000元，试从实付金额的期望值角度，分析他应该选择哪种抽奖方案.18．已知函数(1)求f(x)的单调区间;(2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；(3)证明:19．已知椭圆的焦点分别为，过的直线交于两点.当轴时，为等边三角形.(1)求的方程.(2)设为直线上的动点.①若轴，证明：直线过定点；②若为的左顶点，为上异于的一点，且三点共线，，证明:三点共线.参考答案1．A【详解】因为，所以，则2．B【详解】，所以.3．D【详解】一共11个月的产量数据，中位数是将产量从小到大排序后的第个数据，对乙车间产量排序后，第6个数据是月份的产量，不是6月份，A错误；甲车间产量极差约为，乙车间产量极差约为，甲的极差小于乙的极差，B错误；观察折线图，除9月、10月外，其余月份甲车间产量均高于乙车间，整体估算可得甲产量平均值大于乙的平均值，C错误；第80百分位数为，根据百分位数计算可知第80百分位数是排序后的第9个数据，从小到大排序后，甲的第9个数据约为3.85，乙的第9个数据约为3.6，甲的第80百分位数大于乙，D正确.4．B【详解】由题意知，，解得，展开式通项公式为，令，则，所以.5．C【详解】当时，，当时，，当时，，要使数列为递增数列，则，即，解得；若，则一定满足且，数列递增，充分性成立；若数列递增，则必有，必要性成立；所以“”是“数列为递增数列”的充要条件.6．A【详解】设圆柱的底面半径为，则其侧面积，解得.连接，则，所以，易知，所以.以为坐标原点，平面内过点且与垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，即，则，取，得.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.7．C【详解】由可知，为偶函数，又也为偶函数，故与的图象恰好有4个不同的交点等价于方程恰好有2个不同的正根，显然，所以与函数图象有2个不同的交点，，当时，单调递增；当时，单调递减；所以，当时；当时，所以，所以，故实数a的取值范围为8．C【详解】设、、，则，即，，即，由圆心为，半径为，则到直线、距离都为，即有，，整理得，，即、是关于的方程的两根，故，，由的内切圆的方程为，可得，即，则，则，令，则，当且仅当，即时，等号成立，故面积的最小值为.9．ACD【详解】；对A：当时，，由关于点对称，故的图象关于点对称，故A正确；对B：，故不恒成立，故B错误；对C：当时，，由在上单调递增，故在上单调递增，故C正确；对D：，由为偶函数，故为偶函数，故D正确.10．ABD【详解】因为是偶函数，所以，则，所以函数的图象关于直线对称，由两边求导得，得，令，则，A正确；因为函数为偶函数，所以，所以，所以函数的图象关于对称，所以函数，则，所以，则，故，B正确；因为的周期为，且，故，所以，为常数，因此，由，所以，则，由，故，故，即，所以函数的图象关于直线对称，C错误；因为，所以，且，又，所以，则，综上，，所以，D正确.11．AD【详解】对A，时，，，，，，数列为以2为周期的周期数列，所以，故A正确；假设是等比数列，公比为，则，所以，即，由代入，可得，即，由代入可得，把代入，即，因为，，所以不存在使得，即不可能为等比数列，故B错误；若为等差数列，设公差为，则，代入可得，若对任意，为常数，该常数必为1（由可得），此时要求为4的正整数倍，所以，所以不能得到，所以C错误；当时，所以数列是以1为首项，8为公差的等差数列，所以，所以，当时，，故，所以当时，也成立，综上成立，故D正确.12．【详解】因为，所以，又因为，所以，即.13．3【详解】双曲线离心率​​，平方得​，整理得，，左焦点，设，为中点，则，设直线斜率为，，故，代入​​，结合，则，联立解得：​又在双曲线上，满足，将​代入，即满足，代入​，消去后整理得：，解得或，在双曲线左支，，若，，符合要求；若​，，在右支，舍去，又，得.14．.【详解】不妨令，，因为PQ为直径，圆心在y轴上，故PQ中点横坐标为，根据中点坐标公式可知，又圆过原点，故，即，代入计算得，又点P，Q在函数图象上，当时，则均在图像上，将点P，Q代入方程得，化简为，无实数解，故必在不同分支上，即故，，代入整理得令，则，令，解得当，单调递增，值域为，故；当，在取最大值，值域为，故，综上，的取值范围是.15．(1)等腰三角形或直角三角形(2)或【详解】（1）由正弦定理和已知条件可得，变形得，于是有，则即或即，故为等腰三角形或直角三角形.（2）依题意可知为角的角平分线，利用可得，即，当为等腰三角形时，，由余弦定理可得即，所以，当为直角三角形时，且，得，所以，综上所述或.16．(1)证明见解析(2)二面角的正弦值为【详解】（1）证明：连接，由题意知，则，故，，，四点共面.又平面平面，平面，所以.又，所以四边形为平行四边形，故.由已知及四棱台的结构特征可得，所以，所以.（2）因为⊥平面，平面，所以，，又因为平面平面，平面平面，所以⊥平面，又平面，故.又，所以四边形为正方形.如图，以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的法向量为，则，令，得.设平面的法向量为，则，令，得.，所以二面角的正弦值为17．(1)(2)选择方案2更合理，理由见解析【详解】（1）设他第一次摸出红球为事件A，则.设他能够享受优惠为事件B，剩余球为2红2黑，则第一次摸出红球，剩下两球均为红色的情况有种，第一次摸出红球，剩下两球为1红1黑的情况有种，综上，，所以第一次摸出红球，他能够享受优惠的概率为；（2）若选方案1，设实付金额数为，则的可能值为.注意到有放回地摸到一次红球的概率为，摸到一次黑球的概率为，则，，，.则；若选方案2，设实付金额数为，则的可能值为.由（1）可得无放回摸出三球的情况有种，则，，，则.因，则他选择方案2更合理.18．(1)的单调递减区间为，单调递增区间为(2)(3)证明见解析.【详解】（1）由题意得的定义域为，令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）已知，则化简得，在上单调递增.即在上恒成立.求导得，即在上恒成立.由（1）知当时，，当且仅当时等号成立，故当时，，当且仅当时等号成立，所以当时，的最小值为，故，即实数的取值范围为.（3）由(1)知当时，，即；当时，，即.令，则.①当时，，所以.令，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以当时，，所以.②当时，，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以当时，，故在上单调递增，所以当时，.综上，.19．(1)(2)①证明见解析，②证明见解析.【详解】（1）由题意知椭圆焦点，故，且，当轴时，，代入椭圆方程得​，故，因为为等边三角形，到直线的距离为，等边三角形