黑龙江大庆中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷

学校 姓名 班级 考号 1．已知集合𝐴=𝑥|𝑦=ln𝑥，𝐵=𝑦|𝑦=𝑥2+1，则𝐴∩𝐵=（A．(0,+ C．[1,+ a是实数，则“0<𝑎<1”是“方程𝑥2+𝑦2−2𝑎𝑥+2𝑎2−1=0表示圆”的（充分而不必要条 B．必要而不充分条C．充要条 已知𝑎>0,𝑏>0，则（A．𝑎2+𝑏2> ．𝑎+𝑏≥C．𝑎+𝑏

．𝑎+𝑏4．已知幂函数𝑓(𝑥)=(𝑎2+3𝑎−3)𝑥2在(0,+∞)上单调递减，则𝑓(3)=（ 5．函数𝑦=(2𝑥+2−𝑥)⋅ln𝑥2的图象大致为 B．C．D．6．将函数𝑓(𝑥)=cos2𝑥 的图象向右平移𝜑(𝜑>0)个单位长度后，所得图象对应的函为奇函数，则𝜑的最小值为 (𝑎−2)𝑥+3𝑎−6,𝑥≤7．已知𝑎>0且𝑎≠1，函数𝑓(𝑥)=

𝑎𝑥,𝑥> 对任意实数𝑥1，𝑥2(𝑥1≠𝑥2)有(𝑥1−𝑥2)𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)>0成立，则实数𝑎的范围是（A．(2,+ B．|2𝑥−1|,𝑥≤

D．2,8．设函数𝑓(𝑥)=−𝑥7,𝑥>2，若互不相等的实数𝑎，𝑏，𝑐，满足𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)=𝑓(𝑐)2𝑎+2𝑏+2𝑐的取值范围是（ 9．下列函数在区间(0上单调递增的有（A．𝑓(𝑥)=

B．𝑓(𝑥)=ln(𝑥+C．𝑓(𝑥)=2𝑥 D．𝑓(𝑥)=10△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且cos𝐵

𝑏，则（A．𝐵=

B．若𝑎=4且△𝐴𝐵𝐶有两解，则

<𝑏<C．若sin𝐶=2sin𝐴，则𝑏=3𝑎 D．若𝑏=1，则△𝐴𝐵𝐶面积最大值为311．已知函数𝑓(𝑥)=ln(1+𝑥)𝑥，𝑥>−1．令𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)，−1<𝑥<1，则下列说法正确的是（）A．𝑓(𝑥)在𝑥=0𝑔(𝑥)为偶函数，且𝑔(𝑥)≥C．方程𝑔(𝑥)=1在区间(−1,1)D．对任意𝑥(−1,1)，都有𝑔(𝑥)<12．已知向量𝑎=(1,2)，𝑏=(4,3)，则𝑎在𝑏方向上的投影向量的模 13．已知函数𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的偶函数，且当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)单调递增，则关于𝑥𝑓(𝑥−1)<𝑓(1)的解集

𝐹．已知双曲线𝐶:2−2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点分别为

上，𝐹1𝐴⊥𝐹𝐵,𝐹𝐴=−2𝐹2𝐵，则𝐶的离心率 15．已知等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑆4=3𝑆2，𝑎3=(1)求数列{𝑎𝑛}(2)若𝑏𝑛=2𝑛+1，令𝑐𝑛=𝑎𝑏𝑛，求数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和某中学教师对该校高二年级学生期中考试的数学成绩（总分100分）进行统计分析.在整个年级中随机抽取了20040505060，60707080809090100，共6组，得到如图所示的频率分布直方80分为优秀.求这200求这200如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑃𝐴⊥𝑃𝐷，𝑃𝐴=𝑃𝐷，𝐴𝐵⊥𝐴𝐵=1，𝐴𝐷=2，𝐴𝐶=𝐶𝐷=求证：𝑃𝐷平面 2 2

𝑦2=

(𝑎>𝑏>0)的离心率为2，且与直线𝑥

=0求𝐶设一动直线𝑙不经过坐标原点𝑂，与𝐶交于𝑀，𝑁两点，且𝑂𝑀𝑂𝑁求𝑂𝑀𝑁19．已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥ln𝑥1（𝑎𝑅，𝑔(𝑥)=𝑥(e𝑥讨论函数𝑓(𝑥)(2)若𝑦=𝑔(𝑥)的图像在𝑥=0处的切线𝑙与𝑦=𝑓(𝑥)的图像相切，求实数𝑎(3)当𝑎=1时，证明：对任意的𝑥∈(0,+∞)，𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥)14．35/3 15．(1)𝑎𝑛=2𝑛+(2)𝑇𝑛=(2𝑛−1)2𝑛+2​𝐸(𝑋)=可得𝐴𝐵⊥平面𝑃𝐴𝐷，则𝐴𝐵⊥𝑃𝐷，又因为𝑃𝐴𝑃𝐷，𝐴𝐵𝑃𝐴=𝐴，𝐴𝐵,𝑃𝐴平面𝑃𝐴𝐵，所以𝑃𝐷⊥平面𝑃𝐴𝐵.18．(1)𝑥2+𝑦2= (2)（ⅰ）设直线𝑙的斜率存在，其方程为𝑦=𝑘𝑥𝑚(𝑚≠𝑦=𝑘𝑥+联立𝑥2+𝑦2=1，消去𝑦得(1+2𝑘2)𝑥2+4𝑘𝑚𝑥+2𝑚2−4=0 则𝛥=(4𝑘𝑚)2−4(1+2𝑘2)(2𝑚2−4)>

化简得4𝑘−𝑚+2>0，1+𝑥2= ,𝑥1𝑥2 因为𝑂𝑀⊥𝑂𝑁，所以𝑂𝑀⋅𝑂𝑁=0，即𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2=0，而𝑦1𝑦=(𝑘𝑥+𝑚)(𝑘𝑥+𝑚)=𝑘2𝑥𝑥+𝑘𝑚(𝑥𝑥)+𝑚2，代入得(1+𝑘2)𝑥𝑥+𝑘𝑚(𝑥+𝑥)+𝑚2=0，1 1 1 1

+𝑚2=0整理得3𝑚2−4𝑘2−4=0，所以3𝑚2=4(𝑘2+1)，满足4𝑘2−𝑚2+2>所以点𝑂到直线𝑙的距离𝑑=

由3𝑚2=4(𝑘2+1)，得

=2当直线𝑙的斜率不存在时，设𝑙：𝑥=𝑡，代入椭圆方程得𝑦2=

22则𝑀(𝑡,𝑦),𝑁(𝑡,−𝑦)，由𝑂𝑀⊥𝑂𝑁，得22即𝑡2=

，解得

=3⇒|𝑡|

，所以𝑑=

，仍然成立综上，点𝑂到直线𝑙的距离为定值219．(1)当𝑎0时，𝑓(𝑥)在(0上单调递增；当𝑎0时，𝑓(𝑥)在(0,−1)在(−1,+∞)(2)𝑎=(3)证明：当𝑎=1时，𝑓(𝑥)=𝑥+ln𝑥+1,𝑥>0，要证明对任意的𝑥(0，𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥)恒成立，即证明𝑥ln𝑥1<𝑥(e𝑥1)，即ln𝑥1<𝑥e𝑥=eln𝑥e𝑥=令ℎ(𝑡)=e𝑡−𝑡−1，则ℎ′(𝑡)=e𝑡−1，令ℎ′(𝑡)=0，得𝑡=0，所以当𝑡<0时，ℎ′(𝑡)<0,ℎ(𝑡)单调递减；当𝑡>0时，ℎ′(𝑡)>0,ℎ(𝑡)