湖北省孝感2025-2026学年高二数学上学期11月期中试题（一）【含答案】

湖北省孝感2025-2026学年高二数学上学期11月期中试题试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.与直线垂直的直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由垂直两直线斜率关系以及斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由题意得直线，即的斜率为，则与直线垂直的直线的斜率为，设与直线垂直的直线的倾斜角为，则，因为，所以.故选：D2.以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题中条件，得到圆的半径，进而可得圆的方程.【详解】以点为圆心且与轴相切的圆的半径为，故圆的标准方程是.故选：C.3.已知空间两点，向量满足，则实数的值为（）A.0 B.1 C.0或1 D.不存在【答案】A【解析】【分析】求出的坐标，根据空间向量的平行关系，列式求解，即得答案.【详解】已知，则，因为，，所以，解得.故选：A4.下列说法正确的是（）A.某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖B.频率是概率的稳定值，概率是频率的近似值C.连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地均匀D.通过设计模拟实验的方法研究某地下雨概率.由计算机产生的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为【答案】D【解析】【分析】由概率的定义及概率与频率的关系判断A、B，根据描述分析判断C，应用列举法求古典概型的概率判断D.【详解】A：中奖概率为，并不是买1000张这种彩票一定能中奖，错误；B：概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，错误；C：由10次掷骰子都出现1点，说明骰子的质地可能不均匀，错误；D：由题意，满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9种情况，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为，正确.故选：D5.如图，三棱锥中，为线段OA上靠近的三等分点，，点为MN的中点，记，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】连接ON，应用向量加法、数乘的几何意义，以为基底表示出，即可得.【详解】连接ON，由，则是的中点，又点为MN的中点，所以，所以.故选：B6.射覆是汉代流行的占卜游戏，将物品藏于容器中让人猜测.《汉书·东方朔传》记载其玩法，通过概率猜对获得奖品，与现代彩票的随机性逻辑相近.假设甲、乙、丙是汉代的三位射覆游戏参与者，且甲、乙、丙每次进行猜测时，猜中与否是等可能的.若甲、乙、丙各猜测1次，则这3人中恰有1人猜中的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设甲、乙、丙猜中分别记为事件，结合题设写出相关事件的概率值，再由独立事件乘法公式、互斥事件的加法求概率.【详解】设甲、乙、丙猜中分别记为事件，由题意得，所以这3人中恰有1人猜中的概率为.故选：C7.设空间向量.若不能构成空间向量的一组基底，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得到共面，再由共面定理得到关于的方程组有解，逐一检验各选项即可求解.【详解】若不能构成空间向量的一组基底，则共面，则，使得，即，则关于的方程组有解，当时，方程组为，无解，故A错误；当时，方程组为，无解，故B错误；当时，方程组为，故C正确；当时，方程组为，无解，故D错误；故选：C8.若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得方程有且仅有两个不同的实数根，将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况，再用数形结合，先求出相切时的斜率，再得到有两个交点的情况.【详解】关于的方程有且仅有两个不同的实数根，所以，即方程有且仅有两个不同的实数根，将方程转化为：半圆与直线有两个不同交点，当直线与半圆相切时，有，解得，所以半圆与直线有两个不同交点时.直线一定过，由图象知直线过时直线的斜率取最大值为1，.故选：A二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）9.某公交公司有公交车50辆，按车型大小分为大巴车与中巴车2种，按燃油类型分为汽油车与柴油车2种，其车辆数如表所示.项目汽油车柴油车合计大巴车102030中巴车51520合计153550记事件为“在该公司公交车里随机选一辆，选到大巴车”，事件为“在该公司公交车里随机选一辆，选到汽油车”.下列说法正确的是（）A.事件的对立事件为“在该公司公交车里随机选一辆，选到中巴车”B.事件与事件互斥C.D.事件与事件相互独立【答案】AC【解析】【分析】根据对立事件、互斥事件的概念可判断A和B；利用古典概型公式可判断C；根据乘法公式判断D.【详解】对于A，事件M的对立事件为“在该公司公交车里随机选一辆，选到的不是大巴车”，即“在该公司公交车里随机选一辆，选到中巴车”，故A正确；对于B，由于存在既是大巴车又是汽油车的车，故事件M与事件N可能同时发生，从而不是互斥事件，故B错误；对于C，总车辆数为50，大巴车30辆，汽油车15辆，则，故C正确；对于D，总车辆数为50，既是大巴车又是汽油车的车数为10，则，结合选项C可知，故事件M与事件N不相互独立，故D错误，故选：AC.10.已知以为方向向量且过点的直线与以为圆心，半径为1的圆，若点为直线上的一个动点，下列说法正确的是（）A.直线与圆没有交点B.与直线平行且截圆的弦长为的直线为C.若点为圆上的动点，则的最小值为D.过点作圆的两条切线，切点分别为S，T，则的最大值为【答案】AD【解析】【分析】求出圆心到直线的距离可判断A；设与直线平行直线方程为，根据圆的弦长公式可求出c，判断B；结合圆的性质可求的最小值判断C；结合圆的切线性质可求出的最大值，判断D.【详解】A选项，由题意知圆C的方程为，圆心为，半径为1，直线l的方程为，则圆心到的距离为，故直线与圆相离，A正确；B选项，设与直线平行直线方程为，则圆心到的距离为，直线截圆的弦长为，得，解得，故，解得或，故与直线平行且截圆的弦长为的直线为或，B错误；C选项，由A知直线与圆相离，故圆心到直线的距离减去半径为的最小值，由A可知，圆心到直线的距离为，故的最小值为，C错误；D选项，如图，,由题意可知，与相互垂直，因为，，所以求出的最大值，则求的最小值，当时，取得最小值，取得最大值，最大值为，因为为锐角，所以的最大值为的最大值为，D正确，故选：AD11.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（）A.B.点到直线CQ的距离是C.平面ECG与平面的夹角正弦值为D.异面直线CQ与所成角的正切值为【答案】BCD【解析】【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用表示出判断A，构建合适的空间直角坐标系并标注出相关点坐标，应用向量法求点线距离、面面、线线角判断B、C、D.【详解】，即，A错误；以为原点建立空间直角坐标系，则所以设，则点到直线CQ的距离，B正确；设面ECG的法向量为，面的法向量为，所以，取，则，，取，则，，C正确；所以，则，D正确.故选：BCD三、填空题（共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上）12.直线，直线，若，则___________.【答案】【解析】【分析】由两直线垂直的条件列方程求解．【详解】由题意可得，解得.故答案为：13.从集合中任取两个不同的数s，t，则的概率为__________.【答案】【解析】【分析】分别求出从集合中任取两个不同的数的样本空间的样本点个数和满足事件“”的样本点个数即可由古典概型计算求解.【详解】从集合中任取两个不同数所得样本空间为，共有6个样本点，记事件“”，则满足事件A的样本点为，共4个样本点，所以所求概率为.故答案为：14.在体积为36的长方体中，面是边长为3的正方形，E，F，G分别是棱上的点，其中为棱的中点，且面面是矩形ABCD内一动点，则当取最小值时直线与平面EFG所成角的正弦值为__________.【答案】0【解析】【分析】根据已知求出相关线段长度，再建立合适的空间直角坐标系并标注出相关点坐标，根据已知分别求出平面EFG的法向量和，最后应用向量法求线面角的正弦值.详解】由题意，，，如图，以方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，所以，因为平面EFG平面，则平面EFG的法向量，即为平面的法向量，设平面的法向量，则，取，则，设，则，所以，由于，则时取得最小值，为，此时N为，则，则直线与平面所成的角的正弦值为.故答案为：0四、解答题（本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.美国男子职业篮球联盟（NBA）每支队伍有5名主力队员，按场上位置可分为后卫队员与锋线队员两种类型，其中2名后卫队员（标号为1和2），3名锋线队员（标号为3、4和5），新赛季开始前联盟要抽检队员的身体健康状况，从5名主力队员中依次随机抽取2名进行检查，设事件“第一次抽到后卫队员”，事件“第二次抽到锋线队员”，事件“抽到的2名队员类型相同”，事件的对立事件为.（1）用集合的形式写出试验的样本空间，并求出；（2）求和.【答案】（1）样本空间见解析，（2）【解析】【分析】（1）利用列举法可以写出样本空间，根据古典概型以及对立事件的概率公式即可得答案；（2）根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【小问1详解】由题设可得：，，中共有20个基本事件.Q中含有的基本事件为：共8个基本事件，故.【小问2详解】事件中含有的基本事件为：，共14个基本事件，故.MN中含有的基本事件为：，共6个基本事件，故.16.已知直线经过两点，，原点在直线的斜上方且到的距离为.（1）求直线和直线的方程；（2）已知直线在轴和轴上的截距互为相反数，且直线经过直线与直线的交点，求直线的方程.【答案】（1）直线的方程为，的方程为；（2）或.【解析】【分析】（1）应用两点求斜率，再由点斜式写出为，根据垂直关系，可设为，利用点线距离列方程求参数，即可得方程；（2）首先求出直线与的交点，讨论的截距是否为0，结合截距式，分别求出对应满足条件的直线方程.【小问1详解】直线的斜率为，所以直线的方程为，即，设直线的斜率为，而，所以，则，可设直线的方程为，原点到直线的距离，解得，因为原点在直线的斜上方，则，所以直线的方程为；【小问2详解】联立，得，所以直线与的交点坐标为，当直线过原点时，设为，则，则直线为，即，当直线不过原点时，设为，则，得，则直线为，综上，直线的方程为或.17.如图，在倒放的体积为8的直三棱柱中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，.（1）证明：平面AMN；（2）求与平面PMN所成角的正弦值；（3）求点到平面AMN的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，结合已知求出相关线段长，再标注出相关点的坐标，应用向量法得、，最后由线面垂直的判定证明结论；（2）分别求出与平面PMN方向向量和法向量，应用向量法求线面角的正弦值；（3）应用向量法求点到平面的距离即可.【小问1详解】由题可知在直三棱柱中，则两两垂直，，故，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，底面是腰长为2的等腰直角三角形，所以，由，则，在，则，所以点为的中点，又，则点是的中点，则，所以，由，则，由，则，由，且AM，AN都在平面AMN内，则平面AMN；【小问2详解】设平面PMN的一个法向量，所以，取，则，所以，故与平面PMN所成角的正弦值为；【小问3详解】由（1）知平面AMN的一个法向量为，且，所以点到平面AMN的距离.18.央视智力快车栏目自开播以来就以比赛的公平性、竞争的激烈性、知识的权威性在中国同类电视竞赛中独占鳌头，深受电视观众欢迎，特别是在中学生当中具有极高的人气.高二学生小华参加节目并挑战“猜字谜”环节，该环节可以挑战3次.每次挑战中他最多依次有3道题的答题机会，答对1题得5分，答错1题扣3分.若他答对当前题则继续回答下一题；若他答错当前题则失去下一题的答题机会，只能从下一题的后一题开始继续作答，直到3道题出现完，该次挑战结束.小华初始分为0分，若1次挑战结束后，累计得分不低于7分，则小华该次挑战成功，否则该次挑战失败.已知小华答对任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：（1）第1次挑战结束时，小华恰好共答对了2道题的概率；（2）第1次挑战结束时，小华累计得分为正数概率；（3）小华直到第3次才挑战成功的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）设为小华答对第题，其中，小华共答对2道即小华前2题答对且第3题答错，所以，利用相互独立事件求解；（2）小华累计得分为正数，则可能3道题全答对，前2题答对且第3题答错，第1道答对第2道错或第1道错第3道对，由概率的加法公式和事件独立性的定义求解；（3）若小华挑战成功，则小华共作答了3道题，所以“小华挑战成功”是“小华恰好作答了2道题”对立事件，小华作答2题为第1道错或第1道对第2道错，利用概率的加法公式和事件独立性的定义求解其概率，小华直到第3次才