天津市南开中学滨海生态城学校2025-2026学年高一下学期期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津市南开中学滨海生态城学校高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共12小题，共60分。1.复数的虚部是（）A.1 B.-i C.i D.-12.已知：向量=（1，2），=（-2，m），若∥，则实数m的值为（）A.4 B.-4 C.1 D.-13.已知直线m,n与平面α，β，γ，下列命题中错误的是（）A.若m⊥α，nα，则m⊥n

B.若αβ，β​​​​​​​γ，m⊥α，则m⊥γ

C.若α∩β=m,nm,则n​​​​​​​α

D.若m⊥α，n⊥β，mn,则α​​​​​​​β4.M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，直线MN与平面ABD的位置关系为（）A.平行

B.相交

C.相交或平行

D.无法判断

5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC的形状是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定的6.在平行四边形ABCD中，点G为△BCD的重心，则=（）A. B. C. D.7.在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且，，D在边BC上（不包含端点）.若，则的最小值是（）A.2 B.4 C.6 D.88.中国雕刻技艺举世闻名，今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（）A. B. C.6 D.9.如图所示的玻璃容器可以看成是由一个轴截面是正方形的圆柱和一个半球组合而成，如图放置时，向容器内装水，若水的高度是容器高度的一半，现将容器倒置，则水的高度与容器高度的比值为（）A.

B.

C.

D.10.已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（）A.[0，1]

B.

C.[1，2]

D.[-1，1]

11.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则点F在侧面CDD1C1上的轨迹长度为（）A.4

B.

C.

D.12.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点P，Q，M，N分别是AB1，CC1，A1C1，BC的中点，下列结论正确的个数是（）

①PQ∥平面ABC

②MN⊥BC

③FQ⊥平面ABB1A1

④PQ与MN相交A.1

B.2

C.3

D.4二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。13.若复数，则|z|=

.14.把水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法，得到如图所示的直观图A′B′C′D′，其中B′C′=2A′D′=6，A′B′=1，则四边形ABCD的面积为

.

15.已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是

.16.已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为

.17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若，，，则△ABC的面积为

.18.已知正四棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm,侧棱长为，则它的体积为

cm3.19.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积是

cm3.20.已知梯形ABCD面积为，，，E为DC上靠近点C的四等分点，G为线段BE上一点，且满足，则λ=

.|AG|的最小值为

.三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.(本小题10分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知（b+c）2=a2+bc,csinB=bsinA.

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）求sinC的值；

（Ⅲ）求cos（2A+C）的值.22.(本小题10分)

如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为6cm,高为20cm,圆锥母线为10cm.

（1）计算该模型的体积.

（2）现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？23.(本小题15分)

如图，在三棱锥P-ABC中，AP=AB，M，N分别为棱PB，PC的中点，BC⊥平面PAB.

（1）求证：BC∥平面AMN；

（2）求证：AM⊥平面PBC.24.(本小题15分)

如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，AB=4，EF=1，ED=EA，H为CD的中点，M为BH的中点，EM⊥BH，.​

（Ⅰ）求证：AB∥EF；

（Ⅱ）求证：平面AME⊥平面ABCD；

（Ⅲ）求五面体ABCDEF的体积.

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】B

10.【答案】A

11.【答案】D

12.【答案】C

13.【答案】

14.【答案】9

15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】

18.【答案】

19.【答案】

20.【答案】

21.【答案】

22.【答案】624πcm3；

504π（元）．

23.【答案】（1）由于M，N分别为棱PB，PC的中点，故MN∥BC，

又BC⊄平面AMN，MN⊂平面AMN，

所以BC∥平面AMN

（2）由于BC⊥平面PAB，且AM⊂平面PAB，故BC⊥AM，

又AP=AB，且M为棱PB的中点，故AM⊥PB，

因为BC∩PB=B，BC，PB⊂平面PBC，

故AM⊥平面PBC

24.【答案】解：（Ⅰ）证明：因为AB∥CD，CD⊂平面EFCD，AB⊄平面EFCD，

所以AB∥平面EFCD，

又EF，AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF=EF，

所以AB∥EF．

（Ⅱ）证明：ED=EA，

取AD的中点O，连接MO，OE，

因为O是AD中点，M是HB中点，所以MO∥AB，

又底面ABCD为正方形，所以AD⊥OM，

因为ED=EA，所以AD⊥OE，

又OM∩OE=O，OM，OE⊂平面OME，

所以AD⊥平面OME，

又因为ME⊂平面OME，

所以AD⊥ME，

又EM⊥BH，且BH与AD是相交线，

AD、BH⊂平面ABCD，

所以ME⊥平面ABCD，

又ME⊂平面AME，

所以平面AME⊥平面ABCD；

（Ⅲ）过M点作PQ∥BC，

因为AB=4，H为DC中点，M为BH中点，

所以BQ=HP=PC=1=EF，DP=AQ=3，

又AD=4，

由（Ⅱ）可知，ME⊥平面ABCD，

四棱锥E-ADPQ体积=，

因为EF∥QB，EF∥PC，且EF=QB=PC，

所以四边形EFCP为平行四边形，

四边形EFBQ也是平行四边形，

所以EP∥FC，

EP⊄平面BCF，FC⊂平面BCF，

所以EP∥平面BCF，