高中二年级数学·生物学跨学科：基于生长数据的函数建模与预测

高中二年级数学·生物学跨学科：基于生长数据的函数建模与预测

一、教学背景与设计理念

（一）课程定位与价值

本课定位于高中二年级数学选择性必修课程中“函数建模与数学探究”主题的深化与拓展，同时有机融合了高中生物学“稳态与环境”模块中关于生物体生长发育的调控机制。课程以学生熟悉且充满好奇的“身高增长”这一生命现象为真实情境载体，引导学生经历从现实问题到数学抽象、从数据特征到函数拟合、从模型建构到解释预测的完整数学建模周期。本设计旨在超越单一的技能训练，着眼于培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象和数据分析等数学学科核心素养，并渗透跨学科意识，使学生深刻体会数学作为描述自然与社会规律的工具性价值，理解生命现象背后蕴含的数学规律，从而实现知识的结构化、能力的综合化和情感态度价值观的升华。

（二）设计理念

本设计严格遵循《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》所倡导的基本理念。第一，以发展学生数学学科核心素养为导向，将建模过程分解为可操作、可评价的关键步骤，使素养目标在活动中落地。第二，精选典型性、时代性且贴近学生经验的情境，身高增长数据易于获取（如体检数据）、便于追踪，能有效激发探究内驱力。第三，突出学生的主体地位，通过项目式学习的方式，让学生在“做中学”、“用中学”、“创中学”，经历数据采集、清洗、分析、建模、检验的完整过程。第四，强调信息技术的深度融合，借助图形计算器、Excel或GeoGebra等软件，将繁琐的计算和图形绘制交由技术处理，让学生聚焦于模型的选取、参数的优化和结果的解释等高阶思维活动。第五，体现学科交叉与融合，将数学建模与生命科学原理相互印证，引导学生用数学眼光观察生物世界，用生物知识理解数学模型的现实意义。

二、教学内容与学情分析

（一）教学内容解构

本课教学内容涵盖以下几个有机组成部分。第一，数据感知与预处理：引导学生收集不同年龄段的身高数据（可以是个人纵向数据，也可以是群体横截面数据），学习数据清洗、排序、剔除异常值的基本方法，初步观察数据变化趋势。第二，函数模型初探：基于散点图的形态，联想已学过的函数模型，如一次函数（匀速增长）、二次函数（加速度变化）、指数函数（爆发式增长）、对数函数（增长减缓）、幂函数、以及特殊的“S”型生长曲线函数（如Logistic函数、Gompertz函数），并通过比较、讨论确定可能的备选模型。第三，参数估计与模型确立：学习使用“最小二乘法”的思想（不严格证明）或利用软件工具进行函数拟合，确定模型中的参数，从而得到初步的数学模型。第四，模型检验与评价：从数学角度（如拟合优度R²、残差分析）和实际意义角度（如模型预测值是否符合生物学常识）对模型进行检验，判断其优劣，必要时进行模型修正。第五，模型应用与解释：利用所建模型进行身高预测，解释模型中特定参数（如极限身高、最大增长速率出现年龄）的生物学含义，并讨论模型的适用范围和局限性。

（二）学情分析

知识储备上，高二学生已经系统学习了一次、二次、指数、对数、幂函数等基本初等函数，掌握了它们的图像和性质，并初步接触过导数的概念，这为理解函数的瞬时变化率（增长速度）奠定了基础。同时，他们在生物课中学习了人体的生长发育、激素调节等内容，对身高增长的非匀速性有直观的生物学理解。能力基础上，学生具备一定的数据观察和归纳能力，但将实际问题转化为数学模型的抽象能力尚显不足，对于非线性模型的参数估计和选择缺乏系统经验。心理特征上，高二学生思维活跃，求知欲强，乐于探究与自身紧密相关的问题，具备开展小组合作学习和项目式学习的基本素养。潜在的困难在于：面对一组真实数据，可能不知从何入手选择函数模型；对“拟合”这一核心思想的理解可能停留在表面；对于模型的检验和优化缺乏策略。

三、教学目标设计

（一）【基础】知识与技能目标

1.能理解身高增长与时间（年龄）之间的函数关系，识别不同类型函数模型（一次、二次、指数、对数、Logistic）的图像特征和增长特点。

2.能根据收集到的身高-年龄数据，利用信息技术工具（如Excel、GeoGebra）绘制散点图，并尝试用不同的函数模型进行拟合，获得拟合函数表达式。

3.能初步解读拟合结果中的关键参数（如相关系数R²、特定函数的极限值参数k、拐点参数等），并依据参数和残差判断拟合效果的优劣。

4.能运用所建模型对个体未来的身高进行简单预测，并能从数学角度解释预测结果的可信度与局限性。

（二）【重要】过程与方法目标

5.经历“问题提出—数据收集—模型假设—模型建立—模型检验—模型应用”的完整数学建模流程，初步掌握解决现实世界中增长变化问题的一般数学方法。

6.通过小组合作探究，学习如何根据数据特征合理选择函数模型，体会“从具体到抽象，从特殊到一般”的数学思想。

7.在模型修正与优化的过程中，培养批判性思维和迭代意识，理解任何模型都是对现实世界的近似描述，不存在绝对完美的模型，只有相对合适的模型。

（三）【非常重要】情感、态度与价值观目标

8.在探究自身生长发育规律的过程中，增强对自我成长的客观认知，学会用科学、理性的眼光看待身体变化，消除对身高问题的片面焦虑，建立积极的自我认同感。

9.深刻体会数学与生命科学及其他学科之间的内在联系，感受数学作为通用语言在描述自然规律时的简洁与优美，激发学习数学的兴趣和跨学科探究的热情。

10.通过合作学习，培养乐于交流、敢于质疑、严谨求实的科学态度和团队协作精神。

四、教学重难点

（一）教学重点

11.能够基于身高增长的散点图特征，合理选择一至两种函数模型进行拟合。【高频考点】

12.掌握利用信息技术工具进行函数拟合、获取参数并写出函数解析式的方法。【基础】

13.理解拟合优度（R²）或残差分析的基本思想，并据此初步评价模型优劣。【重要】

（二）教学难点

14.对于非线性的、尤其是具有增长上限的“S”型曲线（如Logistic模型），理解其引入的现实必要性（生物学上的极限身高）和参数的实际意义。【难点】

15.在多个备选模型均有一定拟合度的情况下，如何综合数学指标和实际意义进行模型的筛选与决策。【难点、热点】

16.从数学模型的参数反推其生物学含义，实现数学与生物学语言的转换与融合。【难点】

五、教学准备

17.学生准备：以学习小组为单位，提前收集本组每位成员从小学一年级至高中二年级（约7岁至17岁）每年体检的身高数据，整理成表格（年龄为X，身高为Y）。如个人数据缺失，可使用全国或地区学生体质健康调研公开发布的同年龄组平均身高数据作为替代或补充。

18.教师准备：制作多媒体课件，内含不同函数模型动态演示、数据拟合操作视频微课。准备装有Excel或GeoGebra等软件的计算机机房，确保每组一台终端。设计好探究任务单（电子版或纸质版），引导学生分步操作和思考。预备几组典型的、涵盖不同增长类型的示例数据，以备学生数据不佳时使用。

六、教学实施过程（核心环节）

（一）创设情境，聚焦问题（预期时间：5分钟）

【基础】

上课伊始，教师首先呈现一张班级同学历年身高变化统计表（非个人，而是全班的均值变化）或一段记录孩子从出生到成年身高变化的延时摄影视频。教师提问：“从这些数据或影像中，你观察到身高增长有什么特点？是匀速的吗？哪个阶段长得最快？成年后还长吗？你能用数学语言来描述这个过程吗？”

学生结合自身体验和生物学知识展开讨论，得出初步结论：身高增长并非匀速，婴幼儿期和青春期增长较快，之后趋于停滞，最终接近一个稳定值。教师顺势引导：“这种随时间变化且最终趋于极限的现象，在数学上我们可以通过什么样的函数关系来刻画？今天，我们就以自己或小组的身高数据为研究对象，化身‘数学建模师’，来探寻身高增长背后的数学规律。”由此引出本课课题，明确任务：通过数学建模，为身高增长趋势建立函数模型，并进行解释与预测。

【重要】

（二）数据初探，感知特征（预期时间：10分钟）

19.数据录入与分享：各小组将课前收集的成员身高数据汇总到一张Excel工作表上。教师引导学生关注数据的“结构”：明确自变量（年龄）和因变量（身高），并强调数据配对关系。部分数据可能存在缺失或明显异常（如测量误差导致的倒退），教师指导学生如何处理：若缺失个别点，可暂时保留或根据前后均值估算；若明显异常（如年龄增长身高反而降低），可考虑剔除该点，并记录剔除原因。此环节培养学生严谨的数据预处理意识。

20.绘制散点图，直观感知：教师演示用Excel或GeoGebra选定数据区域，插入“散点图”的操作。学生分组操作，为各组（或各组内不同个体）的身高数据绘制出散点图。教师巡视，指导图表标题、坐标轴标签（年龄/岁，身高/厘米）等细节的规范设置。

21.小组内初步观察与交流：观察绘制好的散点图，围绕以下几个问题展开小组讨论，并将初步结论记录在任务单上。（1）这些点的整体分布呈何种趋势？（上升、下降、波动？）（2）上升的速度在整个区间内是恒定不变的吗？如果不是，请描述其变化特征（先快后慢？先慢后快再慢？）（3）点的分布趋势大致与之前学过的哪种函数图像最相似？（一次函数直线？二次函数抛物线？指数型曲线？对数型曲线？抑或是像“S”型曲线？）【热点】

22.班级分享与归纳：请一两个小组分享他们的初步观察结果。教师汇总学生的观点，并板书关键词：增长上限（平台期）、先加速后减速（青春期突增）、存在拐点（增长最快年龄）。通过这些关键词，自然地引出对多种函数模型的联想，为下一步的模型选择做好铺垫。

（三）模型假设，初选函数（预期时间：10分钟）

【基础】【重要】

基于对散点图特征的分析，教师引导学生进入数学建模的核心环节——模型假设。教师提问：“既然有多种函数都可能描述增长趋势，我们该如何根据我们数据的特点，来提出合理的模型假设呢？也就是，我们假设身高Y与年龄X之间可能满足哪种函数关系？”

教师系统介绍几种常见模型及其增长特点，并结合散点图特征进行匹配：

23.一次函数模型（Y=aX+b）：特点，匀速增长。若散点图大致呈一条直线，且增长速率恒定，则可假设此模型。但多数青春期前后数据不符合此特征。

24.二次函数模型（Y=aX²+bX+c）：特点，图像为抛物线，具有一个顶点。若数据呈现先加速后减速的单峰增长趋势，可考虑。但二次函数可能没有水平渐近线，无法体现成年后身高趋于稳定的生物学事实，因此单独用于描述全年龄段存在局限。

25.指数函数模型（Y=a·b^X，b>1）：特点，增长速率越来越快，图像为下凸曲线。适用于早期婴幼儿期的快速增长阶段描述，但无法体现后期的减速和趋于稳定。

26.对数函数模型（Y=a+b·lnX）：特点，增长速率越来越慢，图像为上凸曲线。适用于后期增长趋缓阶段的描述，但不能体现早期的加速过程。

27.“S”型生长曲线模型（如Logistic模型Y=K/(1+e^(a-bX))或Gompertz模型）：特点，具有下限和上限，增长速率经历“慢-快-慢”的过程，存在一个增长最快的拐点。这与人类身高从婴幼儿、青春期到成年的全过程增长特征高度吻合。【非常重要】【高频考点】【难点】

教师重点讲解Logistic模型的形式（不要求掌握复杂的参数推导，重在理解形式）：Y=K/(1+e^(a-bX))，其中K为环境容纳量或极限值（即理论上可达到的最大身高），参数a与初始位置有关，b与内禀增长率（增长速率）有关。e^(a-bX)部分决定了曲线的形状和位置。

教师引导学生根据自己小组数据的整体趋势，初步选择2-3个备选模型。例如，数据覆盖年龄范围广（从童年到近成年）且有明显趋缓的小组，应将Logistic模型作为首选；数据集中在青春期快速增长期的小组，可先尝试二次或指数模型作为对比。

（四）技术助力，参数求解（预期时间：20分钟）

【基础】【重要】

这是将模型假设转化为具体数学表达式的关键步骤。教师演示利用信息技术进行函数拟合（参数求解）的操作方法。以Excel为例：

28.添加趋势线：在散点图上右键点击数据点，选择“添加趋势线”。

29.选择模型类型：在右侧弹出的“设置趋势线格式”窗格中，选择“线性”、“对数”、“多项式（阶数选2，即二次函数）”、“指数”等。Excel没有直接提供Logistic模型，教师可介绍两种处理方式：（1）使用专业数学软件如GeoGebra的“拟合”指令；（2）若用Excel，可将数据进行线性化变换，但考虑到高二学生的认知水平，建议使用GeoGebra演示。

30.显示公式和R²值：勾选“显示公式”和“显示R平方值”。教师解释R²（决定系数）的含义：它衡量了模型对数据的解释程度，取值范围在0到1之间，越接近1，说明模型的拟合优度越高，即自变量（年龄）能解释因变量（身高）变异的比例越大。【高频考点】

31.观察残差：除了看R²，教师还应引导学生观察“残差”——数据点与拟合曲线之间的垂直距离。如果残差呈现某种规律性分布（如连续几个点都在曲线上方，然后连续几个点都在下方），说明模型可能没选对，存在系统偏差。

学生分组操作，为各自的数据选择2-3种备选模型（例如一次、二次、对数）分别添加趋势线，记录下每个模型的表达式和R²值，并截图保留图像。对于想尝试Logistic模型的小组，教师可指导其使用GeoGebra，输入拟合指令如“FitLogistic(<点列>)”直接得到模型。若无条件，教师可提供几组典型数据的Logistic拟合结果作为共享资源供学生分析。

（五）模型评价，择优筛选（预期时间：15分钟）

【非常重要】【难点】

当小组获得多个候选模型后，进入模型评价与择优环节。这不是简单地选择R²最大的那个，而是要综合多维度进行判断。教师引导学生从以下几个层面展开分析和讨论：

32.数学拟合度评价：比较不同模型的R²值，R²越大，拟合效果越好。这是量化指标。但同时，也要观察图像，看曲线是否穿过了数据点的“中心地带”，对极端值的拟合情况如何。

33.模型合理性评价（生物学意义检验）：这是本课的一大亮点。教师提出问题：“仅凭R²大就能说明模型好吗？如果一个二次函数的R²也很高，但它预测你30岁时身高会不断下降甚至变成负数，这符合生物学事实吗？”引导学生思考模型的现实意义。【热点】

对比分析：二次函数模型，虽然有较高的拟合度，但它是开口向下的抛物线，过了顶点后就会下降，这与人类成年后身高基本保持不变（或微降）的事实严重不符，因此用它来长期预测是荒谬的。对数模型虽然有增长上限的趋势，但缺乏明确的极限值参数。指数模型在后期会增长过快，也不符合。而Logistic模型，其参数K直接给出了身高的极限值，曲线有上渐近线Y=K，完美契合了“成年后身高趋于稳定”的生物学规律。教师进一步解释Logistic模型中参数b的生物学意义：它与最大增长速率出现的年龄（拐点）有关，通常b越大，曲线越陡峭，青春期突增越明显。

34.预测能力与稳健性评价：教师展示某小组的二次函数和Logistic模型，提问：“如果我们要预测该同学25岁时的身高，两个模型的结果分别是什么？哪个更可信？”通过计算对比，学生能直观感受到，基于生物学机理的Logistic模型在外推预测时更具稳健性和合理性。

35.小组研讨与决策：各小组根据上述三个维度的综合考量，从备选模型中选出本组认为最合适的一个模型作为最终结果，并阐述理由。教师鼓励持有不同意见的小组进行辩论，在思维碰撞中深化理解。

（六）模型应用，解释意义（预期时间：10分钟）

【重要】

模型确立后，引导其走向应用与解释，让数学“活”起来。

36.预测与验证：请各小组利用最终选定的模型，预测本组某位成员在18岁、20岁、25岁时的身高。然后对比该成员已经18岁的实际身高（若有），验证模型的短期预测能力。

37.参数含义解读：以Logistic模型为例，教师要求学生指出模型中哪个参数代表“极限身高”，并根据模型计算本组成员的极限身高估计值。讨论这个极限值是否就是最终一定能达到的值？它受哪些因素影响（遗传、营养、运动）？从而将数学建模与遗传学、营养学等知识勾连。【非常重要】

38.寻找增长“黄金期”：对于非Logistic模型，教师可引导学生利用导数知识（已初步学习）计算增长速度（一阶导数），并找出增长速度最快的年龄（拐点）。这可以用数学方法精确找到青春期身高的“突增高峰年龄”，并与生物学中的“生长突增”概念相印证，让学生惊叹数学的精确描述能力。

（七）交流展示，总结提升（预期时间：10分钟）

【基础】【热点】

39.成果分享：随机邀请2-3个小组上台，展示本组的研究成果。包括：原始数据散点图、尝试过的几种模型及R²值、最终选定的模型及理由、模型的表达式及关键参数含义、基于模型的预测结果。展示过程中，小组成员可分工介绍，锻炼表达与协作能力。

40.互动质疑：台下同学和教师对展示内容进行提问或提出建议。例如：“为什么你们组最终选择了二次函数而不是Logistic模型？”“你们组的R²值只有0.85，可能是什么原因造成的？”“模型预测你25岁身高还会增长，这与常识是否矛盾？”通过质疑，进一步加深对模型局限性的认识。

41.教师总结升华：教师对本节课进行系统梳理，再次强化数学建模的完整流程：从现实问题出发，经过数学抽象、模型假设、参数求解、模型检验、模型应用，最终回到对现实问题的解释与预测。强调“没有完美的模型，只有不断逼近真实的模型”，鼓励学生在今后的学习和生活中，继续用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。

七、板书设计

（一）左侧区域：核心流程

身高增长趋势建模流程

42.现实问题→2.数据收集（散点图）→3.模型假设（函数选择）→4.参数求解（技术拟合，R²）→5.模型检验（数学+实际）→6.模型应用（预测+解释）

（二）中间区域：核心模型

常用函数模型对比

43.一次函数：匀速增长，Y=aX+b

44.二次函数：先快后慢，Y=aX²+bX+c

45.指数函数：越来越快