小学三年级数学“里程表（二）”：解决实际问题的数学模型建构教学设计

小学三年级数学“里程表（二）”：解决实际问题的数学模型建构教学设计

  一、指导思想与理论依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向为根本遵循，深度融合建构主义学习理论与真实性问题解决（PBL）教学范式。强调数学学习不是被动的知识接收，而是学习者在与现实情境的持续互动中，主动建构意义、发展思维的过程。里程表问题作为“数与代数”领域“数量关系”主题下的典型内容，其教学价值远超单纯的计算技能训练。它本质上是引导学生从复杂的现实数据中剥离出数学结构，经历“情境感知—抽象建模—模型求解—解释应用”的完整数学化过程。本设计着力于培养学生的模型意识与应用意识，通过设计具有挑战性的、结构不良的系列任务，驱动学生调用已有的加、减法认知结构，在探究、协作、反思中，自主构建并灵活运用“行驶里程=当天结束读数－当天起始读数”这一核心数学模型。同时，引入跨学科视角，将数学阅读（图表信息提取）、科学（工具的工作原理）与社会常识（出行规划）自然融入，拓展学生思维的广度与深度，体现数学作为基础学科的工具性与人文性。

  二、教学背景分析

  （一）教材内容分析

  在北师大版小学数学三年级上册教材体系中，本课隶属于第三单元“加与减”。在此之前，学生已经系统学习了百以内、千以内数的加减法计算，并初步接触了运用加减法解决实际问题的基本思路，如“里程表（一）”中解决基于路线图的里程计算问题。“里程表（二）”是“里程表（一）”的延续与深化，其认知负荷与思维挑战性显著提升。教材呈现的核心情境通常是“出租车司机叔叔的里程表读数记录”，以表格形式给出连续几天的“结束里程读数”。与“里程表（一）”中直接给出两点间距离的静态线段图不同，本课的表格数据是动态累积的读数，其数量关系更为隐蔽和抽象。学生需要深刻理解：表格中的每一个数据，对于前一天而言是“结束读数”，对于后一天而言则是“起始读数”。这一双重身份的辨析，是突破本课难点的关键。教材的编排意图十分清晰，即引导学生在解决“求每一天实际行驶里程”的问题中，自主发现并概括出数量关系，实现从具体情境到一般模型的飞跃，为后续学习更复杂的数量关系（如速度、时间、路程）奠定坚实的思维基础。

  （二）学情分析

  三年级学生正处于具体运算思维向形式运算思维过渡的关键期。他们的认知特点表现为：能够进行逻辑推理，但很大程度上仍需依赖具体事物和直观表象的支持；具备初步的归纳概括能力，但在抽象数学模型和进行符号化表达方面存在明显困难。在知识储备上，学生已能熟练计算三位数的加减法，并具备从图表中提取单一信息的初步能力。然而，他们的信息整合能力与关系性思维尚在发展中。对于“里程表读数”这一生活概念，部分学生可能有模糊的感性认识，但绝大多数并不清楚其连续记录、累积计数的运作原理，极易混淆“读数”与“实际行驶里程”的概念。常见的认知误区包括：直接将相邻两天的结束读数相减作为某一天的行驶里程；或无法理解为何求第一天里程需要用到前一天的读数（通常为0或一个初始值）。因此，教学必须创设足够直观、可操作的探究环节，帮助学生搭建从“直观感知”到“抽象关系”的思维脚手架。

  （三）教学重点与难点

  教学重点：理解里程表读数的意义，掌握通过“当天结束读数－当天起始读数”计算实际行驶里程的方法，并初步构建此类问题的通用数学模型。

  教学难点：一是透彻理解表格中每个数据的双重属性（既是前一天的结束，也是后一天的开始）；二是灵活运用模型解决变式问题，如已知起始读数和多天行驶里程反推某天结束读数，或处理非连续读数等复杂情境。

  三、教学目标

  依据课程标准与学情分析，设定以下三维教学目标：

  （一）知识与技能

  1.能正确解读里程表读数表格所蕴含的信息，理解“结束读数”、“起始读数”与“行驶里程”三者之间的数量关系。

  2.能准确列式并计算汽车（或其他交通工具）在某一段时间内的实际行驶里程。

  3.能运用构建的数学模型，解决生活中类似的读数问题（如电表、水表、燃气表）。

  （二）过程与方法

  1.经历观察、比较、画图、列表、推理等数学活动，发展从复杂情境中提取数学信息、发现数量关系的能力。

  2.经历完整的数学建模过程：从具体问题中抽象出数量关系式，并运用关系式解决新问题，体会模型思想的普适价值。

  3.在小组合作探究中，学会清晰地表达思考过程，并能对他人的解题策略进行有理有据的评价和质疑。

  （三）情感态度与价值观

  1.感受数学与日常生活的紧密联系，体会用数学知识解决实际问题的乐趣，增强数学应用意识。

  2.在克服认知冲突、突破思维难点的过程中，培养敢于探究、严谨求实的科学态度和坚持不懈的学习品质。

  3.通过了解里程表等计量工具在社会生活中的作用，初步认识数据的价值，培养社会责任感。

  四、教学策略与资源准备

  （一）教学策略

  1.情境锚定策略：以“帮出租车公司进行车辆运营数据分析”为贯穿始终的大任务情境，赋予数学学习真实的目的是意义感。

  2.认知冲突策略：故意呈现学生的典型错误算法（如直接相减相邻结束读数），引发学生质疑、辩论，在思辨中深化对数量关系本质的理解。

  3.可视化策略：大力推广使用线段图、数轴或条形统计图来直观表征读数与里程的关系，将抽象的数量关系转化为可视的几何模型，降低思维坡度。

  4.分层递进策略：设计“基础模型构建—变式巩固应用—综合拓展延伸”三层任务链，满足不同层次学生的学习需求，确保每个学生都能在最近发展区内获得发展。

  5.合作探究策略：关键问题采用小组合作学习形式，通过任务驱动、角色分工（如记录员、汇报员、质疑员），促进深度互动与思维碰撞。

  （二）资源准备

  1.教具与学具：多媒体课件（包含动态演示读数变化过程的动画）、实物投影仪、小组探究学习单、彩色磁贴（用于模拟读数）、直尺、彩笔。

  2.学习环境：教室桌椅布置成适合小组讨论的“岛屿式”，方便学生交流与合作。准备展示区，用于张贴各组的学习成果。

  五、教学过程设计与实施

  （一）第一阶段：创设情境，提出问题——激活经验，明确任务（预计用时：8分钟）

  1.情境导入，初识概念。

    教师播放一段短视频：出租车司机王师傅在每日交接班时，记录下车内里程表读数的情景。视频突出显示里程表上不断变化的数字。

    师：同学们，视频中王师傅在记录什么？你们在哪里见过类似的表？（学生可能回答：汽车仪表盘、电动车、爸爸的手机骑行软件等）。这个表叫做“里程表”，它就像汽车的“行程日记”，记录着这辆车一共跑了多少千米。上面的数字我们叫它“里程表读数”。

  2.呈现数据，提出问题。

    课件出示王师傅一周的里程表读数记录单（模仿教材，但数据可稍作调整，以方便计算和发现规律）：

    |日期|星期一|星期二|星期三|星期四|星期五|

    |里程表读数/千米|160|350|555|745|1000|

    师：这是王师傅出租车本周一到周五每天晚上收车时的里程表读数。你能从这张表中看出哪些信息？（引导学生初步阅读表格：横向看是日期，竖向看是读数；读数越来越大，说明车一直在行驶。）

    师：王师傅所在的公司想了解每辆车的日均运营情况。你能根据这个表格，算出王师傅的出租车在星期二这一天到底行驶了多少千米吗？

    （教师板书核心问题：星期二行驶了多少千米？）

  3.独立尝试，暴露前概念。

    给予学生1-2分钟时间独立思考并尝试计算，将不同的算法（尤其是典型错误算法）收集到黑板上。

    预设学生可能出现的方法：

    ①350－160=190（千米）（正确）

    ②555－350=205（千米）（错误，这是星期三的里程）

    ③350＋160=510（千米）（错误，不理解关系）

    ④说不清，或画图表示。

  （二）第二阶段：合作探究，构建模型——深度辨析，抽象关系（预计用时：20分钟）

  1.聚焦冲突，引发思辨。

    师：黑板上出现了好几种答案。到底哪一种是对的呢？190、205，还是510？光说答案不行，我们要讲出道理。请大家以小组为单位，想办法证明你的想法。老师为每个小组准备了学习单和彩笔，你们可以画图、可以摆磁贴、也可以列算式讲道理。

  2.小组合作，探究验证。

    【小组活动任务一】探究“星期二行驶里程”。

    任务要求：（1）用你们喜欢的方式（画图、摆一摆、写一写），向大家解释“星期二行驶了190千米”或你们认为正确的答案是怎么得来的。（2）准备向全班汇报你们的思路。

    教师巡视指导，关注以下要点：

    -是否关注到“星期一的读数160千米”是星期二开始的起点？

    -是否能用直观方式（如线段图）表示出“起点”、“终点”和“行驶的一段”？

    -对于错误算法的小组，引导他们思考：“350－160”减的是什么？“555－350”减的又是什么？

  3.全班交流，模型初建。

    请不同策略的小组上台展示。

    展示组A（画线段图法）：

    学生在黑板上画一条数轴，标出0点。在数轴上找到160和350两个点，并将这一段涂色。解释：星期一到星期二晚上，读数从160变成了350，增加的部分就是星期二一天跑的。所以用350－160=190（千米）。

    展示组B（摆磁贴模拟法）：

    用两个磁贴分别写上“160”和“350”，代表星期一夜里和星期二夜里的读数。将两个磁贴拉开距离，说这个距离就是星期二跑的。减法就是求这个距离。

    展示组C（语言描述法）：

    星期二早上开车时，里程表显示的是星期一晚上的数，是160千米。星期二晚上收车时，变成了350千米。所以星期二跑的，就是把从160到350这段新的路程加上去，所以用350减160。

    师（关键追问）：那么，谁能说清楚，这个“160”对于星期二来说，到底是个什么数？“350”又是什么数？

    引导学生提炼词汇：星期二的“起始读数”（或“开始时的读数”）、星期二的“结束读数”。

    教师顺势板书：星期二的行驶里程=星期二的结束读数－星期二的起始读数。

  4.举一反三，巩固关系。

    师：现在，请用这个发现，快速口算一下星期三行驶了多少千米？星期四呢？

    学生口答：星期三：555－350=205（千米）；星期四：745－555=190（千米）。

    师：为什么算星期三的里程，要用555减350，而不是减别的数？（因为350是星期三开始的读数，555是星期三结束的读数。）

  5.破解难点，完善模型。

    师：可是，表格里没有直接给出“星期一的起始读数”啊。我们怎么算星期一的行驶里程呢？

    （再次引发学生思考。联系生活实际：星期一早上，王师傅出车前，里程表会不会是0？不一定，可能是上周日留下的数。但如果我们不知道上周日的数，还能算吗？）

    师：通常，为了计算方便，如果我们把周一早上开始运营时的读数看作一个起点。这里，我们可以认为星期一起始读数是0吗？（学生讨论：不能，因为星期一晚上已经是160了。）那应该是什么？

    引导学生推理：星期一晚上读数是160，说明星期一这一天，让读数从“某个数”增加到了160。题目没给周日的数，但常常在这类问题中，如果我们知道这是周期开始的第一天，就把前一天的结束读数视为0，或者题目会直接给出“上周日的读数”。假设这里上周日晚上读数是0，那么星期一的起始读数就是0，结束读数是160，所以星期一里程=160－0=160（千米）。

    教师完善板书：

    某一天的行驶里程=当天结束时的读数－当天开始时的读数

    （当天开始时的读数=前一天的结束读数）

    师：这就是我们通过探究发现的关于里程表问题的秘密，一个非常重要的数量关系。我们可以把它称为解决这类问题的“数学模型”。

  （三）第三阶段：变式应用，内化模型——分层练习，拓展思维（预计用时：12分钟）

  1.基础应用，巩固模型。

    （1）计算王师傅星期五的行驶里程。（1000－745=255千米）

    （2）如果上周日晚上的读数是35千米，那么星期一行驶了多少千米？（160－35=125千米）强调起始读数的变化。

  2.变式练习，逆向思维。

    （3）已知王师傅出租车星期三的起始读数是350千米，当天行驶了205千米，求星期三晚上的结束读数是多少？（350+205=555千米）

    师：这道题用了什么运算？和刚才的模型有什么关系？（逆运算。结束读数=起始读数+行驶里程。）

    （4）已知星期四晚上读数是745千米，星期五晚上读数是1000千米，这两天一共行驶了多少千米？（1000－745=255千米？不对，这是星期五一天的。两天一共应该是：1000－（星期四起始读数）。但不知道星期四起始读数？引导学生发现：两天一共的里程，就是星期五结束读数减去星期三的结束读数！即1000－555=445千米。因为从星期三结束到星期五结束，中间经历了星期四和星期五两天。这是一个重要的发现，为后续学习打基础。）

  3.综合拓展，联系生活。

    【小组活动任务二】解决“电表问题”。

    出示新的情境：玲玲家安装了智能电表，下面是最近几个月的读数。（单位：千瓦时）

    |月份|5月底|6月底|7月底|8月底|

    |读数|1205|1340|1498|1650|

    问题：①玲玲家6月份用电多少？②7、8两个月一共用电多少？③估一估，9月份用电大约120千瓦时，9月底电表读数可能是多少？

    小组合作完成，并讨论：电表读数问题和里程表问题有什么相同和不同？（相同：都是累积计数，求一段时间内的使用量都用“结束读数－起始读数”。不同：计量对象不同，时间单位可能是月、季度等。）

  （四）第四阶段：回顾反思，升华认知——总结梳理，评价延伸（预计用时：5分钟）

  1.回顾梳理，形成结构。

    师：同学们，今天我们深入研究了“里程表”中的数学问题。一起来回顾一下我们的探究之旅。

    引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

    -知识：我们学会了如何计算汽车（或类似工具）在一段时间内的实际行驶（使用）量。核心是找到“起始读数”和“结束读数”。

    -方法：我们用了画线段图、摆一摆、寻找数量关系等方法。最重要的是，我们经历了“发现问题——提出猜想——验证解释——总结模型——应用模型”的数学学习过程。

    -思想：我们体会到了“数学模型”的力量。一个简单的“结束－开始”的关系，就能解决一大类生活中的实际问题。

  2.多维评价，激励发展。

    -自我评价：“今天这节课，我对自己在哪个环节的表现最满意？我最大的收获是什么？”

    -同伴互评：“哪个小组或哪位同学的发言、方法给你留下了深刻印象？为什么？”

    -教师评价：肯定学生在探究中的积极思考、合作精神，特别表扬那些能突破思维定式、提出创造性见解的学生。

  3.延伸思考，布置作业。

    必做作业：完成教材配套练习，解决2-3道基础的里程表及类似问题。

    选做作业（二选一）：

    （1）实践调查：回家找一找家里的水表、燃气表，记录下今天的读数，并了解它们的计费方式。尝试计算家庭近期的日均使用量。

    （2）挑战设计：如果你是出租车公司经理，利用“星期一读数160，星期五读数1000”这个信息，你还能提出哪些有价值的数学问题？并尝试解答。（如：这一周平均每天大约行驶多少千米？这周总里程是多少？如果每千米耗油0.1升，这一周大约耗油多少升？）

  六、教学特色与创新反思

  （一）特色与创新

  1.真实、连贯的“大任务”驱动：摒弃了碎片化的问题堆砌，以“帮助出租车公司进行运营数据分析”这一真实任务统领全课，使学习目标清晰、动机强烈，体现了数学的应用价值。

  2.深刻的模型思想渗透：教学设计的核心主线不是教会一道题的解法，而是引导学生亲身经历数学模型的建构过程。从具体情境中抽象出数量关系式，并将其应用于电表等新情境，突出了模型的普适性，培养了学生的迁移能力和学科大观念。

  3.可视化思维工具的深度使用：将线段图、数轴等不仅作为教师演示的工具，更是作为学生小组探究的必备“学具”。鼓励学生用图形语言表达数量关系，有效沟通了“数”与“形”，为突破“读数双重身份”这一抽象难点提供了强有力的认知支架，发展了学生的几何直观素养。

  4.富有层次的认知挑战：练习设计体现了“基础—变式—综合—拓展”的梯度。特别是变式练习中的“求两天总里程”和电表问题中的“估测未来读数”，都巧妙地设置了思维“陷阱”或“跳板”，引导学生跳出机械套用公式的窠臼，进行更深层次的逻辑推理和关系性思考，满足了高阶思维发展的需求。

  5.跨学科视野的自然融入：将数学阅读（图表分析）、科学常识（计量工具原理）、社会调