第七单元 数学广角-植树问题教学案例

植树问题

教学目标1.掌握植树问题中的基本概念和分类情况，包括两端都栽、只栽一端、两端都不栽，归纳并理解三种植树问题中棵数与间隔数之间的关系。2.通过学生自主探究、合作交流、发现规律，构建植树问题的数学模型，提高学生推理意识和模型意识，会应用植树问题的模型解决一些相关的实际问题，培养学生的应用意识和创新意识。3.感受数学与生活的联系，提高学生学习数学兴趣，增强学好数学的信心，养成良好数学习惯。教学重难点1.理解和掌握植树问题在不同情况下棵数和间隔数之间的关系，并且能利用它们之间的关系解决相关的实际问题。2.能对具体的植树问题情况进行判断，灵活解决问题。教学准备课件、学习任务单、练习本目标落实教师活动学生活动二次备课游戏引入，激发学生的学习兴趣。一、游戏导入游戏：指手画脚说成语活动要求：两人根据给出的成语做动作，不能说话，其余同学猜。的确是“一刀两断”，如果老师写成“段”，你觉得有道理吗？别着急，老师相信学完今天的知识你会有所收获。一、发现问题两名同学根据老师给出的“一刀两断”进行动作比画，其余同学猜。借助教室内场景，指导学生掌握植树问题中“间隔数”的基本概念。初步感受每两人之间有一个间隔，为后面学习植树问题的规律做铺垫。二、引导合作活动一：揭示课题刚才上台的两位同学是前后桌，他俩之间有一个空，第二名同学和第三名同学之间又有一个空……这个空数学上叫“间隔”。1.想一想，三名同学之间有几个间隔？四名同学呢？这列一共七名同学，你还能知道什么？2.咱班有多少人？如果也这样坐一列，会产生多少间隔？二、探究问题活动一：揭示课题1.学生根据刚才给出的“间隔”定义进行分析和判断。预设1：三名同学之间有2个间隔。预设2：四名同学之间有3个间隔。预设3：七名同学之间有6个间隔。2.学生思考后回答问题。预设1：咱班有45人，会产生44个间隔。预设2：我发现间隔的数比人数少1。厘清题意，尝试发现和提出有意义的数学问题，提升学生的创新意识。学生在动手操作中，发挥主体性，对后面植树数学模型的得出进行实践性的体验。学生汇报交流，再次经历观察、发现和感受的全过程，学习解决问题的方法。3.根据大家的发现，如果咱们全校的同学坐成一列，一共产生了2000个间隔，那你知道咱学校一共多少名同学吗？今天一起学习和间隔数有关的数学问题“植树问题”。活动二：植树问题分类1.先读题。北园小学要在通往图书馆的小路一侧栽树，小路全长60米，每隔5米栽一棵，这项活动由四年级三个班合作完成。一班先栽20米；二班接着一班再栽20米；三班栽剩下的20米，一直到图书馆。读题后，说说你的理解。2.理解了题目的意思，你想提一个什么问题？3.想不想帮帮这三个班的同学？请根据活动要求完成学习单。活动要求：在学习单上量一量，画一画，看三个班各栽多少棵树，并将表格填完整。学习单：

________________________派三名同学分别代表一、二、三班完成板书上的学习单。4.都完成了，采访一下上台的三位同学。根据预设1、2、3小结：一班、二班连接的地方一班栽了，二班就不用栽；同样的，二班、三班连接的地方也是这样。3.学生思考后回答问题。预设：根据刚才的发现，间隔数比人数少1，间隔数是2000的话，人数就应该是2001。活动二：植树问题分类1.学生读题理解题目意思，并说一说自己的理解。预设1：三个班栽树，每个班栽20米，隔5米栽一棵。预设2：我来解释“每隔5米栽一棵”的意思，就是两棵树之间的间隔是5米。2.学生尝试提出问题。预设1：每个班各栽多少棵树？预设2：三个班一共栽多少棵树？3.学生根据活动要求完成学习单。4.三位同学上台进行汇报，其余同学可以提问、补充或纠正。预设1：我代表一班，开头栽了一棵，然后每5米栽一棵的话，我一共栽了5棵。预设2：我代表二班，我本来想在二班开头的地方栽一棵，结果一班栽了，所以我就往后每5米栽一棵，一共栽了4棵。预设3：三班的开头也是被二班栽了，往后栽的话一共也是4棵。掌握植树问题的分类情况，包括两端都栽、只栽一端、两端都不栽。课件演示，数形结合，向学生示范线段图的画法，渗透一一对应的思想。化繁为简，以小见大。学生在交流中，探究出总长、间距、间隔数的关系，便于后面学生更好地理解植树问题的数学模型。根据预设4，教师纠正板书，将最后一棵树换成图书馆的图片。教师小结：正像这位同学所说的，今天学习的植树问题就分为了这三种情况，分别是①一班从头栽到尾，那就是两端都栽。②二班只栽了尾没栽头，就是只栽一端。③最后一个班既不栽头也不栽尾，就是两端都不栽。活动三：“两端都栽”的植树问题1.三种情况咱们先来仔细研究其中的一种“两端都栽”的情况。课件呈现：用线段表示两端都栽的情况（用线段表示小路，用短竖线表示树），你能再说说这个栽树的过程吗？2.如果这条小路变得很长，变成了1000米，不量不画，你还能解决吗？小结：这个同学是用了算式的方法解决的，当我们画图比较麻烦的时候，就可以尝试用算式的方法。3.不着急，咱们先从简单的开始，回到刚才的20米，你能用刚才这个同学算式的方法来讲讲吗？根据预设2，请同学上台指一指哪4段。小结：4段其实就是咱们一开始知道的“间隔”。教师完善算式：20÷5=4，4+1=5（棵）预设4：我来纠正，最后一棵的位置是图书馆，我觉得不应该栽，三班只用栽3棵就可以了。预设5：我发现虽然每个班都是栽20米，但是栽的数量却是不一样的，为什么？预设6：我能解决，一班栽了自己的起点和末尾，二班因为起点被一班栽了，所以只栽了末尾，而三班起点和末尾都不用栽，所以栽的是最少的。活动三：“两端都栽”的植树问题1.学生再说说两端都栽的过程。预设：每5米栽一棵，再从头上栽一棵，一共栽了5棵树。2.学生思考后回答。预设：先用1000除以5，求出间隔数，就是1000÷5=200，再用200+1=201，也就是再在开头上栽一棵。预设1：先用20÷5=4（棵），再加上开头的一棵，4+1=5（棵）预设2：我有不同的想法，我觉得他说的算式里应该是4个间隔，不是4（棵）。明确每个算式及算式中每个数的含义，提高学生推理意识，为后面归纳数学模型积累经验。4.再指学生说一说算式每部分的意思。教师根据学生回答，规范每个数字的含义：20表示全长，5表示间距，4表示间隔数。5.分析到这，你还有什么问题？4.学生思考后回答。预设：20表示总长度，5表示每5米栽一棵树，4表示有4段。5.学生思考，提出问题预设1：求出来是4个间隔，为什么还要加1？预设2：我来帮他回答，加的1棵是栽在开头位置上的，加上这棵就是5棵树。预设3：我还有个问题，4+1=5后面的单位怎么是“棵”不是“段”或者“个”？在分析变与不变中，尝试建立两端都栽的数学模型，提高学生的推理意识和模型意识。通过归纳类比、迁移类推，发现其余两种植树问题的数学模型，提高学生推理意识和创新意识。根据预设4，也就是说第二个算式里的4表示的是4个间隔对应着的4棵树。补充板书：20÷5=4（个）4+1=5（棵）6.还是这段20m的小路，除了可以5m栽一棵，还可以几米栽一棵？这时又需要栽几棵树呢？根据预设1板书：20÷4=55+1=6（棵）根据预设2板书：20÷2=1010+1=11（棵）7.这条小路现在变成100米了，还是每隔5米栽一棵，你能解决吗？8.这条小路长1000米呢？9.观察黑板上这些算式，哪里变了？哪里没变？小结：棵数=间隔数+1预设4：我上台给大家指着解答，1个间隔对应1棵树，4个间隔就对应着4棵树，这4棵树再加上头上栽的1棵，就是5棵树。6.学生思考后回答。预设1：我觉得可以每隔4米栽1棵树，算式是20÷4=5，5个间隔对应5棵树，5+1=6（棵）。预设3：每隔10米栽一棵，就是20÷10=2，2个间隔对应2棵树，2+1=3（棵）。7.学生独立思考后汇报。预设：100÷5=20，20个间隔对应20棵树，20+1=21（棵）。8.学生一起回答算式。预设：1000÷5=200，200个间隔对应200棵树，200+1=201（棵）。9.学生4人一组，讨论后汇报。预设1：全长、间隔数、棵数都在变。预设2：间隔数没变，还有第二个算式的加1没变。预设3：我觉得间隔数和棵数之间的关系是没变的，都是间隔数+1=棵数。举例生活中的植树问题，多角度拓展对植树问题的认识，激发学习的兴趣，也让学生切实感受到身边处处有数学，使学生深刻感受到数学的应用价值。将数学模型拓展到线上的点数问题，再次提高学生的模型意识。活动四：方法类推1.两端都栽的情况下，棵数和间隔数存在着关系，那只栽一端和两端都不栽的情况，棵数和间隔数是不是也有着什么不变的关系呢？小组里讨论讨论。小结：只栽一端棵数=间隔数两端都不栽棵数=间隔数-12.观察对比这三种情况及对应的关系，哪里相同？哪里不同？3.看来间隔数很重要，那间隔数如何求呢？4.大家都研究明白了。想一想，植树问题一定要栽树吗？课件呈现走方队、带扣子的衬衣、剪绳子的图片、播放钟声。5.总结一下上面这三幅图，虽然每幅图的情况都不一样，但是有什么一样的地方吗？结合抽象出的线和点，师进行小结：这些树都种在了这些点上，今天研究的植树问题其实就是这些线上的点数问题。活动四：方法类推1.学生小组讨论后汇报。预设1：我们讨论的只栽一端的情况，棵数=间隔数，因为开头那棵不用栽，所以不用加1。预设2：两端都不栽的情况是棵数=间隔数-1，因为不光开头的不用栽，最后一个间隔也不用栽。2.学生思考后回答。预设：棵数和间隔数都有关系，就是关系不太一样，有的加1，有的相等，还有的减1。3.学生回答。预设：间隔数=全长÷间距4.学生观察，说自己的发现。预设1：走方队中每一行学生的数量是植树问题，可以看成两端都栽。预设2：衬衣上的扣子排列也是植树问题，是只栽一端的，因为最下面不用栽。预设3：剪绳子是两端都不栽的情况，因为两端都不用剪。预设4：钟声属于两边都栽的植树问题，一开始要响一声，中间一个间隔响一声，到最后还要再响一声。5.学生回答。预设：虽然都没有真的栽树，但都是植树问题。首先巩固总长、间距、间隔数的概念和它们之间的关系，再通过画一画，直观夯实植树问题规律。考查学生是否能对具体的植树问题情况进行判断，并解决实际问题，培养学生的应用意识和创新意识。三、辅导练习1.基础练习（1）选择。①公路一边栽了17棵桂花树，如果每相邻两棵桂花树中间栽一棵银杏树，那么一共要栽（）棵银杏树。A.16B.17C.18 D.19②刘村有一条长600m的公路，计划在路的一侧每隔6m栽A.总距离 B.株距C.棵数 D.间隔数（2）画一画。一个舞台长20m，每隔5m挂一面彩旗。（用↑代表彩旗）①两端都挂②只挂一端③两端都不挂三、解决问题1.基础练习（1）①17棵桂花树之间有16个间隔，1个间隔对应着1棵银杏树，两端都不用栽，所以一共要种16棵银杏树。②600÷6就是总长度÷间距，求出的是间隔数。（2）可以利用直观演示，让线段、点数产生的画面灵动起来，从而帮助学生建构数学模型，提升学生的推理意识和思维水平。2.变式练习1路公共汽车从起点站到终点站行驶路线全长10km，如果相邻两个站点之间的路程是500m，那么这条路线一共设有多少个站点？3.提升练习一位老人沿路边散步，从第1盏路灯处走到第12盏路灯处共用了22分钟。当这位老人走了44分钟时，他走到了第几盏路灯处？2.变式练习分析：总长度为10km，间距为500m，在路线上设站点属于两端都栽的植树问题。10km=10000m间隔数：10000÷500=20站点数：20+1=21（个）3.提升练习分析：路边的路灯属于两端都栽的植树问题，原公式中的棵数为现在的路灯数（盏数）。根据“路灯数=间隔数+1”得知，“间隔数=路灯数-1”，因此在走到第12个路灯的时候，间隔数为12-1=11，走每个间隔需要的时间为22÷11=2（分），走44分钟就是走了44÷2=22个间隔，则路灯数=22+1=23（盏）。梳理本节课知识，巩固三种植树问题的数学模型，培养学生总结概括的能力。四、引导反思通过这节课的学习，你有哪些收获？四、提升问题同桌汇报并总结本节课收获。预设1：植树问题分为三类：两端都栽、只栽一端和两端都不栽。预设2：这三种情况中，棵数和间隔数都有关系，分别是棵数=间隔数+1、棵数=间隔数和棵数=间隔数-1。预设3：我还会求间隔数。间隔数=全长÷间距。预设4：生活中也有一些类似的植树问题，也可以利用这些模型来解决，比如站队、锯木头问题和敲钟问题等。板书设计植树问题两端都栽只栽一端两端都不栽迁移类推数形结合棵数=间隔数+1棵数=间隔数棵数=间隔数-1数学模型全长÷间距=间隔数20÷5=4↔4+1=5（棵）20÷4=5↔5+1=6（棵）20÷2=10↔10+1=11（棵）封闭图形的植树问题

教学目标1.理解并掌握封闭图形的植树问题的规律，会用规律解决实际生活中类似植树的问题。2.通过观察、操作、交流等活动，经历知识形成的过程，体会数形结合、化繁为简、化曲为直、一一对应的解题策略和方法，提高解决问题的能力，培养推理意识和模型意识。3.感受数学在日常生活中的广泛应用，体会数学的价值，激发学习数学的兴趣，培养应用意识。教学重难点1.理解并掌握封闭图形的植树问题的规律，会用规律解决实际生活中类似植树的问题，培养模型意识。2.综合运用知识灵活解决问题的能力。教学准备课件、学习任务单、练习本目标落实教师活动学生活动二次备课感受数学在日常生活中的应用，体会数学的价值，激发学习数学的兴趣，提高解决问题的能力，培养应用意识。一、情境导入学校“庆元旦”艺术节马上要进行了，学校艺术节筹备组也在精心布置会场。1.课件出示：艺术节筹备组准备在舞台前摆绿色盆栽，每隔2m放一盆，40m长的舞台（两端都要放），一共要放多少盆绿色盆栽？2.课件继续出示问题：为了更漂亮美观，学校准备在两盆绿色盆栽之间放一盆鲜花，需要买多少盆鲜花？师：我们利用植树问题解决了舞台前的布置问题，那接下来还有问题需要我们一起帮着来解决，让我们一起看看吧。一、发现问题学生理解情景问题，独立思考并进行解答。预设1：这是两端都栽的情况，棵数=间隔数+1：40÷2+1=21（盆）预设2：学生进一步思考并回答。鲜花的盆数=间隔数：21-1=20（盆）进一步体会数学与生活的联系，培养学生观察、分析、比较、迁移类推的能力，提高解决问题的能力。进一步体会数形结合、化繁为简的解决策略，提高解决问题能力，初步培养推理意识和模型意识。二、引导合作活动一：探究“圆”上的植树问题。1.课件出示问题：学校设计了一个圆形舞台，周长80m，每隔4m安装一盏彩灯，请问一共要安装多少盏灯？（1）问：这和我们之前学过的植树问题一样吗？（2）继续追问：根据上节课研究植树问题的方法和经验，你想如何研究“圆”上的植树问题？2.师：我们一起动手探究一下。教师出示活动要求。（1）选一选：我想选周长（）m的舞台进行研究。（2）画一画：用一个圆表示这个舞台，每隔4米安装一盏灯。二、探究问题活动一：探究“圆”上的植树问题。1.学生观察情境图，思考这个问题和上节课学习的植树问题的联系。（1）预设：安装灯相当于是植树，所以这也是植树问题，只是这是在圆形上植树，而上节课我们探究的是在线段上的植树问题。（2）学生回想上节课的研究方法，思考研究“圆”上的植树问题的方法。预设1：可以画图。预设2：可以化繁为简，选周长短一些的舞台先画画试试。2.学生按要求进行探究活动，并思考交流。汇报（可以找多名同学进行投影展示并汇报）预设1：周长12m，每隔4m一盏灯，有3个间隔，能安3盏。预设2：周长16m，每隔4m一盏，有4个间隔，能安4盏。经历知识形成的过程，理解封闭图形植树问题的规律，进一步体会数形结合、化曲为直、一一对应的解决策略和方法，培养科学严谨的思维习惯，进一步提高推理意识和模型意识。（3）数一数：画好后，数一数有几个间隔，几盏灯。（4）想一想：在圆形植树问题中，棵数和间隔数有什么关系？教师根据学生汇报课件展示12m、16m、20m、24m等的植树情况。活动二：大胆探究，验证猜想师：在圆形上植树问题中，我们通过画图举例，也就是数形结合，发现“棵数=间隔数”，但这只是个猜想，还需要进一步验证。请同学们打开学具袋，认真阅读要求，思考验证方法。要求：你想怎样验证这个结论？小组内分享自己的想法。学具袋里有三种灯带，以周长16m为例，如果用灯带绕圆形舞台一周，你选择哪种灯带？教师根据学生情况及时进行指导。1.教师进一步通过课件演示，一棵树对应一个间隔，强化棵数和间隔数一一对应。2.教师根据学生汇报引导学生理解选择第二种灯带的合理性。3.教师引导学生借助化曲为直的方法将圆形植树问题转化为一端植树问题。教师小结：通过刚才的说理验证、化曲为直等方法，得出圆形植树问题“棵数=间隔数”。预设3：周长20m，每隔4m一盏，有5个间隔，能安5盏。……预设4：发现：在圆形上植树，棵数=间隔数。活动二：大胆探究，验证猜想学生思考验证方法，并组内交流分享自己的想法。汇报：预设1：根据刚才的汇报，观察发现，在圆形上植树，不管周长是多少，都是一棵树对应一个间隔，有几个间隔，就有几棵树，所以得出“棵数=间隔数”。预设2：以周长16m为例，验证发现应该选择第二种灯带绕舞台一周，因为第一种首尾相接处有两盏灯，不符合要求；第三种首尾相接处没有灯，也不符合要求。所以第二种刚好符合要求。预设3：沿着第一棵树的旁边剪开，把它拉直，正好和第一种灯带的情况一样。这是实际转化成前面学习的一端植树问题一样，所以“棵数=间隔数”。进一步掌握封闭图形植树问题的规律，体会结论从特殊到一般，培养迁移类推的能力，进一步提高思维的严谨性，培养推理意识和模型意识。会用规律解决实际生活中植树的问题，培养应用意识。活动三：迁移类推，总结规律1.在圆形植树问题上，我们发现“棵数=间隔数”。如果是其他形状的舞台呢？课件出示：师问：这些图形都是什么样的图形？教师小结：像这样一条首尾相接的封闭图形，都可以把它拉直，转化成一端植树问题，所以“棵数=间隔数”。2.那你现在能解决“周长80m的舞台，每隔4m一盏灯，需要安装多少盏灯”吗？活动三：迁移类推，总结规律1.学生思考讨论其他形状的情况并汇报交流。预设：可以把他们也从一端剪开，拉直，都可以转化成我们学过的一端植树问题，都是“棵数=间隔数”。学生思考这些图形的特点并回答。预设：这些图形都是首尾相接，没有开口的封闭图形。2.学生独立思考并解决。预设：80÷4=20（盏）理解并掌握封闭图形植树问题的规律，培养模型意识和应用意识。三、辅导练习1.基础练习张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120m，如果每隔10m栽一棵树，一共要栽多少棵？三、解决问题1.基础练习引导学生应用封闭图形植树模型：棵数=间隔数。120÷10=12（棵）。培养学生灵活利用规律解决类似植树问题，进一步培养推理意识和应用意识。培养学生思维的灵活性，提高推理意识和应用意识。2.变式练习一个长方形公园，在其周围栽树，每隔10m栽一棵，共栽树200棵。公园的周长是多少米？3.提升练习学校运动会开幕式上，五年级代表队站成了一个方阵，这个方阵的最外层每边站了9人。最外层一共站了多少人？这个方阵共有多少人？2.变式练习引导学生理解：周长=间隔数×间隔长。间隔数=棵数，所以200×10=2000（米）。3.提升练习引导学生理解题意，可以借助画图理解，每边站9人，把每条边都看成一端植树问题，每条边上有9-1=8（人），8×4=32（人）。进一步掌握封闭图形的植树问题的规律，积累解决问题的方法和策略，提高解决问题的能力。四、引导反思本节课我们研究了封闭图形上的植树问题，在知识和方法上都有哪些收获？四、提升问题学生交流分享本节课的收获。知识：预设：我知道了封闭图形的植树问题都是“棵数=间隔数”。方法：预设1：本节课，我们还是利用化繁为简、数形结合、一一对应的解决策略和方法。预设2：可以把封闭图形转化成一端植树问题。预设3：在研究封闭图形的植树问题时，先利用化繁为简、画图尝试得到初步的猜想结论；然后动手验证得出结论，最后把结论推广到一般的封闭图形上。板书设计封闭图形的植树问题棵数 间隔数 化繁为简3棵 12÷4=3 数形结合4棵 16÷4=4 一一对应5棵20÷4=5化曲为直——转化棵数=间隔数评价测试一、我会填。(每题2分,共18分)1.()m2=25dm21.2时=()时()分2.1.4÷3的商用循环小数表示是(),循环节是(),保留两位小数是()。3.在一个长为16cm、宽为10cm的长方形纸片中,剪下一个最大的三角形,剩下部分的面积是()cm2。4.梯形的上底是6cm,是下底的1.5倍,是高的3倍,这个梯形的面积是()cm2。5.现有20吨沙子,用载质量4.5吨的汽车运,需要()辆这样的汽车就可以一次运完。6.盒子里有2个红球、3个黄球、5个白球。摸出()球的可能性最大,摸出()球的可能性最小。7.用数对表示下图中各字母的位置。A(,)B(,)C(,)D(,)8.第4列、第3行的位置可用数对表示为();(2,6)表示第()列、第()行。9.在一条大道的一侧每隔15m竖一根电线杆(两端各竖一根),共用电线杆86根,这条大道的全长是()m。二、我会选。(5分)1.下面算式与5.6×9.7的结果相等的是()。A.560×0.97B.0.56×97C.56×9.72.一个三角形和一个平行四边形的高相等,三角形的底是平行四边形底的2倍,它们的面积相比,()。A.三角形的面积大B.平行四边形的面积大C.相等3.方程x+0.8×31=25.2的解是()。A.x=4 B.x=0.4 C.x=0.044.一件童装用布料0.67m,20m布料可以做这样的童装()件。A.30 B.29 C.29.95.大于0.60且小于0.62的小数有()个。A.无数 B.10 C.1三、我会判。(正确的画“√”,错误的画“×”)(6分)1.已知工作效率是a,时间是t,工作总量c=at。当a=5.8,t=7时,c=39。()2.近似数5和5.0以及5.00的意义和数值都相同。()3.两个数的积一定大于这两个数的商。()4.3x+2x-10是方程。()5.梯形的面积等于平行四边形面积的一半。()6.方程的左、右两边同时加上或减去同一个数,左右两边仍然相等。()四、我会算。(27分)1.直接写出得数。(4分)1÷0.125= 8÷10= 0.43+3.57= 7.5x-3x=a+3a+7a= 7.2×0.01= 1.05×100= 1÷0.5=2.列竖式计算。(