沈阳大学高数考试题及答案

沈阳大学高数考试题及答案一、选择题（8题，每题3分，共24分）

1.在一元函数微分学中，下列哪个条件是函数在一点可微分的必要条件？

A.函数在该点连续

B.函数在该点可导

C.函数在该点有界

D.函数在该点单调

2.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)等于什么？

A.f(a)+f(b)

B.(f(a)+f(b))/2

C.0

D.f(a)f(b)

3.在多元函数微分学中，若函数在某一点的所有偏导数都存在，则该函数在该点一定？

A.连续

B.可微

C.可积

D.可导

4.若函数f(x,y)在区域D上具有二阶偏导数，则下列哪个结论不一定成立？

A.fxx=fxy

B.fyx=fyy

C.fxy=fyx

D.fxx=fyy

5.在级数理论中，若正项级数{an}满足an+1/an<1对所有n都成立，则级数一定？

A.发散

B.收敛

C.条件收敛

D.绝对收敛

6.在曲线积分中，若曲线C是闭曲线，且向量场F在该区域内具有连续的一阶偏导数，则下列哪个等式成立？

A.∮CF·dr=0

B.∮CF·dr≠0

C.∮CF·dr的值取决于曲线C的形状

D.∮CF·dr的值取决于向量场F的具体形式

7.在重积分中，若区域D是x轴和y轴围成的第一象限内的三角形区域，则二重积分∬DxydA的值是多少？

A.1/6

B.1/12

C.1/8

D.1/4

8.在常微分方程中，下列哪个方程是线性微分方程？

A.y''+y^3=0

B.y''+sin(y)=0

C.y''+y'+y=x

D.y''+y'=ln(x)

二、（一）多项选择题（5题，每题4分，共20分）

1.下列哪些是函数在一点可导的充分条件？

A.函数在该点连续

B.函数在该点可微

C.函数在该点的左右导数存在且相等

D.函数在该点有界

2.在多元函数微分学中，若函数在某一点的所有二阶偏导数都连续，则该函数在该点一定？

A.连续

B.可微

C.可积

D.可导

3.在级数理论中，下列哪些是正项级数收敛的充分条件？

A.比较判别法

B.比值判别法

C.根值判别法

D.莱布尼茨判别法

4.在曲线积分中，若曲线C不是闭曲线，且向量场F在该区域内具有连续的一阶偏导数，则下列哪些等式可能成立？

A.∮CF·dr=0

B.∮CF·dr≠0

C.∮CF·dr的值取决于曲线C的形状

D.∮CF·dr的值取决于向量场F的具体形式

5.在重积分中，下列哪些是计算二重积分的常用方法？

A.直角坐标系

B.极坐标系

C.柱坐标系

D.球坐标系

（二）判断题（7题，每题2分，共14分）

1.若函数在某点可导，则函数在该点一定连续。（）

2.若函数在某点可微，则函数在该点一定可导。（）

3.若正项级数{an}满足an+1/an<1对所有n都成立，则级数一定收敛。（）

4.在曲线积分中，若曲线C是闭曲线，且向量场F在该区域内具有连续的一阶偏导数，则∮CF·dr=0。（）

5.在重积分中，若区域D是x轴和y轴围成的第一象限内的三角形区域，则二重积分∬DxydA的值是1/6。（）

6.在常微分方程中，线性微分方程的解可以表示为线性组合的形式。（）

7.在级数理论中，若级数{an}收敛，则级数{an^2}也一定收敛。（）

三、（一）填空题（6题，每题3分，共18分）

1.若函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2，则当x接近x0时，f(x)可以近似表示为_________。

2.在多元函数微分学中，函数f(x,y)在点(x0,y0)处的梯度向量是_________。

3.若正项级数{an}满足an+1/an<1对所有n都成立，则该级数的收敛速度_________。

4.在曲线积分中，若向量场F=(P,Q)在区域D内具有连续的一阶偏导数，且∂Q/∂x=∂P/∂y，则∮CF·dr=0，其中C是D内的任意闭曲线。

5.在重积分中，若区域D是x轴和y轴围成的第一象限内的单位圆盘，则二重积分∬De^(-x^2-y^2)dA的值是_________。

6.在常微分方程中，方程y''+y'+y=0的特征方程是_________。

（二）计算题（4题，每题7分，共28分）

1.计算极限lim(x→0)(sin(x)-x)/x^3。

2.计算偏导数∂z/∂x和∂z/∂y，其中z=arctan(y/x)。

3.判断级数∑(n=1to∞)(n+1)/n^3的收敛性。

4.计算曲线积分∮C(x^2+y^2)dx+(xy-y^2)dy，其中C是单位圆x^2+y^2=1。

四、综合题（2题，每题10分，共20分）

1.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则存在一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

2.讨论级数∑(n=1to∞)(-1)^n/n^p的收敛性，其中p是正实数。

五、材料分析题（2题，每题14分，共28分）

1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导。证明：若f'(x)>0对所有x∈(a,b)都成立，则f(x)在区间[a,b]上严格单调增加。

2.设向量场F=(x^2y,xy^2)在平面区域内具有连续的一阶偏导数。证明：该向量场是保守场，即存在标量函数φ，使得F=∇φ。

答案部分：

一、选择题

1.B

2.B

3.B

4.A

5.B

6.A

7.A

8.C

二、（一）多项选择题

1.A,C

2.A,B

3.A,B,C

4.B,C

5.A,B,C,D

（二）判断题

1.√

2.√

3.√

4.√

5.√

6.√

7.×

三、（一）填空题

1.f(x0)+f'(x0)(x-x0)

2.(∂f/∂x,∂f/∂y)

3.快

4.是

5.π(1-e^{-1})

6.r^2+r

（二）计算题

1.-1/6

2.∂z/∂x=-y/x^2(1+x^2),∂z/∂y=x/x^