2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高二（下）期中数学试卷一、填空题1．直线的倾斜角为．2．点到直线上的距离为．3．圆的半径为．4．双曲线的实轴长为．5．已知直线与圆相交于，两点，则．6．已知抛物线，则抛物线的准线方程为．7．设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是．8．已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则点到轴的距离为．9．已知点是椭圆上的动点，则的取值范围是．10．设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，则该双曲线渐近线的夹角为．11．已知为双曲线的左焦点，是双曲线右支上一点，线段与以该双曲线实轴为直径的圆相切于线段的中点，则该双曲线的离心率为．12．已知实数，，，满足，，，则的最大值为二、单选题（共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）13．设常数，已知直线，直线，则“”是“直线与直线平行”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．过点作圆的切线，则的方程为（）A．或 B．或 C．或 D．15．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆．此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（）A． B． C． D．16．已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．下列判断正确的是（）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题三、解答题17．已知△的三个顶点分别是，，，为中点．（1）求中线和线段分别所在的直线方程；（2）求△的面积．18．已知圆的方程为．（1）求实数的取值范围；（2）若圆与直线交于，两点，且，求的值．19．如图，已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于，两点．（1）设，求线段中点到轴的距离；（2）若直线的倾斜角为，求△面积．20．（17分）已知双曲线，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合．（1）求双曲线的焦距和离心率；（2）当为中点时，△的面积为7，求直线的斜率；（3）设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程．21．（18分）已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点．（1）若点不在轴上，求△的周长；（2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过，求的方程；（3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，在轴上方是否存在点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、填空题1．．2．．3．．4．．5．．6．．7．．8．．9．，．10．．11．．12．5．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：（1）因为，，为中点，所以，因为，所以由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：；因为，所以由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：；（2）由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为：．由两点间的距离公式可得，两点间距离：．所以△的面积．18．解：（1）已知圆的方程为．可化为，因为此方程表示圆，所以，即，故实数的取值范围是；（2）若圆与直线交于，两点，由（1）可得圆心，半径，如图，过点作于点，则，圆心到直线的距离为，由图可得：即，解得：，即的值为6．19．解：（1）因为过焦点的直线交抛物线于，两点，且，设，，，，则由抛物线的性质可得，又由题，所以，所以线段中点的横坐标即为线段中点到轴的距离为．（2）由直线的倾斜角为，则直线斜率为1，焦点为，所以直线的方程：，将直线与抛物线联立，整理可得，所以，，所以，原点到直线的距离，所以．20．解：（1），，，所以焦距，离心率；（2）设直线的方程为，，即，与联立得，判别式△；设，，，，则，，可得，此时，△面积，解得（舍或；（3）证明：点，，，共线，可得，同理，，由为中点，可得，即，韦达定理代入，可得，即，所以，在定直线上．21．解：（1）因为椭圆的方程为，所以．当不在轴上，由椭圆定义得，则；（2）易知直线斜率不为0，设直线的方程为，，，，，联立，消去并整理得，此时△，由韦达定理得．因为以为直径的圆经过，所以，又，此时，所以，即，解得，则或；