甘肃省庆阳市环县第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

甘肃省环县第一中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题一、单选题1．在中，，，则外接圆的半径为（

）A．1 B． C． D．22．复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．以下四个命题中，真命题为（

）A．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥B．底面是矩形的平行六面体是长方体C．直四棱柱是直平行六面体D．棱台的侧棱延长后必交于一点4．已知的直观图如图所示，//轴，//轴，且，则（

）A． B．C． D．5．已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中，真命题是（

）A．若，，则与必异面 B．若点，点，则直线C．若，，则 D．若点，点，则直线与相交6．连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（

）A． B． C． D．7．如图，在中，N为线段上靠近A的三等分点，点P在上且则实数m的值为（

）A．1 B． C． D．8．如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（

）A． B．复数的虚部为C．若复数为纯虚数，则 D．若为复数，则10．下列各式中，值不为的是（

）A． B．C． D．11．已知圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为，，圆台的母线与下地面所成角的正切值为，为上一点，则（

）A．圆台的母线长为B．当圆锥的圆锥的体积相等时，C．圆台的体积为D．当圆台上、下底面的圆周都在同一球面上，该球的表面积为三、填空题12．在长方体中，，则异面直线和所成角的大小是___________．13．圆柱的底面周长为是底面圆的直径，高，点是母线上一点，且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是___________cm．14．司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米．

四、解答题15．已知向量．(1)若与共线，求；(2)若，求．16．已知函数．(1)求的最小正周期；(2)若，求函数的值域．17．Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．(1)求和的值；(2)试求两人共答对3道题的概率．18．在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知．(1)求角A的值；(2)若．①求a的值；②求面积的最大值．19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于．(1)求证：为的中点；(2)求证：平面平面；(3)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值．参考答案题号12345678910答案ADDCDBDABCABD题号11答案BCD1．A解析：由正弦定理，则，故外接圆的半径为1.故选：A.2．D解析：复数，则，从而在复平面对应点为，在第四象限.3．D解析：A中，如图，若，且，则该三棱锥不是正三棱锥，A是假命题；B中，平行六面体中侧棱与底面矩形不一定垂直，B是假命题；C中，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故直四棱柱不一定是直平行六面体，C是假命题；D中，根据棱台的定义，D是真命题.故选：D4．C解析：根据斜二测画法可知，，则．5．D解析：对于A，若，，则与平行或相交、或异面，故A为假命题；对于B，若点，点，则直线平面或直线与平面相交，故B为假命题；对于C，若，，则与平行或异面，故C为假命题；对于D，若点，点，则直线与平面相交，故D为真命题；故选：D.6．B解析：一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，可能出现的情况为：，，，，，共种，其中至少出现一次1点的情况有：，共种，故至少出现一次1点的概率是.故选：B7．D解析：由题可得，，三点共线，，.故选：D.8．A解析：如图，取的中点，连接，则，则在正方体中，，所以四边形是平行四边形，所以，又，所以，则四边形即为过A，C，K三点的截面，因为正方体的棱长为，所以，，，则其周长为.9．BC解析：选项A：因为故选项A正确；选项B：复数的虚部为，故选项B不正确；选项C：若，则即，故选项C不正确；选项D：设，所以，则，故选项D正确.10．ABD解析：对于A：；对于B：；对于C：；对于D：．11．BCD解析：解：圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为3，为上一点，，母线，与圆台的母线长为6矛盾，所以A错误；，，B正确；，C正确；设球心到上底面的距离为，则，解得，，，D正确；故选：BCD．12．/解析：由知为异面直线和所成的角．在Rt中，，则，即异面直线和所成角的大小是.13．5解析：圆柱的侧面展开图如图：由圆柱的底面周长为，得，又，在中，，所以蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是.14．解析：因为平面，设雕像高度，根据仰角的直角三角形关系：在处仰角，则，故，在处仰角，则，故，在处仰角，则，故，如图可知，，即，解得：，因为高度为正，故.15．(1)(2)解析：（1）由题得，因为与共线，，所以，解得．（2），即，则，解得．16．(1)(2)解析：（1）．所以函数的最小正周期．（2）由，得，则，所以函数的值域为．17．(1)(2)．题，列式解得即可.解析：（1）由题意可得即解得或由于，所以．（2）设甲同学答对了道题乙同学答对了道题．由题意得，，．设甲、乙二人共答对3道题，则．由于和相互独立，与互斥，所以所以甲、乙两人共答对3道题的概率为.18．(1)(2)①；②解析：（1），，化简可得：，,

，（2）①，

，．

②由①得，，当且仅当时等号成立，

面积的最大值为．19．(1)证明：连接，，因为四边形是矩形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以，因为是的中点，所以为的中点．(2)证明：因为，是的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，且，所以平面，又平面，所以，因为，且，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．(3)解析：（1）略（2）略（3）过点作，垂足为，