小升初数学衔接 第12讲 有理数的混合运算（真题拔高检测卷）（教师版）（北师大版）

北师大小升初数学暑期衔接真题汇编拔高检测卷第12讲有理数的混合运算一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•秦淮区一模）下列计算结果是正数的是（）A．2+（﹣3） B．2﹣（﹣3） C．2×（﹣3） D．﹣32【思路点拨】根据有理数的运算法则分别计算，再比较大小即可求解．【规范解答】解：A、2+（﹣3）＝﹣1，B、2﹣（﹣3）＝5，C、2×（﹣3）＝﹣6，D、﹣32＝﹣9，结果是正数的是5；故选：B．【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．也考查了有理数大小比较．2．（2分）（2023•仙居县一模）我们可用数轴直观研究有理数及其运算．如图，将物体从点A向左平移5个单位到点B，可以描述这一变化过程的算式为（）A．2+（﹣5） B．2﹣（﹣5） C．2×（﹣5） D．2÷（﹣5）【思路点拨】点A向左平移5个单位到点B相当于从2向右平移了（﹣5）个单位，因此表示为2+（﹣5）即可．【规范解答】解：物体从点A向左平移5个单位到点B，即2+（﹣5）．故选：A．【考点评析】此题考查有理数的混合运算，解题关键是看清平移的方向和距离．3．（2分）（2022秋•天山区校级期末）下列结论：①几个有理数相乘，若负因数的个数是偶数，则积为正数；②若﹣1＜m＜0，则；③若c＜0＜a＜b，则（a+b）（b﹣c）（c﹣a）＜0；④已知a、b、c是有理数，且a+b+c＝0，abc＜0，则；其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】利用有理数的乘法法则、有理数的大小比较、绝对值的化简逐一判断即可．【规范解答】解：①几个不为零的有理数相乘，若负因数的个数是偶数，则积为正数，故错误；②若﹣1＜m＜0，则，故正确；③若c＜0＜a＜b，则a+b＞0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，所以（a+b）（b﹣c）（c﹣a）＜0，故正确；④已知a、b、c是有理数，且a+b+c＝0，abc＜0，即a、b、c中有一个为负数，则＝＝﹣1，故错误．综上，正确的结论有②③，共2个．故选：B．【考点评析】本题主要考查有理数的乘法、有理数比较大小、绝对值的化简，掌握有理数的运算法则是解题关键．4．（2分）（2022秋•大连期末）如图，有理数a、b、c、d在数轴上的对应点分别是A、B、C、D，若a、c互为相反数，则b+d（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不确定【思路点拨】根据数轴和题目中的条件可以判断a、b、c、d的正负和它们的绝对值的大小，从而可以求得b+d的正负情况，本题得以解决．【规范解答】解：由数轴可得d＜a＜0＜b＜c，∵a、c互为相反数，∴|a|＝|c|，∴|d|＞|b|，∴b+d＜0．故选：C．【考点评析】本题考查了有理数的混合运算、数轴、相反数，解题的关键是明确题意，明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．5．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，x☆y＝m2x+ny﹣3（m，n为常数）．例如：4☆3＝m2×4+n×3﹣3＝4m2+3n﹣3．若2☆3＝3，则4☆6的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【思路点拨】先根据新定义得出2☆3＝m2×2+n×3﹣3＝2m2+3n﹣3＝3，计算出2m2+3n的值，再按新定义计算4☆6，将2m2+3n的值代入计算即可．【规范解答】解：由题意知，2☆3＝m2×2+n×3﹣3＝2m2+3n﹣3＝3，解得2m2+3n＝6，因此4☆6＝m2×4+n×6﹣3＝2（2m2+3n）﹣3＝2×6﹣3＝9．故选：C．【考点评析】本题考查了新定义运算、代数式求值，掌握整体代入法是关键．6．（2分）（2021秋•社旗县期中）下列变形正确的有（）个．①4.3﹣1.6﹣2.3+1.7＝4.3﹣2.3+1.7﹣1.6；②3﹣（﹣2）+（﹣）﹣﹣（+）＝3+2﹣﹣+；③÷（﹣+）＝÷﹣÷+÷；④（﹣1002）×17＝（﹣1000+2）×17．A．0 B．1 C．2 D．3【思路点拨】根据加法的交换律可以判断①；根据省略加法的方法可以判断②；根据有理数的除法和加减法可以判断③；根据乘法分配律可以判断④．【规范解答】解：①4.3﹣1.6﹣2.3+1.7＝4.3﹣2.3+1.7﹣1.6，故①正确；②3﹣（﹣2）+（﹣）﹣﹣（+）＝3+2﹣﹣﹣，故②错误；③÷（﹣+）＝÷＝×6＝，而÷﹣÷+÷＝×3﹣×4+×12＝＝≠，故③错误；④（﹣1002）×17＝（﹣1000﹣2）×17，故④错误；故选：B．【考点评析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序．7．（2分）（2021秋•柯城区期中）如图①，在五环图案内，分别填写数字a，b，c，d，e，其中a，b，c表示三个连续偶数（a＜b＜c），d，e表示两个连续奇数（d＜e），且满足a+b+c＝d+e，如图②，2+4+6＝5+7．若b＝﹣12，则d2﹣e2的结果为（）A．﹣72 B．72 C．﹣56 D．56【思路点拨】根据a，b，c表示三个连续偶数，b＝﹣12，可知a和b的值，d，e表示两个连续奇数，从而确定d和e的值，继而代入计算即可．【规范解答】解：∵a，b，c表示三个连续偶数，b＝﹣12，∴a＝﹣14，c＝﹣10，∴a+b+c＝﹣36，∵d，e表示两个连续奇数，∴d＝﹣19，e＝﹣17，∴d2﹣e2＝361﹣289＝72，则d2﹣e2的结果为72．故选：B．【考点评析】本题考查了规律型﹣数字的变化类及有理数的运算，解决本题的关键是确定d和e的值．8．（2分）（2022秋•宁津县月考）下列说法中，正确的个数是（）①若||＝，则a≥0；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2；④若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式值为2021；⑤a+b+c＝0，abc＜0，则的值为±1．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】根据各个小题中的说法，可以判断是否正确，尤其是对于错误的结论，我们只要说明理由或者举出反例即可．【规范解答】解：若||＝，则a＞0，故①错误，不合题意；若|a|＞|b|，则a＞b＞0或a＞0＞b＞﹣a或﹣a＞b＞0＞a或0＞b＞a，当a＞b＞0时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，当a＞0＞b＞﹣a时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，当﹣a＞b＞0＞a时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，当0＞b＞a时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，由上可得，（a+b）（a﹣b）＞0是正数，故②正确，符合题意；A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2或﹣10或14，故③错误，不合题意；若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011＝2x+9﹣3x+x﹣1+2011＝2019，故④错误，不合题意；∵a+b+c＝0，abc＜0，∴a、b、c中一定是一负两正，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，不妨设a＞0，b＞0，c＜0，∴++＝＝＝﹣1﹣1+1＝﹣1，故⑤错误，不合题意；故选：A．【考点评析】本题考查有理数的混合运算、整式的乘除、平方差公式，解答本题的关键是对于错误的结论，要说明理由或者举出反例．9．（2分）（2021秋•温州期中）设n！表示所有小于或等于该数的正整数的积，如4！＝1×2×3×4，则计算的结果为（）A．100 B．99 C．10000 D．9900【思路点拨】由题意得：101！＝98！×99×100×101，100！＝98！×99×100，99！＝98！×99，据此进行求解即可．【规范解答】解：＝＝＝＝9900．故选：D．【考点评析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，对所求的式子进行转化．10．（2分）（2021秋•七星关区期中）下列各式正确的是（）A．﹣2﹣1×6＝（﹣2﹣1）×6 B． C．（﹣1）2020+（﹣1）2021＝1+（﹣1） D．（﹣4×32）＝（﹣4×3）2【思路点拨】对每个选项逐个分析，即可得出答案．【规范解答】解：∵﹣2﹣1×6＝﹣2﹣6，∴选项A不符合题意；∵＝，∴选项B不符合题意；∵（﹣1）2020+（﹣1）2021＝1+（﹣1）∴选项C符合题意；∵（﹣4×32）＝（﹣4×9），∴选项D不符合题意；故选：C．【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的顺序是解决问题的关键．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023春•南岗区校级月考）若定义一种新运算：a⊕b＝a+（﹣b），则（﹣3⊕9）⊕（﹣5）＝﹣7．【思路点拨】根据a⊕b＝a+（﹣b），可以计算出所求式子的值．【规范解答】解：∵a⊕b＝a+（﹣b），∴（﹣3⊕9）⊕（﹣5）＝[（﹣3）+（﹣9）]⊕（﹣5）＝（﹣12）⊕（﹣5）＝（﹣12）+[﹣（﹣5）]＝﹣12+5＝﹣7，故答案为：﹣7．【考点评析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．12．（2分）（2022秋•君山区期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，则的值为3．【思路点拨】根据相反数、倒数以及绝对值的定义得到a+b＝0，cd＝1，m＝±2，得出m2＝4，然后代入计算即可得出答案．【规范解答】解：根据题意得：a+b＝0，cd＝1，m＝±2，∴m2＝4，∴原式＝．故答案为：3．【考点评析】本题考查的是有理数的混合运算，涉及到绝对值、相反数、倒数，代数式求值，正确理解绝对值、相反数、倒数的定义是解题的关键．13．（2分）（2022秋•秦淮区期末）计算的结果是．【思路点拨】设，化简求解即可．【规范解答】解：设，原式＝＝＝．故答案为：．【考点评析】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据题意把看作一个整体．14．（2分）（2022秋•射洪市期末）计算：＝25．【思路点拨】原式逆用乘法分配律计算即可求出值．【规范解答】解：原式＝25×（+﹣）＝25×1＝25．故答案为：25．【考点评析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．（2分）（2023•东莞市二模）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：指数运算21＝222＝423＝8…31＝332＝933＝27…新运算log22＝1log24＝2log28＝3…log33＝1log39＝2log327＝3…根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216＝4，②log525＝5，③．其中正确的是①③．【思路点拨】根据题中的新定义法则判断即可．【规范解答】解：根据题意得：①log216＝log224＝4，原计算正确，②log525＝log552＝2，原计算错误，③＝log22﹣1＝﹣1，原计算正确．故答案为：①③．【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（2分）（2022秋•通川区期末）规定如下两种运算：x⊗y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1．例如：2⊗3＝2×2×3+1＝13；2⊕3＝2+2×3﹣1＝7．若a⊗（4⊕5）的值为79，则3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]的值是7．【思路点拨】根据x⊗y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1，a⊗（4⊕5）的值为79，可以得到a的值，然后将所求式子化简，再将a的值代入计算即可．【规范解答】解：∵x⊗y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1，a⊗（4⊕5）的值为79，∴a⊗（4+2×5﹣1）＝a⊗（4+10﹣1）＝a⊗13＝2a×13+1＝26a+1，∴26a+1＝79，解得a＝3，∴3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]＝3a+2（3a﹣4a+2）＝3a+6a﹣8a+4＝a+4＝3+4＝7，故答案为：7．【考点评析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，求出a的值．17．（2分）（2022秋•临川区校级期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则（a+b）2016+（﹣cd）2017的值为﹣1．【思路点拨】根据题意可以求得a+b、cd的值，从而可以求出题目中所求式子的值．【规范解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，∴a+b＝0，cd＝1，（a+b）2016+（﹣cd）2017＝﹣1，故答案为：﹣1【考点评析】本题考查有理数混合运算、解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．18．（2分）（2022秋•南岗区校级月考）找规律并计算：＝．【思路点拨】把相邻两个括号交换位置，先算括号内，再约分即可．【规范解答】解：原式＝＝＝＝．故答案为：．【考点评析】本题考查了分数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．19．（2分）（2022秋•靖江市校级月考）如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是3，则m2﹣2022a+5cd﹣2022b的值是14．【思路点拨】利用相反数的意义，倒数的意义和绝对值的意义求得a+b，cd，m的值，利用整体代入的方法解答即可．【规范解答】解：∵a，b互为相反数，∴a+b＝0，∵c，d互为倒数，∴cd＝1，∵m的绝对值是3，∴m＝±3．∴原式＝m2﹣2022（a+b）+5cd＝9﹣0+5＝14，故答案为：14．【考点评析】本题主要考查了有理数的混合运算，相反数的意义，倒数的意义和绝对值的意义，利用整体代入的方法解答是解题的关键．20．（2分）（2021春•武侯区校级期中）如图，定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，第三次“F运算”的结果是11．若n＝449，则第449次“F运算”的结果是8．【思路点拨】解决此类问题的关键在于将新运算转化为学过的数的有关运算法则进行计算，只有转化成功，才能有的放矢．【规范解答】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝449为奇数应先进行F①运算，即3×449+5＝1352（偶数），需再进行F②运算，即1352÷23＝169（奇数），再进行F①运算，得到3×169+5＝512（偶数），再进行F②运算，即512÷29＝1（奇数），再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），再进行F②运算，即8÷23＝1，再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），…，即第1次运算结果为1352，…，第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，…，可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8，从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第499次是奇数，这样循环计算一直到第449次“F运算”，得到的结果为8．故答案为：8．【考点评析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023春•鞍山月考）计算：（1）；（2）（﹣1）2023+（﹣3）2×|﹣|﹣42÷（﹣2）4．【思路点拨】（1）先算乘法，再算加减即可；（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可．【规范解答】解：（1）原式＝﹣2+﹣＝﹣+﹣＝﹣﹣＝﹣＝﹣8；（2）原式＝﹣1+9×﹣16÷16＝﹣1+1﹣1＝﹣1．【考点评析】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．22．（8分）（2022秋•德州期中）计算：（1）﹣1[3+（﹣3）2]÷（﹣1）；（2）（﹣+）÷（﹣）；（3）（）÷（﹣）﹣；（4）﹣12022﹣（1﹣0.5）×[2﹣（﹣3）2]．【思路点拨】（1）先算乘方，再算乘除，有括号先算括号里面的，最后算加减运算；（2）把除变成乘，去括号，再相乘，再加减运算；（3）把除变成乘，去括号，再相乘，再加减运算；（4）先算乘方和小括号，再算乘除，最后加减运算．【规范解答】解：（1）﹣1[3+（﹣3）2]÷（﹣1）＝﹣1﹣×（3+9）×（﹣）＝﹣1﹣×12×（﹣）＝﹣1+＝；（2）（﹣+）÷（﹣）＝（﹣+﹣）×（﹣18）＝（﹣）×（﹣18）+×（﹣18）﹣×（﹣18）＝9﹣12+15＝﹣3+15＝12；（3）（）÷（﹣）﹣＝（）×（﹣）﹣＝（﹣）﹣+﹣2﹣＝﹣4+﹣﹣2＝﹣4﹣1﹣2＝﹣7；（4）﹣12022﹣（1﹣0.5）×[2﹣（﹣3）2]＝﹣1﹣××（2﹣9）＝﹣1﹣××（﹣7）＝﹣1+＝．【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则和混合运算的顺序．23．（6分）（2023•襄都区校级一模）老师在课堂上展示了一个数学问题：请你利用式子“7+□×5﹣〇”编题并解决问题．（1）佳佳：若“□”表示﹣2，“〇”表示﹣4，求算式的计算结果．（2）琪琪：若“□”表示﹣3，且算式的计算结果为2，求“〇”所表示的数．【思路点拨】（1）根据题意列出算式7+（﹣2）×5﹣（﹣4），再进一步计算即可；（2）根据题意列出算式7+（﹣3）×5﹣2，再进一步计算即可．【规范解答】解：（1）由题意知7+（﹣2）×5﹣（﹣4）＝7﹣10+4＝1；（2）由题意知“〇”所表示的数为7+（﹣3）×5﹣2＝7﹣15﹣2＝﹣10．【考点评析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．24．（8分）（2022秋•成都期末）（1）计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|；（2）小明同学在计算（﹣6）×（﹣）﹣23时，发现题中有一个数字被墨水污染了．如果计算结果等于6，求被污染的数字是多少？【思路点拨】（1）先化简每一个绝对值，然后再进行计算即可解答；（2）设被污染的数字是x，根据题意可得：（﹣6）×（﹣x）﹣23＝6，然后进行计算即可解答．【规范解答】解：（1）|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|＝﹣+﹣+﹣+...+﹣＝﹣＝；（2）设被污染的数字是x，由题意得：（﹣6）×（﹣x）﹣23＝6，﹣4+6x﹣8＝6，6x＝6+4+8，6x＝18，x＝3，∴被污染的数字是3．【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．25．（8分）（2023•池州模拟）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：因为：所以：＝＝＝问题：计算：①；②．【思路点拨】（1）分子为1，分母是两个连续自然数的乘积，第n项为＝﹣，依此抵消即可求解；（2）分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，第n项为＝（﹣），依此抵消即可求解．【规范解答】解：①＝＝＝；②＝＝＝＝＝．【考点评析】考查了有理数的混合运算，解决这类题目要找出变化规律，消去中间项，只剩首末两项，使运算变得简单．26．（8分）（2022秋•洛龙区期中）观察下列两个等式：+1，，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对（2，），（5，），都是“共生有理数对”．（1）判断数对（﹣2，1），（3，）是否为“共生有理数对”，并说明理由；（2）若（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，求（﹣4）mn的值；（3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣2n，﹣2m）是“共生有理数对”吗？请说明理由．【思路点拨】（1）根据题目中的定义，可以计算出数对（﹣2，1），（3，）是否为“共生有理数对”；（2）根据（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，可以求得（﹣4）mn的值；（3）先判断，然后根据“共生有理数对”的定义，可以判断（﹣2n，﹣2m）是否为“共生有理数对”．【规范解答】解：（1）（﹣2，1）不是“共生有理数对”，（3，）是“共生有理数对”，理由：∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣2+1＝﹣1，﹣3≠﹣1∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”；∵，，∴（3，）是“共生有理数对”；（2）∵（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，∴，解得mn＝3，∴（﹣4）mn＝（﹣4）3＝﹣64；（3）（﹣2n，﹣2m）不是“共生有理数对”，理由：∵﹣2n﹣（﹣2m）＝﹣2n+2m＝2（m﹣n），（﹣2n）×（﹣2m）+1＝4mn+1，∵（m，n）是“共生有理数对”，∴m﹣n＝mn+1，∴2（m﹣n）＝2（mn+1）＝2mn+2，而2mn+2不一定等于4mn+1，∴（﹣2n，﹣2m）不是“共生有理数对”．【考点评析】本题考查有理数的混合