2026版高一数学同步教学课件1.1.1集合及其表示方法

《人教B版2019高中数学必修第一册》第一章

集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法1.了解集合的含义与特性，掌握集合的区间及其表示，体会元素与集合的关系.（重点）2.掌握常用数集及集合的列举法和描述法，并能够用其解决有关问题.（难点）学习目标新知探究1——集合

在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类．例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的（如图所示），作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类......

你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类．【新知生成】在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素．构建新知1.集合的概念：

研究对象总体集

属于不属于

例1：如果A是由所有小于１０的自然数组成的集合，则０

A，0.5

A.典例精讲∈∉例2：如果B是由方程X２＝１的所有解组成的集合，则-1

B，0

B，3

B.∈∉∉例3：如果C是平面上与定点O的距离等于定长r(r＞０）的点组成的集合，则对于以O为圆心、r为半径的圆O上的每个点P来说，都有P

C．∈构建新知（4）空集：一般地，

我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅

思考：方程x＋１＝x＋２的所有解组成的集合里面的元素是什么？由于该方程无解，因此这个集合不含有任何元素确定性：集合的元素必须是确定的；互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的；无序性：集合中的元素可以任意排列.

（5）集合中元素的三个特性：（6）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.（7）集合分类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集空集可以看成包含０个元素的集合，所以空集是有限集．典例精讲例4：（多选题）下列各组对象能组成集合的是().A.2022年北京冬奥会的5个冰上项目和10个雪上项目B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x图象上所有的点【解析】选项A，C，D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有明确标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合.温馨提示：三个特性是用于判断集合的关键.常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法___________________________

新知探究2——常用数集有一些数的集合经常要用到，为了方便起见，人们用约定俗成的符号来表示它们.

【自然数集】全体自然数组成的集合，包括0，1，2…等，记作N，也叫非负整数集【正整数集】全体正整数组成的集合，记作N*或N+；【整数集】全体整数组成的集合，记作Z；【有理数集】全体有理数组成的集合，记作Q；【实数集】全体实数组成的集合，记作R；注意写法

C

典例精讲新知探究3——列举法问题1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？问题2：方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合，又如何表示呢？问题3：通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的特点吗？【解析】（1）可以这样表示：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.

（2）该集合表示为{-1,-2}构建新知3.列举法：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．特点是_____________________________.适用于元素的个数较少的集合注意：列举法表示集合时的

4个关注点：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；(2)集合中的元素必须是明确的；(3)集合中的元素不能重复；(4)集合中的元素可以是任何事物.新知探究4——描述法思考：以下集合用列举法表示方便吗？如果不方便，你觉得可以怎样表示？（1）满足x＞3的所有实数组成的集合A；（2）所有有理数组成的集合Q.【解析】（1）不等式x＞3的解集是有无数个元素，所以不能用列举法表示.所以可以把集合A表示为A={x丨x是大于3的实数}或A={x丨x＞3}

构建新知4.描述法：

一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质P（x）,而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质P（x）称为集合A的一个特征性质.此时，集合A可以用它的特征性质P(x)表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为特征性质描述法，简称为描述法．描述法表示集合的写法：在特征性质大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.注意：描述法表示集合时的3个关注点(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数或几何图形等；(3)不能出现未被说明的字母.例6

用描述表示以下集合：（1）所有平行四边形组成的集合（2）所有能被３整除的整数组成的集合（3）所有被３除余１的自然数组成的集合典例精讲【解析】（1）{x丨x是一组对边平行且相等的四边形}

（2）{x丨x=3n，n∈Z}

（3）{x丨x=3n+1，n∈N}，这一集合通常也可以表示为【归纳】集合｛x｜p（x）｝中所有在另一个集合I中的元素组成的集合，可以表示为｛x∈I｜p（x）｝{x∈N丨x=3n+1，n∈N}1.用适当的方法表示下列集合（1）方程x(x-1)=0的所有解组成的集合A；（2）平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B.小试牛刀【解析】（1）因为0,1是方程x(x-1)=0的解，而且这个方程只有两个解，所以A={0,1}（2）因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此B={(x,y)丨x＞0,y＞0}【提示】先判断A与B是有限集还是无限集，由此思考该选用哪种表示方法.

新知探究5——区间及其表示习惯上，如果a＜b，则集合｛｜a≤x≤b｝可简写为［a，b］，并称为闭区间．

例如，集合｛x｜1≤x≤2｝可简写为闭区间［1，2］．类似地，如果a＜b：集合｛x｜a＜x＜b｝可以简写为（a,b）并称为开区间；集合｛x｜a≤x＜b｝可以简写为［a,b），集合｛x｜a＜x≤b｝可以简写为（a,b］，并都称为半开半闭区间．上述区间中，a，b分别称为区间的左、右端点，b-a称为区间的长度．区间可以用数轴形象地表示．例如，区间［－2，1）可用图1-1-2表示，注意图中－2处的点是实心点，而1处的点是空心点.

新知探究5——区间及其表示如果用”+∞“表示”正无穷大，用”-∞“表示”负无穷大“则：实数集R可以表示为区间（-∞，+∞）；集合｛x｜x≥a｝可以表示为区间

；集合｛x｜x＞a｝可以表示为区间

；集合｛x｜x≤a｝可以表示为区间

；集合｛x｜x＜a｝可以表示为区间

.类似地，上述区间也可以用数轴来形象地表示．例如，区间［7，+∞）可以用图1-1-3表示［a，+∞）（a，+∞）（-∞，a］（-∞，a）

小试牛刀

课堂练习A∈∉∉∈∉∈【答案】（1）是无限集；（2）（3）是有限集课堂练习A{指南针，火药，造纸术，印刷术}{3,5,7,11,13}

{x丨x＜1500且x=2n，n∈N+}{x丨x是矩形}（1）［-1