2026初升高数学暑假衔接2套（人教版）第06讲 等式性质与不等式性质（教师版）

第06讲等式性质与不等式性质

1．理解不等式的概念，能在具体问题中建立不等式关系；

2．掌握不等式的基本性质，能用不等式的基本性质解决一些简单问题。

一、等式的基本性质

性质文字表述性质内容注意

1对称性abba可逆

2传递性ab,bcac同向

3可加、减性abacbc可逆

4可乘性abacbc同向

ab

5可除性ab,c0同向

cc

二、不等式的性质

性质别名性质内容注意

1对称性a>bb<a可逆

2传递性a>b，b⇔>ca>c同向

3可加性a>ba＋c⇒>b＋c可逆

a>b，⇔c>0ac>bc

4可乘性c的符号

a>b，c<0⇒ac<bc

5同向可加性a>b，c>da⇒＋c>b＋d同向

6正数同向可乘性a>b>0，c>⇒d>0ac>bd同向

7正数乘方性a>b>0an>bn(n∈⇒N，n≥2)同正

三、比较两个实数（或代数式）大小⇒

1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．

①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．

②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．

2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：

若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，

此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．

【注意】

（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一

定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理

化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的

大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质。

考点一：利用不等式的性质判断命题的真假

例1．设a、b、c为实数，且ab0，则下列不等式正确的是（）

1122ba

A．B．acbcC．D．ab

abab

【答案】D

【解析】因为a、b、c为实数，且ab0，

11

所以，ab，a2b2，ab0，故A错误，D正确；

ab

当c=0时ac2bc2，故B错误，

bab2a2ba

因为0，所以，故C错误；故选：D

ababab

【变式训练】已知abcd0，则下列结论不正确的是（）

abac

A．acbdB．acbdC．D．

cddb

【答案】C

【解析】∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d，故A正确；

∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正确；

abab

取a4,b3,c2,d0.1，则2,30，此时，故C错误；

cdcd

11ab

∵c＞d＞0，则0，又a＞b＞0，则，故D正确．故选：C．

dcdc

考点二：比较两个数（式）的大小

例2．已知c＞1，且x＝c1－c，y＝c－c1，则x，y之间的大小关系是

（）

A．x＞yB．x＝yC．x＜yD．x，y的关系随c而定

【答案】C

【解析】由题设，易知x，y＞0，

xc1ccc1

又1，∴x＜y.故选：C.

ycc1c1c

【变式训练】比较大小：

（1）a2b2和2(ab1)；

b2a2

（2）和ab，其中a0,b0．

ab

22

22ba

【答案】（1）ab≥2ab1；（2）ab

ab

22

【解析】（1）因为a2b22ab1a1b10，所以a2b2≥2ab1；

（2）因为a0,b0，所以

b2a2b3a3ababb3a3abab

ab

abababab

2

b2baa2abbaba

0，

abab

b2a2

所以ab.

ab

考点三：求代数式的取值范围

例3．已知1x3，3y1，则x3y的取值范围是（）

A．(0,12)B．(2,10)C．(2,12)D．(0,10)

【答案】C

【解析】3y1,

33y9，又1x3，

2x3y12，故选：C

【变式训练】已知1ab4，1ab2，则3a2b的取值范围是______．

【答案】2,11

【解析】设3a2bxabyabxyaxyb，

5

x

xy32

所以，解得，

xy21

y

2

51

3a2babab

22

5511

因为1ab4，1ab2，则(ab)10，ab1，

2222

因此，23a2b11.

故答案为：2,11.

考点四：不等式的证明

例4．用综合法证明:如果ab0，那么ab

【答案】证明见解析

【解析】证明:ab0

ab0，即(ab)(ab)0

显然a0,b0ab0

ab0，即ab.

aa

【变式训练】（1）已知abc，且abc0，证明：．

acbc

（2）证明：aa2a1a3．(a3)

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】证明：（1）由abc，且abc0，

所以a0，且acbc0,

acbc

所以(ac)(bc)0，所以，

acbcacbc

11aaaa

即；所以，即．

bcacbcacacbc

（2）要证aa2a1a3，(a3)

只需证aa3a1a2，

即证a(a3)2a(a3)(a1)(a2)2(a1)(a2)；

即证aa3a1a2，

即证a(a3)(a1)(a2)；即证02，显然成立；

所以aa2a1a3．

1．下列命题为真命题的是（）

A．若ab0，则ac2bc2B．若ab0，则a2abb2

cc

C．若ab，cd，则acbdD．若abc0，则

ab

【答案】D

【解析】对于A：当c=0时，ac2bc20，A错误；

对于B：当ab0时，a2abb2，B错误；

对于C：取a2,b1,c2,d3满足ab，cd，

而ac4,bd3，此时acbd，C误；

1

对于D：当ab0时，则ab0，所以ab，即11，

ababab

cc

又c0，所以，D正确.故选：D.

ab

2．已知a0，b0，设ma2b2,n2ab，则（）

A．mnB．mnC．mnD．mn

【答案】A

22

【解析】由题意可知，mna2b22aba1b10

当且仅当ab1时，等号成立；即mn.故选：A

3．已知0ab2，2ab4，则3ab的范围是（）

A．4,8B．6,10C．4,10D．6,12

【答案】C

【解析】设3abxabyabxyayxb，

xy3x1

得，解得：，

yx1y2

所以3abab2ab，

因为0ab2，2ab4，所以42ab8，4ab2ab10，

所有3ab的范围是4,10.故选：C

4．（多选）已知a,b,c,dR，则下列结论正确的为（）

A．若ab,cd，则acbdB．若ba0，c0，则(ab)c0

C．若ac2bc2，则abD．若ab,cd，则adbc

【答案】CD

【解析】对于A：当ab0，cd0，则acbd，

若a10，b1，c1，d2，显然满足ab，cd，

但是ac10、bd2，此时acbd，故选项A错误；

对于B：因为若ba0，所以ab0，又c0，则(ab)c0，故选项B错误；

对于C：因为ac2bc2，所以c0，即c20，所以ab，故选项C正确；

对于D：若cd，则dc，

又因为ab，所以根据不等式的同向可加性，得adbc，故选项D正确；故

选：CD

5．（多选）对于实数a,b,c，下列说法正确的是（）

1122

A．若ab0，则B．若acbc，则ab

ab

ab

C．若a0b，则aba2D．若cab，

cacb

【答案】BC

1111

【解析】对于A，因为ab0，所以ab0，所以0，所以，故A

abab

错误；

对于B，因为ac2bc2，所以c0，c20，所以ab，故B正确；

对于C，因为a0b，所以ab0，a20，所以aba2，故C正确；

对于D，取c5,a4,b1，满足cab，

a4b11

而4，故D错误.故选：BC.

ca54cb514

6．（多选）若ab0，m0，则下列不等式成立的是（）

11ama

A．a2b2B．a3b3ab2a2bC．abD．

abbmb

【答案】AD

【解析】对于A，由ab0，则a2b2，故A正确；

2

对于B，a3b3ab2a2baba2abb2abababab，

由ab0，所以a3b3ab2a2b，故B错误；

1111

对于C，由ab0，可得11，所以，所以ab，故C错误；

ababab

amabamabmmba

对于D，，

bmbbbmbbm

amaama

由ab0，则0，即，故D正确.故选：AD.

bmbbmb

7．（多选）已知1a2，3b5，则（）

A．ab的取值范围为4,7B．ba的取值范围为2,3

a12

C．ab的取值范围为3,10D．的取值范围为,

b35

【答案】AC

【解析】因为1a2，3b5，

所以4ab7，2a1，1ba4，

所以，ab的取值范围为4,7，ba的取值范围为1,4，故A选项正确，B选项

错误；

1111a2

因为1a2，3b5，所以，3ab10，，，

5b35b3

a12

所以，ab的取值范围为3,10，的取值范围为,

b53

故C选项正确，D选项错误.故选：AC

a2b2ab

8．已知ab0，试比较与的大小.

a2b2ab

a2b2ab

【答案】

a2b2ab

【解析】ab0，

ab0,a2b2,ab0,ab0

a2b2ab

0,0，.

a2b2ab

a2b2aba2b2aba2b22ab

两数作商211，

a2b2abababababa2b2

a2b2ab

.

a2b2ab

9．（1）已知x，yR，求证：x22y22xy2y1.

（2）已知2a3,1b2，求代数式ab和2a3b的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）1ab5，102a3b3

【解析】（1）x22y22xy2y1x22xyy2y22y1(xy)2(y1)2

(x-y)2³0,(y-1)2³0

\(x-y)2+(y-1)2³0（当且仅当xy1等号成立）

（2）2a3,1b2，∴1ab5．

由2a3，得42a6①．

由1b2，得63b3②．

102a3b3

cc

10．（1）已知ab0，c0，求证：．

ab

（2）比较3x24x3与4x25x5的大小．

【答案】（1）答案见解析；（2）3x24x34x25x5

【解析】（1）∵ab0，∴11

ab

cc

又∵c0，∴．

ab

2

222131

（2）∵4x5x53x4x3xx8x0

24

∴3x24x34x25x5．

1．下列说法中，错误的是（）

abab

A．若ab0,cd0，则一定有B．若，则ab

cdc2c2

ama

C．若ba0,m0，则D．若ab,cd，则acbd

bmb

【答案】A

ab

【解析】对于A，若a2,b1,c2,d1，则，故A错误.

cd

ab

对于B，由，可知c20，所以c20，所以ab.故B正确.

c2c2

amaabbmabamm(ba)

对于C，，因为ba0,m0，

bmbb(bm)b(bm)

m(ba)ama

所以0，所以.故C正确.

b(bm)bmb

对于D，因为cd，所以cd.又ab，所以acbd.故D正确.故选：A.

2．已知abc0，则（）

11

A．2abcB．abcbacC．

acbc

33

D．acbc

【答案】D

【解析】对于A，因为abc0，所以aababc，即2abc，故错误；

对于B，取a3b2c10，则abc3bac4，故错误；

11

对于C，由abc0，得acbc0，所以，故错误；

acbc

33

对于D，由abc0，得acbc0，所以acbc，故正确.故选：

D.

3．下列命题中，正确的是（）

A．若ab，cd，则acbdB．若ab，则acbc

ab

C．若ab0，cd0，则D．若ab，则a2b2

cd

【答案】A

【解析】对于A：由不等式的性质得，当ab，cd，则acbd，故A正确；

对于B：当c=0时acbc0，故B错误；

对于C：当a2,b1，满足ab0；

a2b

当c3,d0.1，满足cd0，但10，故C错误；

c3d

对于D：当a1，b=-1满足ab，但是a2b2，故D错误；故选：A

4．（多选）下列命题为真命题的是（）

A．若ab,cd，则acbdB．若ab,cd，则acbd

cc

C．若ab，则ac2bc2D．若ab0,c0,则

ab

【答案】AD

【解析】对于A，因为ab,cd，所以acbd成立，故选项A正确；

对于B，因为ab,cd，若a4,b2，c1,d3，则ac4bd6，故选

项B错误；

对于C，因为ab，若c=0，则ac2bc2，故选项C错误；

11cc

对于D，因为ab0,c0，所以0，因为c0，则，故选项D正

baab

确，故选：AD.

5．（多选）已知6a60，15b18，则下列正确的有（）

1a

A．4B．21a2b78C．12ab45

3b

7ab

D．5

6b

【答案】AC

1111a

【解析】由15b18，可得，又6a60，所以4，故A正确；

18b153b

由15b18，可得302b36，又6a60，所以36a2b96，故B错误；

由15b18，可得18b15，又6a60，所以12ab45，故C正

确；

aba1a4ab

因为1，又4，所以5，故D错误.故选：AC.

bb3b3b

6．对于实数a、b、c，有下列命题：

①若a＞b，则ac2bc2；

a

②若a＞b，则1；

b

③若a＜b＜0，则a2abb2；

④若a＜b＜0，则11；

ab

ba

⑤若a＜b＜0，则；

ab

ab0

⑥若，则ac＜bd.

cd0

其中，假命题的序号为______.（写出所有满足要求的命题序号）

【答案】①②④⑤⑥

【解析】对于①，当c=0时，ac2bc20，故①错误；

aa

对于②，当b0时，不等式1无意义，当b0时，由ab，可得1，故②

bb

错误；

对于③，由ab0，则a2ab，abb2，即a2abb2，故③正确；

11

对于④，由ab0，根据不等式的倒数性质，则，故④错误；

ab

bab2a2

对于⑤，，由ab0，则b2a2，即b2a20，ab0，

abab

ba

所以，故⑤误；

ab

ab0

对于⑥，由，根据不等式的性质，可得acbd，故⑥错误.

cd0

故答案为：①②④⑤⑥.

7．若xR，则2x25x3与x24x2的大小关系为______．

【答案】2x25x3x24x2

2

22213

【解析】2x5x3x4x2xx1x0，故

24

2x25x3x24x2.

故答案为：2x25x3x24x2.

ab

8．已知a0，b0，试比较ab与的大小；

ba

ab

【答案】ab（当且仅当ab时取等号）

ba

abab

【解析】方法一：由题意abaabbabba

ab

baabab

2

abab

，

ab

2

因为a0，b0，所以ab0，ab0，ab0，

2

abab

所以0，当且仅当ab时等号成立，

ab

ab

所以ab（当且仅当ab时取等号）.

ba

ab

aabbababababab

方法二：由ba

abababababab

22

ababab

11，当且仅当ab时等号成立，

abab

ab

所以ab（当且仅当ab时取等号）.

ba

9．实数