第2讲集合的运算(原卷版+解析)

第2讲集合的运算【基础知识】1.交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即①；②，；③；④；⑤若，则；文氏图：用封闭曲线直观地表示集合及其关系的图形成为文氏图（以英国逻辑学家JohnVeen命名）2.并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即①；②，；③；④；⑤若，则；3.补集：UUA4集合的综合运算集合的交、并、补运算的混合运算，以及根据集合的运算结果求参数的取值范围，常常借助文氏图和数轴解决含有参数的问题，这里端点处的值不太好判断，比较好的方法是求出结果带入端点验证是否符合题意。5.集合的新定义运算在对前面集合的交、并、补运算理解的基础上新定义一些集合的运算，根据新定义的内涵解决集合的运算问题【考点剖析】考点一：交集例1．求下列两个集合的交集．(1)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－1，0，1，2，3}；(2)A＝{x|x<－2}，B＝{x|x>－5}．例2．（2021·上海高一期末）已知集合，则__________．例3．（2021·上海市西南位育中学高一期末）设集合，，则满足，且的集合S的个数是___________.例4．（2021·上海交大附中高一期末）设集合，且，则实数的取值范围是____.例5．已知集合，，求；例6．已知集合，，求；例7．设，若，求实数的取值范围例8．已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，若A∩B＝{9}，求a的值例9．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．若A∩B＝B，求a的值；考点二：并集例1．（2020·上海南汇中学高一期末）已知，，若，则a的取值范围是（）A． B． C． D．例2．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A∪B＝B，求a的值．例3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围．例4．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－6＝0}且A∪B＝A，求实数a的值组成的集合例5．已知，或，若，求的取值范围.例6．设集合A=B若AB=A，求实数的取值范围；考点三：补集例1．（2020·上海高一期中）已知全集，集合，是的子集，且满足，，，则下列结论正确的是（）A．且 B．且 C．且 D．且例2．已知全集QUOTE，求例3．设全集，集合，，则 例4．已知全集U、集合A＝{1，3，5，7，9}，∁UA＝{2，4，6，8}，∁UB＝{1，4，6，8，9}，求集合B.例5．50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既不会讲英语也不会讲日语的有8人，则既会讲英语又会讲日语的人数为 考点四：集合的综合运算例1．已知集合。若，求实数的取值范围例2．已知集合，若，求的值例3．图中阴影部分所表示的集合是（） A.QUOTEB.QUOTECQUOTE D.QUOTE例4．设集合，且M，N都是集合的子集，如果把称为集合的“长度”，求集合M∩N的“长度“的最小值例5．已知集合，，或，则______例6．已知全集，集合，，则________例7．下列表述中错误的是（）若 B．若 C．D．例8．集合，，满足，求实数的值。考点五：集合的新定义运算例1．已知A、B是两个集合，定义运算，若，则 例2．定义集合运算：设集合则集合QUOTE的所有元素之和为 例3．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是()A．1 B．2C．3 D．4例4．全集，对集合A、B定义，定义。若集合，求。【反思总结】理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算；能将集合的运算转化为集合之间的关系．理解并掌握集合的交、并、补集的运算，在此基础上集合的交、并、补运算常常与方程、不等式等知识相结合；利用集合运算的结果，考查集合运算的结果，考查集合间的基本关系；以新概念或新背景为载体，考查对新情景的应变能力.= ， ， ，； ， ， ，； ， ， ； ， ； ， ；【过关检测】一、单选题1．（2020·上海市实验学校高一期中）设全集，或，，则集合是（）A． B．C． D．二、填空题2．（2021·上海上外浦东附中高一期末）已知全集，集合，，则__________．3．（2021·上海市大同中学高一期末）已知全集，集合，则_____________.4．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）已知全集为，，且，则_________．5．（2021·上海位育中学高一期末）设全集，若集合，则________6．（2021·上海高一期末）设集合，，则________7．（2021·上海市川沙中学高一期末）集合，，且，则实数取值范围是_______________.8．（2021·上海高一期末）设集合，且，则____.9．（2021·上海高一期末）全集，，则__________．10．（2021·上海高一期末）已知，，则__________.11．（2021·上海高一期末）已知集合，，则__________．12．（2021·上海高一期末）已知全集为，集合，则________.13．（2021·上海市控江中学高一期末）已知全集，则_________.三、解答题14．（2021·上海市西南位育中学高一期末）已知集合，.（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围.15．（2021·上海格致中学高一期末）已知非空集合S的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x，y∈S(x、y可以相同)，有x+y∈S且x-y∈S.（1）集合S能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；（2）证明：若3∈S且5∈S，则S=Z.16．（2020·上海师大附中高一期末）已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}．(1)求实数a，b，c的值；(2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.第2讲集合的运算【基础知识】1.交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即①；②，；③；④；⑤若，则；文氏图：用封闭曲线直观地表示集合及其关系的图形成为文氏图（以英国逻辑学家JohnVeen命名）2.并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即①；②，；③；④；⑤若，则；3.补集：UUA4集合的综合运算集合的交、并、补运算的混合运算，以及根据集合的运算结果求参数的取值范围，常常借助文氏图和数轴解决含有参数的问题，这里端点处的值不太好判断，比较好的方法是求出结果带入端点验证是否符合题意。5.集合的新定义运算在对前面集合的交、并、补运算理解的基础上新定义一些集合的运算，根据新定义的内涵解决集合的运算问题【考点剖析】考点一：交集例1．求下列两个集合的交集．(1)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－1，0，1，2，3}；(2)A＝{x|x<－2}，B＝{x|x>－5}．【难度】★【答案】(1)如图所示，A∩B＝{1，2，3}．(2)结合数轴(如图所示)得：A∩B＝{x|－5<x<－2}．例2．（2021·上海高一期末）已知集合，则__________．【答案】【分析】先求集合，再根据交集定义求.【详解】，，所以.故答案为：例3．（2021·上海市西南位育中学高一期末）设集合，，则满足，且的集合S的个数是___________.【答案】【分析】求出集合的子集个数和满足，且的集合S的个数即可得到答案.【详解】集合中元素的个数为2000，其子集个数为集合，满足，且的集合S的个数是所以满足，且的集合S的个数是故答案为：例4．（2021·上海交大附中高一期末）设集合，且，则实数的取值范围是____.【答案】【分析】由题意，可得是集合的子集，按集合中元素的个数，结合根与系数之间的关系，分类讨论即可求解.【详解】由题意，可得是集合的子集，又，当是空集时，即方程无解，则满足，解得，即，此时显然符合题意；当中只有一个元素时，即方程只有一个实数根，此时，解得，则方程的解为或，并不是集合的子集中的元素，不符合题意，舍去；当中有两个元素时，则，此时方程的解为，，由根与系数之间的关系，可得两根之和为5，故；当时，可解得，符合题意.综上的取值范围为.故答案为：【点睛】方法点睛：根据集合的运算求参数问题的方法：1、要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；2、若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；3、若集合表示的不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需要注意端点值是否取到.例5．已知集合，，求；【难度】★★【答案】例6．已知集合，，求；【难度】★【答案】【解析】表示方程组的解得集合，也可以理解为两个函数图像的交点坐标的集合例7．设，若，求实数的取值范围【难度】★★【答案】例8．已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，若A∩B＝{9}，求a的值【难度】★★【答案】∵A∩B＝{9}，∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}．此时A∩B＝{－4，9}≠{9}．故a＝5舍去．当a＝3时，B＝{－2，－2，9}，不符合要求，舍去．经检验可知a＝－3符合题意．例9．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．若A∩B＝B，求a的值；【难度】★★【答案】化简集合A，得A＝{－4，0}．由于A∩B＝B，则有B⊆A可知集合B或为空集，或只含有根0或－4.①若B＝∅，由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，得a<－1.②若0∈B，代入x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，得a2－1＝0，即a＝1或a＝－1，当a＝1时，B＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}＝A，符合题意；当a＝－1时，B＝{x|x2＝0}＝{0}A，也符合题意．③若－4∈B，代入x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，得a2－8a＋7＝0，即a＝7或a＝1，当a＝1时，②中已讨论，符合题意；当a＝7时，B＝{x|x2＋16x＋48＝0}＝{－12，－4}，不合题意．综合①②③得a＝1或a≤－1．考点二：并集例1．（2020·上海南汇中学高一期末）已知，，若，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用并集的定义求解即可【详解】解：因为，，若，所以，故选：A例2．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A∪B＝B，求a的值．【难度】★★【答案】化简集合A，得A＝{－4，0}．因为A∪B＝B，所以A⊆B，又A＝{－4，0}，而B至少只有两个根，且根据一元二次方程根的特点，因此应有A＝B.由(1)知，a＝1.例3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围．【难度】★★【答案】∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥－2,2m＋1≤5))，∴－eq\f(1,2)≤m≤2.例4．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－6＝0}且A∪B＝A，求实数a的值组成的集合【难度】★★【答案】因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，a＝0；当B≠∅时，由x2－3x＋2＝0，得x＝1或2；当x＝1时，a＝6；当x＝2时，a＝3；所以C＝{0，3，6}．例5．已知，或，若，求的取值范围.【难度】★★【答案】，∴.∴或，或∴若，则的取值范围是；若，则的取值范围是.例6．设集合A=B若AB=A，求实数的取值范围；【难度】★★【答案】考点三：补集例1．（2020·上海高一期中）已知全集，集合，是的子集，且满足，，，则下列结论正确的是（）A．且 B．且 C．且 D．且【答案】B【分析】画出对应的韦恩图即可得出答案.【详解】因为全集，集合，是的子集，且满足，，，对应的韦恩图为：故只有B选项满足条件.故选：B.例2．已知全集QUOTE，求【难度】★★【答案】QUOTE例3．设全集，集合，，则 【难度】★★【答案】例4．已知全集U、集合A＝{1，3，5，7，9}，∁UA＝{2，4，6，8}，∁UB＝{1，4，6，8，9}，求集合B.【难度】★★【答案】B={2，3，5，7}．例5．50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既不会讲英语也不会讲日语的有8人，则既会讲英语又会讲日语的人数为 【难度】★★【答案】14【解析】考点四：集合的综合运算例1．已知集合。若，求实数的取值范围【难度】★★【答案】【解析】集合表示的是二次函数上的所有的点，集合是直线在区间上的线段，即线段与抛物线的图象有交点的图象问题；也可以联立方程转化为方程在上有根的问题例2．已知集合，若，求的值【难度】★★★【答案】例3．图中阴影部分所表示的集合是（） A.QUOTEB.QUOTECQUOTE D.QUOTE【难度】★★【答案】A例4．设集合，且M，N都是集合的子集，如果把称为集合的“长度”，求集合M∩N的“长度“的最小值【难度】★★★【答案】例5．已知集合，，或，则______【难度】★★【答案】{—4x0或x3}例6．已知全集，集合，，则________【难度】★★【答案】{4，5}例7．下列表述中错误的是（）若 B．若 C．D．【难度】★★【答案】C例8．集合，，满足，求实数的值。【难度】★★★【答案】，，而，则至少有一个元素在中，又，∴，，即，得而矛盾，∴考点五：集合的新定义运算例1．已知A、B是两个集合，定义运算，若，则 【难度】★★【答案】例2．定义集合运算：设集合则集合QUOTE的所有元素之和为 【难度】★★【答案】18例3．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是()A．1 B．2C．3 D．4【难度】★★【答案】C【解析】②不对例4．全集，对集合A、B定义，定义。若集合，求。【难度】★★★【答案】{x|-1<x<3或5<x≤7}【反思总结】理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算；能将集合的运算转化为集合之间的关系．理解并掌握集合的交、并、补集的运算，在此基础上集合的交、并、补运算常常与方程、不等式等知识相结合；利用集合运算的结果，考查集合运算的结果，考查集合间的基本关系；以新概念或新背景为载体，考查对新情景的应变能力.= ， ， ，； ， ， ，； ， ， ； ， ； ， ；【过关检测】一、单选题1．（2020·上海市实验学校高一期中）设全集，或，，则集合是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求得集合，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，全集，或，，可得，则.故选：C.【点睛】集合基本运算的关注点：（1）看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系进行运算，可使得问题简单明了，易于解决；（3）主要数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图.二、填空题2．（2021·上海上外浦东附中高一期末）已知全集，集合，，则__________．【答案】【分析】根据集合间的计算直接求解.【详解】由全集，集合，可知，又，，故答案为：.3．（2021·上海市大同中学高一期末）已知全集，集合，则_____________.【答案】【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合.【详解】已知全集，集合，因此，.故答案为：.4．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）已知全集为，，且，则_________．【答案】【分析】由题可得，可得，进而可得，可求出，即得结果.【详解】由知代入得，所以集合，从而得，代入得，所以.故答案为：.5．（2021·上海位育中学高一期末）设全集，若集合，则________【答案】【分析】直接利用补集定义进行运算即可.【详解】因为全集，若集合，所以.故答案为：.6．（2021·上海高一期末）设集合，，则________【答案】【分析】直接按照定义进行交集运算即可.【详解】集合，，则.故答案为：.7．（2021·上海市川沙中学高一期末）集合，，且，则实数取值范围是_______________.【答案】【分析】由可得A⊆B，列不等式，即可解得.【详解】因为，所以A⊆B，即a≥2所以实数取值范围是.故答案为：【点睛】(1)离散型的数集用韦恩图，连续型的数集用数轴；(2)集合的交、并关系通常转化为子集（包含关系）．8．（2021·上海高一期末）设集合，且，则____.【答案】【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为集合，且，因此，.故答案为：.9．（2021·上海高一期末）全集，，则__________．【答案】【分析】先解绝对值不等式确定集合，然后由补集定义计算．【详解】由得，即，∴，∴．故答案为：．10．（2021·上海高一期末）已知，，则__________.【答案】【分析】先求，再根据集合的运算即可.【详解】因为，所以，而，所以.故答案为：.11．（2021·上海高一期末）已知集合，，则__________．【答案】【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可．【详解】解：，1，，，，．故答案为：．12．（2021·上海高一期末）已知全集为，集合，则________.【答案】【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合.【详解】已知全集，集合，得或.故答案为：.13．（2021·上海市控江中学高一期末）已知全集，则_________.【答案】【分析】根据补集的定义写出补集即可.【详解】解：，则.故答案为：.三、解答题14．（2021·上海市西南位育中学高一期末）已知集合，.（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）等价于，先化简集合，再根据包含关系列不等式求解即可；（2）先求出集合的补集，再根据列不等式求解即可.【详解】（1）因为，所以，又因为集合，，所以即实数a的取值范围是；（2）因为，所以，又，且，所以，可得，即实数a的取值范围是.【点睛】易错点睛：在解答与集合交集、并集、补集有关的问题时，一定要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点.15．（2021·上海格致中学高一期末）已知非空集合S的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x，y∈S(x、y可以相同)，有x+y∈S且x-y∈S.（1）集合S能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；（2）证明：若3∈S且5∈S，则S=Z.【答案】（1）；（2）证明见解析