2025-2026学年北京市朝阳区高二（下）期末考试数学试卷（含答案）

第第页2026北京朝阳高二（下）期末数学（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题50分和非选择题100分第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合，，则（A） （B）（C） （D）（3）若，则（A） （B）（C） （D）（4）函数是（A）偶函数，且在上单调递增 （B）奇函数，且在上单调递增（C）偶函数，且在上单调递减 （D）奇函数，且在上单调递减（5）六博是中国古代棋类游戏，盛行于秦汉时期．博琼是六博游戏中的掷具（即骰子），通常包含十八个面．设有一枚质地均匀的博琼，其中十六个面分别刻有数字一至十六，另外两个面分别刻有汉字“骄”与“妻畏”，每次投掷后总有一个面向上，且每个面向上的概率相等．若连续投掷该博琼两次，则恰有一次出现“骄”或“妻畏”字面向上的概率为（A） （B）（C） （D）（6）已知，则“”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（A）向左平移个单位长度（B）向左平移个单位长度（C）向右平移个单位长度（D）向右平移个单位长度（8）某学校数学节开展数学话剧展演，共有A、B、C、D四个节目需安排出场顺序．若节目A和节目B均不排在第一个出场，且节目D不排在最后一个出场，则不同的排法种数为（A）8 （B）10 （C）12 （D）14（9）已知函数在处取得极大值，设是的导函数．若关于的方程有两个不同的实数根，则的最大值为（A） （B） （C） （D）（10）已知集合，，则（A）存在，对任意，都有（B）对任意，存在，使得（C）存在且，对任意，都有（D）对任意且，存在，使得第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（12）若随机变量且，则________．（13）某校要从足球、篮球、排球、跳绳、拔河、踢毽6个项目中选择3个作为本学期的班级联赛项目，则不同的选法共有________种．（用数字作答）（14）已知，则________；________．（15）设函数则________；若正实数满足，则的一个取值为________．（16）甲、乙两队进行一场乒乓球比赛，采用5局3胜制，率先赢得3局的一方最终获胜．已知每局比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设各局比赛的结果相互独立．给出下列四个结论：①甲队以比分3:0最终获胜的概率比甲队以比分3:1最终获胜的概率更大；②③④整场比赛甲队最终获胜的概率超过．其中正确结论的序号是________．

三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）（本小题12分）已知函数，．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求在区间上的最大值与最小值．条件①：；条件②：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（18）（本小题13分）在全民阅读活动周期间，某校准备为学生和教师采购一批图书，为了解师生的阅读需求，从该校随机抽取400名学生和80名教师进行问卷调查，每人只能从自然科学类、社会科学类、综合性图书类和哲学类这四类图书中选择一个最需要的类别，统计结果如下：自然科学类社会科学类综合性图书类哲学类学生人数1601208040教师人数20103020假设每人的选择相互独立，用频率估计概率．（Ⅰ）从该校的学生和教师中各随机抽取1人，试估计这2人都选择社会科学类图书的概率；（Ⅱ）根据参与调查的教师选择自然科学类、社会科学类、综合性图书类、哲学类图书的人数比例，采用分层随机抽样的方法，从这80名教师中随机抽取了人．现从这人中随机抽取人，记为这3人中选择哲学类图书的人数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）记参与调查的学生选择四类图书的频率依次为，参与调查的教师选择四类图书的频率依次为．设的方差为，的方差为，的方差为，比较与的大小．（结论不要求证明）

（19）（本小题15分）已知椭圆的右焦点为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线（不与轴重合）与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为．（ⅰ）求证：直线过轴上定点；（ⅱ）设（ⅰ）中的定点为D，若，求直线的方程．（20）（本小题15分）已知函数．设为原点，动点在曲线上．（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）求证：直线的斜率大于1；（Ⅲ）过点作直线的垂线，垂足为，当时，取得最小值；当时，取得最小值．求证：．

（21）（本小题15分）设定义在上的函数对于正整数，令，，记集合．对于正整数，若存在正整数，使得，则称是“可达数”．（Ⅰ）写出集合；（Ⅱ）若k为正奇数，求证：是“可达数”；（Ⅲ）证明：对任意，不是“可达数”，是“可达数”．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）（1）B （3）D （4）C （5）C（6）B （7）A （8）B （9）C （10）D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （12） （13）20（14） （15）0;（答案不唯一） （16）②③④三、解答题（共5小题，共70分）（17）（共12分）解：（Ⅰ）若，，，，，所以切线方程为，即． 6分（Ⅱ）选条件①：．，．由解得．因为，故．所以当时，，单调递减．所以在区间上的最大值为，最小值为． 12分选条件②：．，．因为，，故．所以当时，，单调递增．所以在区间上的最大值为，最小值为． 12分（18）（共13分）解：（Ⅰ）从该校的学生和教师中各随机抽取1人，这人都选择社会科学类图书的概率估计为． 3分（Ⅱ）因为抽取的这人中选择哲学类图书的人数为，所以的所有可能取值为．所以的分布列为：故的数学期望． 10分（Ⅲ）． 13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意得解得．所以椭圆的方程为． 5分（Ⅱ）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为．不妨设，则．所以直线的方程为，过轴上的点．当直线的斜率存在时，设直线的方程为．由得，．设，则．由题可知，直线的方程为．设直线与轴的交点为．令，得．又，所以综上，直线BC过x轴上定点．（ⅱ）由（ⅰ）知．若，则，即．由得．又点在椭圆上，所以．故，化简得，即．解得（舍），．当时，，经检验符合题意．所以直线的方程为． 15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）的定义域为，．因为函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增．又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的最小值是． 5分（Ⅱ）直线的斜率为．令，则．由（Ⅰ）知，在区间上单调递增，，，故存在唯一，使得，即．所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以．设，则，所以在区间上单调递减．所以．所以，即．因为，所以直线的斜率． 10分（Ⅲ）因为在直线上，设．因为，所以．因为，所以．又，所以．．设，．因为单调递增，，，故存在唯一，使得，即．所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以当时，取得最小值，故取得最小值．又，且由（Ⅱ）知，所以．由（Ⅱ）知，当时，取得最小值，故取得最小值．故且．因为，要证，只需证明，即证．由（Ⅱ）知，在区间上单调递增，，只需证明．因为，所以．所以．综上，，所以． 15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）当时，，当时，．所以． 4分（Ⅱ）若是正奇数，因为所以是3的倍数．又因为是偶数，是奇数，所以是奇数．又，令，则．于是，即是“可达数”． 9分（Ⅲ）首先证明对任意，不是“可达数”．假设存在，使得是“可达数”，则存在正整数，使得，即数列中出现3的倍数，其中，．（1）当是奇数时，．