第02讲5.4三角函数的图象和性质(原卷版+解析)

第02讲5.4三角函数的图象和性质目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查用“五点法”作三角函数的图象 1题型二：重点考查利用图象解三角不等式 5题型三：重点考查利用图象求方程的解或函数零点的个数问题 6题型四：重点考查三角函数的周期问题 8题型五：重点考查三角函数的奇偶性和对称性 10题型六：重点考查函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题 11题型七：重点考查三角函数的单调区间 13题型八：重点考查利用单调性比较三角函数值的大小 14题型九：重点考查已知三角函数的单调情况求参数问题 16题型十：重点考查利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值 17题型十一：重点考查换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型） 19题型一：重点考查用“五点法”作三角函数的图象典型例题例题1．（22·23下·成都·阶段练习）已知函数，.(1)用五点法作图，填表并作出在一个周期内的图象(2)写出函数单调递减区间和其图象的对称轴方程；例题2．（22·23下·北京·开学考试）已知函数.(1)试用“五点法”画出它的图象；列表：作图：(2)从正弦曲线出发，如何通过图象变换得到函数的图象？（两种方法）例题3．（22·23下·乌鲁木齐·开学考试）已知函数

(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；00(2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值.精练核心考点1．（22·23下·昆明·阶段练习）（1）利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.列表:

xy作图:

（2）并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.2．（22·23下·湖北·期中）要得到函数的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．(1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数；(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．

3．（22·23下·江西·期中）已知变换：先纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度；变换：先向左平移个单位长度，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍.请从，两种变换中选择一种变换，将函数的图象变换得到函数的图象，并求解下列问题.(1)求的解析式，并用五点法画出函数在一个周期内的闭区间上的图象；(2)求函数的单调递减区间，并求的最大值以及对应的取值集合.题型二：重点考查利用图象解三角不等式典型例题例题1．（22·23·全国·课堂例题）函数的定义域为．例题2．（22·23·全国·随堂练习）利用三角函数图象，分别求出的取值范围：(1)；(2)；(3)．例题3．（22·23·全国·专题练习）解不等式组精练核心考点1．（22·23·全国·课堂例题）不等式的解集为．2．（22·23·全国·随堂练习）根据正弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值范围：(1)；(2)；(3)；(4)．题型三：重点考查利用图象求方程的解或函数零点的个数问题典型例题例题1．（23·24上·全国·课时练习）（1）作出函数，的图像；（2）判断方程的根的个数.例题2．（23·24上·北京·阶段练习）已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．条件①：；条件②：的最小正周期为；条件③：的图象经过点．(1)求的解析式并求的单调递增区间；(2)若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围．例题3．（23·24上·山东·开学考试）已知函数，同时满足函数的最小正周期为π，函数的图象经过点．(1)求的解析式及最小值；(2)若函数在区间上有且仅有2个零点，求t的取值范围．精练核心考点1．（23·24·省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数的部分图象，且，．(1)求，的值；(2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数．2．（23·24上·上饶·阶段练习）已知函数(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)函数在区间内有三个零点，求的取值范围．3．（23·24上·安徽·开学考试）已知．(1)若，且，，求的值；(2)若函数在区间上没有零点，求的取值范围．题型四：重点考查三角函数的周期问题典型例题例题1．（23·24上·新疆·开学考试）下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为奇函数；③周期为π的函数有（

）A． B． C． D．例题2．（22·23下·南开·学业考试）函数是（

）．A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数例题3．（22·23下·毕节·期中）下列函数中，周期是的奇函数是（

）A． B．C． D．例题4．（22·23下·绵阳·阶段练习）下列四个函数中，以为最小正周期，且是奇函数的是（）A． B． C． D．例题5．（22·23下·长春·阶段练习）在下列四个函数，①②（3）④中，最小正周期为π的所有函数为（

）A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④精练核心考点1．（22·23下·闵行·阶段练习）下列函数中，周期为1的奇函数是（

）A． B． C． D．2．（22·23下·全国·单元测试）函数的周期﹐那么正常数等于（

）A． B．2 C． D．43．（23·24上·怀柔·开学考试）下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（

）A． B． C． D．4．（22·23下·长宁·期末）下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（

）A． B． C． D．5．（多选）（22·23下·达州·阶段练习）下列函数中既是奇函数，又是最小正周期为的函数有（

）A． B．C． D．题型五：重点考查三角函数的奇偶性和对称性典型例题例题1．（22·23下·南通·模拟预测）已知函数同时满足下列条件：①定义域为；②；③为偶函数；④，则（

）A． B．0 C．1 D．2例题2．（多选）（22·23下·佛山·期中）已知函数，则说法正确的是（

）A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称C．为奇函数 D．为偶函数例题3．（23·24·省直辖县级单位·模拟预测）若函数的图象关于轴对称，则．例题4．（22·23·贵州·模拟预测）若函数为偶函数，则的最小正值为.例题5．（23·24上·张家口·开学考试）已知函数，是奇函数，则的值为．精练核心考点1．（23·24上·广州·阶段练习）若为奇函数，则实数（

）A． B． C． D．2．（多选）（22·23下·江西·期中）已知函数，则（

）A．的图象关于对称 B．的图象关于直线对称C．为奇函数 D．为偶函数3．（23·24上·成都·阶段练习）若为偶函数，则实数.4．（22·23上·济宁·期末）函数，（a，b为常实数），若，则．5．（22·23·全国·专题练习）判断函数的奇偶性.题型六：重点考查函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题典型例题例题1．（多选）（23·24上·渝北·阶段练习）已知函数，则（

）A．函数的最小正周期为B．直线是函数图象的一条对称轴C．函数是偶函数D．函数的递减区间为例题2．（多选）（22·23下·阿克苏·阶段练习）函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是（

）A．的一个周期为；B．的图象关于对称；C．是的一个零点；D．在单调递减；例题3．（多选）（22·23上·合肥·期末）下列关于函数说法正确的是（

）A．周期为 B．单调递增区间是C．图象关于直线对称 D．图象关于点对称精练核心考点1．（多选）（23·24上·全国·单元测试）（多选）已知函数（），下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数是偶函数C．函数的图象关于直线对称D．函数在区间上是增函数2．（多选）（22·23下·佛山·阶段练习）已知函数，则（

）A．B．为奇函数C．图象的对称中心为D．的定义域为3．（多选）（22·23下·桂林·期末）函数（A，，是常数，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（

）

A．函数的图象关于直线对称B．的图象关于中心对称C．函数在区间上单调递减D．题型七：重点考查三角函数的单调区间典型例题例题1．（23·24上·辽宁·阶段练习）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（

）A． B． C． D．例题2．（22·23下·北京·期中）下列函数中，周期为π且在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．例题3．（23·24上·湖北·阶段练习）已知函数在上单调递增，则取值范围是.例题4．（22·23下·全国·课时练习）已知函数在内是减函数，则的取值范围是．例题5．（22·23·全国·课堂例题）求函数的定义域和单调区间．精练核心考点1．（22·23下·商洛·模拟预测）若函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为（

）A． B．C． D．2．（多选）（2023下·成都·期中）已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（

）A． B． C． D．3．（22·23下·马鞍山·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为.4．（23·24上·大兴·阶段练习）已知函数，若该函数的一个最高点的坐标为，与其相邻的对称中心坐标为.(1)求函数解析式；(2)求函数的单调增区间.5．（22·23·全国·课堂例题）求函数的单调递增区间．题型八：重点考查利用单调性比较三角函数值的大小典型例题例题1．（22·23下·苏州·期末）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．例题2．（22·23下·驻马店·期中）设，，，则下列结论成立的是（

）A． B． C． D．例题3．（22·23下·抚州·期中）下列选项中两数大小关系错误的是（

）A． B．C． D．例题4．（多选）（22·23下·佛山·阶段练习）下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．例题5．（多选）（22·23下·浙江·期中）下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．精练核心考点1．（22·23下·雅安·阶段练习）下列选项中错误的是（

）A． B．C． D．2．（22·23下·盐城·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．3．（多选）（22·23下·驻马店·期中）已知函数，当时单调递增，若角A，B，C是锐角三角形的内角，则下列说法正确的是（

）A．； B．C．； D．4．（多选）（22·23下·兰州·开学考试）下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．5．（22·23·全国·课堂例题）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，．题型九：重点考查已知三角函数的单调情况求参数问题典型例题例题1．（23·24上·天津·期中）若函数在区间上单调，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．4 D．8例题2．（22·23·烟台·二模）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（

）．A． B．C． D．例题3．（8·9·岳阳·阶段练习）已知函数在内是减函数，则（

）A． B．C． D．例题4．（22·23上·楚雄·期末）已知函数，若在区间上为单调函数，则的取值范围是．精练核心考点1．（23·24上·徐州·阶段练习）已知，若函数的图象关于对称，且函数在上单调，则的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．12．（18·19·全国·课时练习）若函数在上为减函数，且在上的最大值为，则的值可能为A． B． C． D．13．（22·23下·丰台·期末）若函数在区间上单调递增，则常数的一个取值为.4．（22·23下·辽宁·阶段练习）若函数在上不单调，则实数的取值范围是.5．（17·18·全国·课时练习）已知函数是上的严格增函数，则正实数的取值范围是.题型十：重点考查利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值典型例题例题1．（22·23上·自贡·一模）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（

）A． B． C． D．例题2．（23·24上·河西·阶段练习）已知函数，.(1)求的最小正周期，对称轴方程，对称中心坐标；(2)求在闭区间上的最大值和最小值，例题3．（22·23上·盐城·期末）已知函数的图象的一条对称轴是直线．(1)当时，求函数的值域；(2)求函数在上单调减区间．例题4．（20·21下·渭南·阶段练习）已知函数．(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数在区间上的最值．精练核心考点1．（14·15上·泰州·阶段练习）函数的值域是2．（23·24上·滨州·阶段练习）已知函数图像的对称中心到对称轴的最小距离为.(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数在区间上的值域.3．（22·23下·六安·期中）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)求函数在上的单调减区间；(3)求函数在区间上的最小值和最大值.4．（22·23上·深圳·阶段练习）已知函数的部分图象如图．(1)求的解析式及单调减区间；(2)求函数在上的最大值和最小值．题型十一：重点考查换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型）典型例题例题1．（22·23·河南·二模）若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（23·24上·浦东新·期中）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为例题3．（22·23下·长宁·期末）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是．例题4．（21·22上·兰州·模拟预测）函数，的值域是．例题5．（18·19·全国·课时练习）若函数的最小值为，求实数的值．精练核心考点1．（22·23下·眉山·期中）函数的最小值是（

）A． B． C．0 D．2．（22·23下·嘉定·期中）函数的值域为.3．（22·23上·安康·期末）函数的最小值是．4．（19·20·全国·课时练习）已知函数，，则其值域为.5．（23·24上·全国·课时练习）求函数的值域.

第02讲5.4三角函数的图象和性质目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查用“五点法”作三角函数的图象 1题型二：重点考查利用图象解三角不等式 9题型三：重点考查利用图象求方程的解或函数零点的个数问题 13题型四：重点考查三角函数的周期问题 19题型五：重点考查三角函数的奇偶性和对称性 22题型六：重点考查函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题 27题型七：重点考查三角函数的单调区间 31题型八：重点考查利用单调性比较三角函数值的大小 35题型九：重点考查已知三角函数的单调情况求参数问题 40题型十：重点考查利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值 44题型十一：重点考查换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型） 51题型一：重点考查用“五点法”作三角函数的图象典型例题例题1．（22·23下·成都·阶段练习）已知函数，.(1)用五点法作图，填表并作出在一个周期内的图象(2)写出函数单调递减区间和其图象的对称轴方程；【答案】(1)表格见解析；图象见解析(2)单调递减区间为；对称轴为【详解】（1）由“五点法”可填表如下：由此可得图象如下图所示，（2）令，解得：，的单调递减区间为；令，解得：，的对称轴方程为.例题2．（22·23下·北京·开学考试）已知函数.(1)试用“五点法”画出它的图象；列表：作图：(2)从正弦曲线出发，如何通过图象变换得到函数的图象？（两种方法）【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；【详解】（1）令，则，列表如下，描点画图.（2）方法一：先将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，最后将曲线上各点的纵坐标变为原来的，得到的图象.方法二：先将的图象各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，然后将曲线向左平移个单位，得到函数的图象，最后将曲线上各点的纵坐标变为原来的，得到的图象.例题3．（22·23下·乌鲁木齐·开学考试）已知函数

(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；00(2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值.【答案】(1)答案见解析；(2)时，取最小值0；时，取最大值1.【详解】（1）分别令，可得：x00100画出函数在一个周期的图像如图所示：

（2）因为，所以，所以当，即时，取最小值0；当，即时，取最大值1.精练核心考点1．（22·23下·昆明·阶段练习）（1）利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.列表:

xy作图:

（2）并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【详解】（1）先列表，后描点并画图.0xy0100

（2）把的图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象，再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象.2．（22·23下·湖北·期中）要得到函数的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．(1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数；(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．

【答案】(1)答案见解析(2)作图见解析【详解】（1）步骤1：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象；步骤2：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象．或者步骤1：步骤1：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；步骤2：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象；步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象．（2）因为列表：

3．（22·23下·江西·期中）已知变换：先纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度；变换：先向左平移个单位长度，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍.请从，两种变换中选择一种变换，将函数的图象变换得到函数的图象，并求解下列问题.(1)求的解析式，并用五点法画出函数在一个周期内的闭区间上的图象；(2)求函数的单调递减区间，并求的最大值以及对应的取值集合.【答案】(1)，图象见解析(2)，；最大值为，【详解】（1）选择，两种变换均得，列表如下：图象如图所示：（2）令，，解得，，所以函数的单调递减区间为，.当，，即，时，取得最大值，此时对应的的取值集合为.题型二：重点考查利用图象解三角不等式典型例题例题1．（22·23·全国·课堂例题）函数的定义域为．【答案】【详解】由，得，且．

由图可得，即．所以函数的定义域为．故答案为：.例题2．（22·23·全国·随堂练习）利用三角函数图象，分别求出的取值范围：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)；(3)或.【详解】（1）作出正切函数在上的图象，如图：

由图象可知，当时，.（2）作出余弦函数的图象，如图：

由图象可知，当时，.（3）作出正弦函数的图象，如图：

由图象可知，当时，或.例题3．（22·23·全国·专题练习）解不等式组【答案】．【详解】由，得在直角坐标系中作单位圆，如图所示，

由三角函数线可得：解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为．精练核心考点1．（22·23·全国·课堂例题）不等式的解集为．【答案】【详解】画出时，的图象．

令，，解得或又的周期为，所以的解集为．用代替解出．可得则的解集为.故答案为：.2．（22·23·全国·随堂练习）根据正弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值范围：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）

即，当时，或，故由正弦函数的图象可得解得.（2）即，当时，或，故解得（3）即，故当时，或，故，解得.（4）即，故当时，或，故，解得题型三：重点考查利用图象求方程的解或函数零点的个数问题典型例题例题1．（23·24上·全国·课时练习）（1）作出函数，的图像；（2）判断方程的根的个数.【答案】（1）图像见解析；（2）三个【详解】（1）易知结合正弦曲线可得，的图像如图所示：

（2）设，，在同一直角坐标系中画出与的图像，如图：

由图可知，与的图像有三个交点，故方程有三个根.例题2．（23·24上·北京·阶段练习）已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．条件①：；条件②：的最小正周期为；条件③：的图象经过点．(1)求的解析式并求的单调递增区间；(2)若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围．【答案】(1)；(2)【详解】（1）由题意得，若选①②，由得；由的最小正周期为得，即；若选②③，由的最小正周期为，得，由的图象经过点，得，故；若选①③，由得；由的图象经过点，得，故，则，由于，故，则；令，则，故的单调递增区间为.（2）当时，，因为在区间上有且只有一个零点，故，即.例题3．（23·24上·山东·开学考试）已知函数，同时满足函数的最小正周期为π，函数的图象经过点．(1)求的解析式及最小值；(2)若函数在区间上有且仅有2个零点，求t的取值范围．【答案】(1)，最小值为－1(2)【详解】（1）因为，所以．则，又因为函数的最小正周期为π，所以，所以．当，，即，时，所以函数的最小值为－1，（2）令，则，，所以，．当，2，3时，函数的零点为，，．由于函数在区间上有且仅有2个零点，所以，所以t的取值范围是．精练核心考点1．（23·24·省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数的部分图象，且，．(1)求，的值；(2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数．【答案】(1)，(2)答案见解析【详解】（1）根据题意得，，故，，故．将代入，得，解得，又，故．（2）依题意，．函数在区间的零点个数即为函数的图象与直线在上的交点个数．当时，，结合余弦函数图象可知，当时，单调递减，当时，单调递增，且，，，作出函数在上的大致图象如图所示．观察可知，当或时，有个零点；当时，有个零点；当或时，有个零点．2．（23·24上·上饶·阶段练习）已知函数(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)函数在区间内有三个零点，求的取值范围．【答案】(1)最小正周期，单调递减区间为(2)【详解】（1），的最小正周期，取，，解得，，的单调递减区间为（2）当时，，故，解得，即的取值范围．3．（23·24上·安徽·开学考试）已知．(1)若，且，，求的值；(2)若函数在区间上没有零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1），因为，所以．由得，即.而，所以，所以，，故．（2）由（1）知，因为，所以，，在区间上没有零点，所以，即，，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以或，当时，；当时，，又因为，所以的取值范围是．题型四：重点考查三角函数的周期问题典型例题例题1．（23·24上·新疆·开学考试）下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为奇函数；③周期为π的函数有（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由在上为减函数，不符合；由、的最小正周期为，不符合；而满足题设三个条件.故选：A例题2．（22·23下·南开·学业考试）函数是（

）．A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数【答案】D【详解】利用二倍角公式可得，易知其定义域为；显然，所以是偶函数，最小正周期为，因此是周期为的偶函数.故选：D例题3．（22·23下·毕节·期中）下列函数中，周期是的奇函数是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于选项A，，则，且是奇函数，所以A选项错误；对于选项B，，则，且是偶函数，所以B选项错误；对于选项C，，则，且是奇函数，所以C选项正确；对于选项D，，则，且是偶函数，所以D选项错误.故选：C例题4．（22·23下·绵阳·阶段练习）下列四个函数中，以为最小正周期，且是奇函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，以为最小正周期，且是偶函数，故A不正确；对于B，以为最小正周期，且是偶函数，故B不正确；对于C，以为最小正周期，且是偶函数，故C不正确；对于D，以为最小正周期，且是奇函数，故D正确.故选：D例题5．（22·23下·长春·阶段练习）在下列四个函数，①②（3）④中，最小正周期为π的所有函数为（

）A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④【答案】B【详解】①，为偶函数，不具有周期性，①不满足题意；②函数的图像是将的图像在轴下方的全部对称到轴上方，故函数的最小正周期为，故②满足题意；③函数的周期为，故③满足题意；④函数的周期为，故④满足题意.故选：B.精练核心考点1．（22·23下·闵行·阶段练习）下列函数中，周期为1的奇函数是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于A：为奇函数，但是最小正周期，故A错误；对于B：为非奇非偶函数，故B错误；对于C：为奇函数，且最小正周期，故C正确；对于D：为偶函数，且最小正周期，故D错误；故选：C2．（22·23下·全国·单元测试）函数的周期﹐那么正常数等于（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【详解】，因为函数的周期﹐所以，所以.故选：C.3．（23·24上·怀柔·开学考试）下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】的最小正周期为，A选项不符合题意.是奇函数，B选项不符合题意.小正周期为且是偶函数，C选项符合题意.是奇函数，D选项不符合题意.故选：C4．（22·23下·长宁·期末）下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A，的最小正周期为，而不在函数的定义域内，所以A错误，对于B，的最小正周期为，当时，是严格减函数，所以B正确，对于C，的最小正周期为，而此函数在上是增函数，所以C错误，对于D，的最小正周期为，所以D错误，故选：B5．（多选）（22·23下·达州·阶段练习）下列函数中既是奇函数，又是最小正周期为的函数有（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】对于选项A：为奇函数，最小正周期，故A正确；对于选项B：为偶函数，最小正周期，故B错误；对于选项C：为奇函数，最小正周期，故C错误；对于选项D：为奇函数，最小正周期，故D正确；故选：AD.题型五：重点考查三角函数的奇偶性和对称性典型例题例题1．（22·23下·南通·模拟预测）已知函数同时满足下列条件：①定义域为；②；③为偶函数；④，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【详解】解：解法一：由①知，的定义域为，由③为偶函数，则，即由④知函数满足，所以，，即所以，即函数为周期函数，周期为，因为，所以，令得，令得，即，所以.故选：A解法二：由③知，图象关于对称，由④知，关于对称，故选取三角函数，由于①定义域为；②，故令，满足①②③④，所以，故选：A例题2．（多选）（22·23下·佛山·期中）已知函数，则说法正确的是（

）A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称C．为奇函数 D．为偶函数【答案】AC【详解】对于A选项，因为，所以，的图象关于点对称，所以A选项正确.对于B选项，由，知的图象不关于直线对称，所以B选项错误.对于C选项，由，知为奇函数，所以C选项正确.对于D选项，因为，，，所以不为偶函数，所以D选项错误.故选:AC.例题3．（23·24·省直辖县级单位·模拟预测）若函数的图象关于轴对称，则．【答案】/【详解】函数的定义域为R，，依题意，函数是偶函数，于是，，即而不恒为0，整理得，即，因此，解得，所以.故答案为：例题4．（22·23·贵州·模拟预测）若函数为偶函数，则的最小正值为.【答案】/【详解】函数的定义域为，为偶函数，则，即，则，即是偶函数，可知，，即，，故取最小正值为.故答案为：.例题5．（23·24上·张家口·开学考试）已知函数，是奇函数，则的值为．【答案】/【详解】∵为偶函数，所以，为奇函数，∴，，∵，∴．故答案为：精练核心考点1．（23·24上·广州·阶段练习）若为奇函数，则实数（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于函数，有，解得，所以，函数的定义域为，因为函数为奇函数，则，即对任意的恒成立，所以，，所以，，解得，.故选：D.2．（多选）（22·23下·江西·期中）已知函数，则（

）A．的图象关于对称 B．的图象关于直线对称C．为奇函数 D．为偶函数【答案】BC【详解】因为，，A错误；，B正确；，所以是奇函数，C正确；易知，所以不是偶函数，D错误．故选：BC3．（23·24上·成都·阶段练习）若为偶函数，则实数.【答案】1【详解】函数的定义域为，由函数是偶函数，得，恒成立，即，整理得，于是对恒成立，显然，解得，所以.故答案为：14．（22·23上·济宁·期末）函数，（a，b为常实数），若，则．【答案】3【详解】令，则，，因为，所以，因为，所以为奇函数，所以，所以，故答案为：35．（22·23·全国·专题练习）判断函数的奇偶性.【答案】奇函数【详解】因为，且所以，则函数为奇函数.题型六：重点考查函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题典型例题例题1．（多选）（23·24上·渝北·阶段练习）已知函数，则（

）A．函数的最小正周期为B．直线是函数图象的一条对称轴C．函数是偶函数D．函数的递减区间为【答案】ABD【详解】由函数，对于A中，由三角函数的性质，可得的最小正周期为，所以A正确；对于B中，当时，可得，所以是函数图象的一条对称轴，所以B正确；对于C中，由，此时函数为奇函数，所以C错误；对于D中，令，解得，即函数的递减区间为，所以D正确.故选：ABD.例题2．（多选）（22·23下·阿克苏·阶段练习）函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是（

）A．的一个周期为；B．的图象关于对称；C．是的一个零点；D．在单调递减；【答案】ABC【详解】函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，，的一个周期为，故A正确；的对称轴满足：，，当时，的图象关于对称，故B正确；由，得，是的一个零点，故C正确；当时，，在上单调递增，故D错误.故选：ABC例题3．（多选）（22·23上·合肥·期末）下列关于函数说法正确的是（

）A．周期为 B．单调递增区间是C．图象关于直线对称 D．图象关于点对称【答案】ABD【详解】对于A，函数的周期为，故A正确；对于B，令，得，所以单调递增区间是，故B正确；对于C，因为，所以直线不是函数图象的对称轴，故C错误；对于D，因为，所以函数图象关于点对称，故D正确.故选：ABD.精练核心考点1．（多选）（23·24上·全国·单元测试）（多选）已知函数（），下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数是偶函数C．函数的图象关于直线对称D．函数在区间上是增函数【答案】ABD【详解】由题意知，其最小正周期为，故A正确；函数是偶函数，故B正确；当时，，故不是函数的对称轴，C错误，当时，，由于在上单调递减，故在区间上是增函数，D正确．故选：ABD2．（多选）（22·23下·佛山·阶段练习）已知函数，则（

）A．B．为奇函数C．图象的对称中心为D．的定义域为【答案】ABD【详解】因为函数，所以，故A正确；由得，，对于函数，令，得，可知定义域为关于原点对称，又，所以函数为奇函数，即为奇函数，故B正确；由，得到，所以的对称中心为，故C错误；令，得，所以的定义域为，故D正确；故选：ABD3．（多选）（22·23下·桂林·期末）函数（A，，是常数，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（

）

A．函数的图象关于直线对称B．的图象关于中心对称C．函数在区间上单调递减D．【答案】AB【详解】由题意可得，，故，又因为，故，所以，所以.对于A，当时，，满足该函数取得最值的条件，A正确；对于B，时，，则是该函数的对称中心，B正确；对于C，当时，则，因为函数在不是单调减函数，所以函数在区间上不是单调递减函数，C错误；对于D，，D错误.故选：AB题型七：重点考查三角函数的单调区间典型例题例题1．（23·24上·辽宁·阶段练习）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由已知，最小正周期为，，，，，，，故选：B．例题2．（22·23下·北京·期中）下列函数中，周期为π且在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由，各项函数单调性如下：由，，故在上递增，且周期为π；由，，故在上不单调；由定义域为，而不满足定义域；由，，则在上递增，且周期为4π.故选：A例题3．（23·24上·湖北·阶段练习）已知函数在上单调递增，则取值范围是.【答案】【详解】令，解得，所以的单调递增区间为，因为在上单调递增，所以，解得，所以.故答案为：例题4．（22·23下·全国·课时练习）已知函数在内是减函数，则的取值范围是．【答案】【详解】∵已知函数在内是减函数,∴函数在内是单调增函数，∴，解得，经检验，满足题意.∴的取值范围是．故答案为：.例题5．（22·23·全国·课堂例题）求函数的定义域和单调区间．【答案】定义域是且，单调递增区间是，．【详解】要使函数有意义，自变量应满足，即．所以函数的定义域是且．由，得，．因此，函数的单调递增区间是，．精练核心考点1．（22·23下·商洛·模拟预测）若函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】根据函数在区间上单调递减，得，可得，又由，必有，可得.故选：A2．（多选）（2023下·成都·期中）已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】因为，函数，若在区间内单调递增，所以，所以.故选：BC.3．（22·23下·马鞍山·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为.【答案】【详解】由题意有,可得,又由，在上为减函数，故必有,可得.故实数的取值范围为.故答案为：4．（23·24上·大兴·阶段练习）已知函数，若该函数的一个最高点的坐标为，与其相邻的对称中心坐标为.(1)求函数解析式；(2)求函数的单调增区间.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可得，，且，则，所以，所以，将点代入，可得，即，解得，且，则，所以.（2）由（1）可得，令，，解得，，所以的单调增区间为.5．（22·23·全国·课堂例题）求函数的单调递增区间．【答案】，．【详解】．令，函数的单调递增区间是，．由，得，．因此，函数的单调递增区间是，．题型八：重点考查利用单调性比较三角函数值的大小典型例题例题1．（22·23下·苏州·期末）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，，所以，所以.故选：C.例题2．（22·23下·驻马店·期中）设，，，则下列结论成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，又，且在上递增，∴，而，所以，∴．故选：B．例题3．（22·23下·抚州·期中）下列选项中两数大小关系错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A项，因为，所以，所以，故A项正确；对于B项，因为，所以，故B项正确；对于C项，因为函数在上单调递增，且，所以，故C项错误；对于D项，，，因为在上单词递增，且，所以，所以，所以，故D项正确.故选：C.例题4．（多选）（22·23下·佛山·阶段练习）下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】对于A，，而余弦函数在上单调递增，则，A错误；对于B，，余弦函数随锐角的增大而减小，则有，即，B正确；对于C，，，正弦函数在上单调递减，因此，C正确；对于D，由，得，D错误.故选：BC例题5．（多选）（22·23下·浙江·期中）下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】对于A选项，，因为正切函数在上为增函数，且，所以，，即，A选项正确；对于B选项，由于正切函数在上为增函数，且，所以，，B选项错误；对于C选项，，，因为余弦函数在为减函数，且，所以，，即，C选项正确；对于D选项，由于正弦函数在上为增函数，且，所以，，D选项错误.故选：AC.精练核心考点1．（22·23下·雅安·阶段练习）下列选项中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，在上单调递增，所以，故A正确；因为，所以比1距离正弦函数的对称轴近，所以，故B正确；因为，而，函数在上单调递增，所以，故C正确；因为，而，由正弦函数的单调性可知，故D错误.故选：D2．（22·23下·盐城·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，又余弦函数在上单调递减，则，即；又正切函数在上单调递增，则，综上.故选：C3．（多选）（22·23下·驻马店·期中）已知函数，当时单调递增，若角A，B，C是锐角三角形的内角，则下列说法正确的是（

）A．； B．C．； D．【答案】AD【详解】由题意，且，，因此，∴，而在上递增，，∴，同理，故选：AD．4．（多选）（22·23下·兰州·开学考试）下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．【答案】BD【详解】对于A，因为，且函数在上单调递增，则，故A错误；对于B，因为，，且函数在上单调递减，则，即，故B正确；对于C，因为，且函数在上单调递减，则，故C错误；对于D，因为，，且，函数在上单调递增，则，即，故D正确；故选：BD5．（22·23·全国·课堂例题）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，．【答案】(1)(2)【详解】（1）由于，且函数在区间内单调递增，因此．（2）由于，且函数在区间内单调递增，因此．题型九：重点考查已知三角函数的单调情况求参数问题典型例题例题1．（23·24上·天津·期中）若函数在区间上单调，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【详解】时，由于，则，显然，因此由单调得，，最大值为2，故选：B．例题2．（22·23·烟台·二模）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（

）．A． B．C． D．【答案】D【详解】由，所以，又，所以，且函数在上单调递增，所以，解得，即的取值范围为.故选：D例题3．（8·9·岳阳·阶段练习）已知函数在内是减函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为函数在内是单调函数，所以最小正周期，即，所以.又函数在内是减函数，则根据复合函数单调性判定知.综上，.故选：B.例题4．（22·23上·楚雄·期末）已知函数，若在区间上为单调函数，则的取值范围是．【答案】【详解】因为，所以，在区间上为单调函数，又由余弦函数的单调性可得，所以．故答案为：精练核心考点1．（23·24上·徐州·阶段练习）已知，若函数的图象关于对称，且函数在上单调，则的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【详解】由函数，因为函数的图象关于对称，可得，解得，解得，又因为在上单调，所以，则满足，即，解得，当时，可得，满足条件；当时，可得，不满足条件，所以.故选：D.2．（18·19·全国·课时练习）若函数在上为减函数，且在上的最大值为，则的值可能为A． B． C． D．1【答案】A【详解】由题意，函数在上为减函数，可得且，解得，当时，解得，故选A．3．（22·23下·丰台·期末）若函数在区间上单调递增，则常数的一个取值为.【答案】（答案不唯一）【详解】由函数的图象与性质，可得函数在区间上单调递增，当时，可得，此时函数满足在区间上单调递增，当时，，所以常数的一个取值可以为.故答案为：（答案不唯一）.4．（22·23下·辽宁·阶段练习）若函数在上不单调，则实数的取值范围是.【答案】【详解】由题意得，若函数在上单调递增，则,解得：，所以，解得，即，因为，所以且，所以，

①若函数在上单调递减，则,解得，所以，解得，即，因为，所以且，所以，

②又因为函数在上不单调，且，所以的取值为①②所表示的不等式的补集，即或.故答案为：或.5．（17·18·全国·课时练习）已知函数是上的严格增函数，则正实数的取值范围是.【答案】【详解】解：∵函数在内是单调增函数，∴，解得，经检验，满足题意.∴的取值范围是．故答案：.题型十：重点考查利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值典型例题例题1．（22·23上·自贡·一模）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，，根据函数在的最大值为7,最小值为3，所以，即，根据正切函数在为单调增函数，则，在上单调减函数，，，则，，，，，故选：B.例题2．（23·24上·河西·阶段练习）已知函数，.(1)求的最小正周期，对称轴方程，对称中心坐标；(2)求在闭区间上的最大值和最小值，【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，对称中心坐标为(2)最大值为，最小值为【详解】（1）解：因为函数所以函数的最小正周期为，令，可得对称轴方程为；再令，解得，所以函数对称中心坐标为.（2）解：由（1）知，函数，因为，可得，则，可得.所以函数在闭区间上的最大值为，最小值为.例题3．（22·23上·盐城·期末）已知函数的图象的一条对称轴是直线．(1)当时