第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理(练透重点题型)(原卷版+解析)

第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理(重点题型方法与技巧)目录类型一：分类加法计数原理类型二：分步乘法计数原理类型三：实际问题中的计数问题类型四：代数中的计数问题类型五：几何计数问题类型六：数字排列问题类型七：涂色问题类型八：新定义题类型一：分类加法计数原理典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为__________．例题2．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如11，242，5225都是回文数，则用0，1，2，3，4，5这些数字构成的所有三位数的回文数中能被3整除的个数是（

）A．8 B．10 C．11 D．13例题3．（2023·全国·高三专题练习）甲､乙､丙､丁四名交通志愿者申请在国庆期间到三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：交通路口志愿者甲､乙､丙､丁甲､乙､丙丙､丁这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（

）A．14种 B．11种 C．8种 D．5种同类题型演练1．（2023·全国·高二专题练习）某中学需从2020年师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选聘1人，则不同的选法种数为（

）A．6 B．5 C．3 D．22．（2023·全国·高三专题练习）如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有___________个.3．（2023·全国·高三专题练习）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.类型二：分步乘法计数原理典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）用数字1，2，3，4，5，6组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数列，这个数列的项数为（

）.A．24 B．46 C．48 D．120例题2．（2023·高二课时练习）一次时装表演，有7顶不同款式的帽子，12件不同款式的上衣和8条不同款式的裤子．一位模特要从这些帽子、上衣和裤子中各选1款穿戴，则有______种不同的选法．例题3．（2023·全国·高二专题练习）由1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成多少个无重复数字的三位偶数与三位奇数？同类题型演练1．（2023·全国·高三专题练习）设集合，集合，定义，则中元素个数是（

）A．7 B．10 C． D．2．（2023·高二课时练习）有四位学生参加三项竞赛，要求每位学生必须参加其中一项竞赛，有______种参赛情况．3．（2023·高二课时练习）从圆内接正六边形的六个顶点中任意取出三个点构成三角形，则共可构成几个直角三角形？若将圆内接正六边形改为圆内接正八边形，结论如何？若改为圆内接正2n边形呢？类型三：实际问题中的计数问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）2021年8月17日，国家发改委印发的《2021年上半年各地区能耗双控目标完成情况晴雨表》显示，青海､宁夏､广西､广东､福建､新疆､云南､陕西､江苏､浙江､安徽､四川等12个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻.某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施.如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不同的关闭方案有（

）A．15种 B．16种 C．17种 D．18种例题2．（2023·全国·高二专题练习）古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组．例题3．（2023·高二课时练习）书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．(1)从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？(2)从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？(3)从这些书中取不同科目的书共两本，有多少种不同的取法？同类题型演练1．（2023·全国·高二专题练习）若甲、乙、丙三名学生计划利用寒假从丽江、大理、西双版纳、腾冲中任选一处景点旅游，每人彼此独立地选景点游玩，且丽江必须有人去，则不同的选择方法有（）A．16种 B．18种 C．37种 D．40种2．（2023·全国·高二专题练习）寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有__________种.3．（2023·全国·高三专题练习）如图，用红、黄、蓝三种颜色涂图中标号分别为1，2，3，…，9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的3个小正方形涂相同的颜色，则符合条件的涂法共有多少种？类型四：代数中的计数问题典型例题例题1．（2022·高二课时练习）对于自然数作竖式运算时不进位，那么称是“良数”，如32是“良数”，由于计算时不进位，23是“良数”，由于计算时要进位，那么小于1000的“良数”有A．36个 B．39个 C．48个 D．64个例题2．（多选）（2022·高二课时练习）已知集合，，从，这两个集合中各选一个元素分别记作，．则下列说法正确的有（

）A．表示不同的正数的个数是6B．表示不同的比1小的数的个数是6C．表示轴上方不同的点的个数是6D．表示轴右侧不同的点的个数是6同类题型演练1．（2022春·上海宝山·高二上海交大附中校考期末）设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有________种（用数字作答）2．（2022·高二课时练习）从集合中分别取2个不同的数作为对数的底数与真数，一共可得到多少个不同的对数值？类型五：几何计数问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（

）.A．20种 B．16种 C．12种 D．8种例题2．（2023·全国·高三专题练习）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行或相互垂直的有（

）A．24对 B．16对 C．18对 D．48对同类题型演练1．（2023·全国·高二专题练习）凸八边形的对角线有（

）条A．20 B．28 C．48 D．56类型六：数字排列问题典型例题例题1．（2022春·广东珠海·高二珠海市第二中学校考期中）由数字1，2，3组成的各位上没有重复数字的所有三位数的和为（

）A．66 B．666 C．1332 D．2664例题2．（2023·全国·高三专题练习）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位偶数.同类题型演练1．（2023·全国·高三专题练习）1.已知一个三位数从0，1，2，3，4中任意选取.如果三位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个三位数？如果三位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个三位数？2．（2023·全国·高二专题练习）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，343，94249等．显然，2位数的回文数有9个，即11，22，33，…，99；3位数的回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．求：(1)4位数的回文数个数；(2)位数的回文数个数．类型七：涂色问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（

）A．1512种 B．1346种 C．912种 D．756种例题2．（2022春·湖北十堰·高二丹江口市第一中学校考阶段练习）给图中，，，，五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种例题3．（2023·全国·高二专题练习）（1）从5种颜色种选出3种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每一个顶点涂一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点异色，则不同的涂色方法有______种；（2）从5种颜色种选出4种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每一个顶点涂一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点异色，则不同的涂色方法有______种．同类题型演练1．（2022春·江苏徐州·高二校考阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（

）A．36 B．400 C．420 D．4802．（2023·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法____．3．（2022春·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考期中）如图，现在用4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法有___________种．类型八：新定义题1．（2022·高二课时练习）如图，将钢琴上的个键依次记为.设.若且，则称为原位大三和弦；若且，则称为原位小三和弦.用这个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（

）A． B． C． D．2．（2022春·江西抚州·高二校联考期中）算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）．如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（

）A．8 B．10 C．15 D．163．（2022春·高二课时练习）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（

）A．360种 B．50种 C．60种 D．90种4．（2022·高二课时练习）算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（

）A． B． C． D．5．（2022春·高二课时练习）算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表：用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，则“”表示的三位数为________；如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示能被5整除的三位数的个数为________．第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理(重点题型方法与技巧)目录类型一：分类加法计数原理类型二：分步乘法计数原理类型三：实际问题中的计数问题类型四：代数中的计数问题类型五：几何计数问题类型六：数字排列问题类型七：涂色问题类型八：新定义题类型一：分类加法计数原理典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为__________．【答案】9【详解】由题意可知，可以乘汽车、火车、轮船三种交通工具，汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，则共有3+4+2=9种不同走法，故答案为：9.例题2．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如11，242，5225都是回文数，则用0，1，2，3，4，5这些数字构成的所有三位数的回文数中能被3整除的个数是（

）A．8 B．10 C．11 D．13【答案】B【详解】当三位数的三个数位上的数都相同时，有，共有5个；当三位数的三个数位上的数有二个相同时，有，共有5个，所以满足题意的回文数共有10个，故选：B例题3．（2023·全国·高三专题练习）甲､乙､丙､丁四名交通志愿者申请在国庆期间到三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：交通路口志愿者甲､乙､丙､丁甲､乙､丙丙､丁这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（

）A．14种 B．11种 C．8种 D．5种【答案】B【详解】解：由题意得：以C路口为分类标准：C路口执勤分得人口数情况有种，两个人或一个人C路口执勤分得人口数为个，丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在路口执勤；C路口执勤分得人口数为个，丙或丁在C路口，具体情况如下：丙在C路口：A（丁）B（甲乙）C（丙）；A（甲丁）B（乙）C（丙）；A（乙丁）B（甲）C（丙）；丁在C路口：A（甲乙）B（丙）C（丁）；A（丙）B（甲乙）C（丁）；A（甲丙）B（乙）C（丁）；A（乙）B（甲丙）C（丁）；A（乙丙）B（甲）C（丁）；A（甲）B（乙丙）C（丁）；.所以一共有2+3+6=11种选法.故选：B.同类题型演练1．（2023·全国·高二专题练习）某中学需从2020年师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选聘1人，则不同的选法种数为（

）A．6 B．5 C．3 D．2【答案】B【详解】选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有3种选法；从2名男大学生中选聘1人，有2种选法,根据分类加法计数原理，可知不同的选法种数为，故选:B.2．（2023·全国·高三专题练习）如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有___________个.【答案】12【详解】当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况.当有三个1时：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9种，当有三个2，3，4时：2221，3331，4441，有3种，根据分类加法计数原理可知，共有12种结果.故答案为：123．（2023·全国·高三专题练习）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.【答案】12【详解】（1）分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12（种）方法.故答案为：12.类型二：分步乘法计数原理典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）用数字1，2，3，4，5，6组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数列，这个数列的项数为（

）.A．24 B．46 C．48 D．120【答案】D【详解】解：完成这件事需要分别确定百位、十位和个位数，可以先确定百位数，再确定十位数，最后确定个位数，因此要分步求解．第一步：确定百位数，有6种方法；第二步：确定十位数，有5种方法；第三步：确定个位数，有4种方法．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4=120（个）三位数，所以这个数列的项数为120．故选：D.例题2．（2023·高二课时练习）一次时装表演，有7顶不同款式的帽子，12件不同款式的上衣和8条不同款式的裤子．一位模特要从这些帽子、上衣和裤子中各选1款穿戴，则有______种不同的选法．【答案】672【详解】模特完成穿戴需要分三步：第一步，选择帽子，共有7种选择；第二步，选择上衣，共有12种选择；第三步，选择裤子，共有8种选择；根据乘法原理，共有种.故答案为：例题3．（2023·全国·高二专题练习）由1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成多少个无重复数字的三位偶数与三位奇数？【答案】；.【详解】当个位上的数是偶数时，该三位数就是偶数，可分步完成．第一步，先排个位，个位上的数只能是2，4，6，8中的1个，有4种取法；第二步，排十位，从剩余的8个数字中取1个，有8种取法；第三步，排百位，从剩余的7个数字中取1个，有7种取法．所以可以组成无重复数字的三位偶数的个数为个．当个位上的数是奇数时，该三位数就是奇数，可分步完成．第一步，先排个位，个位上的数只能是1，3，5，7，9中的1个，有5种取法；第二步，排十位，从剩余的8个数字中取1个，有8种取法；第三步，排百位，从剩余的7个数字中取1个，有7种取法．所以可以组成无重复数字的三位奇数的个数为个．同类题型演练1．（2023·全国·高三专题练习）设集合，集合，定义，则中元素个数是（

）A．7 B．10 C． D．【答案】B【详解】由题意得，，，则有2种情况，有5种情况，则由乘法原理可得的元素个数有个，故选：B.2．（2023·高二课时练习）有四位学生参加三项竞赛，要求每位学生必须参加其中一项竞赛，有______种参赛情况．【答案】81【详解】解：根据乘法分步原理，每位学生都有三种选择方案，故有种.故答案为：3．（2023·高二课时练习）从圆内接正六边形的六个顶点中任意取出三个点构成三角形，则共可构成几个直角三角形？若将圆内接正六边形改为圆内接正八边形，结论如何？若改为圆内接正2n边形呢？【答案】圆内接正六边形可构成12个，圆内接正八边形可构成24个，圆内接正2n边形可构成个【详解】圆内接正六边形：从圆内接正六边形的个顶点中任取两点连成线段，其中有条为圆的直径，若从这个顶点中任取个顶点构成三角形，所得的三角形是直角三角形，则其中直角三角形的斜边为圆的直径，然后从剩余的个顶点（除去直角三角形斜边的顶点）中任取一个点，与斜边的顶点可构成直角三角形,由分步乘法计数原理，共可构成（个）直角三角形．圆内接正八边形:从圆内接正八边形的个顶点中任取两点连成线段，其中有条为圆的直径，若从这个顶点中任取个顶点构成三角形，所得的三角形是直角三角形，则其中直角三角形的斜边为圆的直径，然后从剩余的个顶点（除去直角三角形斜边的顶点）中任取一个点，与斜边的顶点可构成直角三角形,由分步乘法计数原理，共可构成（个）直角三角形．圆内接正2n边形：从圆内接正2n边形的个顶点中任取两点连成线段，其中有条为圆的直径，若从这个顶点中任取个顶点构成三角形，所得的三角形是直角三角形，则其中直角三角形的斜边为圆的直径，然后从剩余的个顶点（除去直角三角形斜边的顶点）中任取一个点，与斜边的顶点可构成直角三角形,由分步乘法计数原理，共可构成（个）直角三角形．类型三：实际问题中的计数问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）2021年8月17日，国家发改委印发的《2021年上半年各地区能耗双控目标完成情况晴雨表》显示，青海､宁夏､广西､广东､福建､新疆､云南､陕西､江苏､浙江､安徽､四川等12个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻.某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施.如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不同的关闭方案有（

）A．15种 B．16种 C．17种 D．18种【答案】B【详解】因为在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，所以不同的关闭方案如下：，，共16种方案，故选：B例题2．（2023·全国·高二专题练习）古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组．【答案】60【详解】分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果．第二类：用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果．共可得到30＋30＝60(组)．故答案为：60例题3．（2023·高二课时练习）书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．(1)从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？(2)从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？(3)从这些书中取不同科目的书共两本，有多少种不同的取法？【答案】(1)14(2)90(3)63【详解】（1）由于书架上有本书，则从中任取一本，共有14种不同的取法.（2）由题意分步完成，第一步：取任取一本数学书，有3种取法；第二步：取任取一本语文书，有5种取法；第三步：取任取一本英语书，有6种取法；由分步乘法计数原理得共有种不同的取法.（3）取两本不同科目的数，可以分三种情况：①一本数学书和一本语文书，有种情况；②一本数学书和一本英语书，有种情况；③一本语文书和一本英语书，有种情况；根据分类加法计数原理，共有种情况.同类题型演练1．（2023·全国·高二专题练习）若甲、乙、丙三名学生计划利用寒假从丽江、大理、西双版纳、腾冲中任选一处景点旅游，每人彼此独立地选景点游玩，且丽江必须有人去，则不同的选择方法有（）A．16种 B．18种 C．37种 D．40种【答案】C【详解】法1（直接法）：满足题意的不同的选择方法有以下三类:三个人中只有一个人去丽江，有(种)选择方法；三个人中有两个人去丽江，有(种)选择方法；三个人都去丽江，有种选择方法；综上，共有(种)不同的选择方法.法2（排除法）：三个人去四个景点，有(种)选择方法；没有人去丽江，有(种)选择方法；综上，共有(种)不同的选择方法.

故选：C2．（2023·全国·高二专题练习）寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有__________种.【答案】45【详解】先选出坐对位置的人，即从5人中选1人，有5种可能；剩下四人进行错排，设四人座位为，则四人都不坐在自己位置上有这9种可能；所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种故答案为：453．（2023·全国·高三专题练习）如图，用红、黄、蓝三种颜色涂图中标号分别为1，2，3，…，9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的3个小正方形涂相同的颜色，则符合条件的涂法共有多少种？【答案】108（种）【详解】把区域分为三部分，第一部分1，5，9，有3种涂法．第二部分2，3，6，分以下两种情况：①若标号为2，6的小正方形同色，则标号为2，6，3的小正方形的不同涂法有（种）；②若标号为2，6的小正方形不同色，则标号为2，6，3的小正方形的不同涂法有（种），所以标号为2，3，6的小正方形的不同涂法共有（种）．同理，第三部分4，7，8的不同涂法也有6种．所以符合条件的涂法共有（种）．类型四：代数中的计数问题典型例题例题1．（2022·高二课时练习）对于自然数作竖式运算时不进位，那么称是“良数”，如32是“良数”，由于计算时不进位，23是“良数”，由于计算时要进位，那么小于1000的“良数”有A．36个 B．39个 C．48个 D．64个【答案】C【详解】如果是良数，则的个位数字只能是，非个位数字只能是（首位不为），而小于的数至多三位，一位的良数有，共个，二位良数个位可取，十位可取，共有个，三位良数个位可取，十位可取，百位可取，共有，综上，小于“良数”的个数为个，故选C.例题2．（多选）（2022·高二课时练习）已知集合，，从，这两个集合中各选一个元素分别记作，．则下列说法正确的有（

）A．表示不同的正数的个数是6B．表示不同的比1小的数的个数是6C．表示轴上方不同的点的个数是6D．表示轴右侧不同的点的个数是6【答案】BC【详解】对于选项A，若a，b均为正，共有2×2=4个，若a，b均为负，共有1×2=2个，但，所以共有5个，所以选项A错误；对于选项B，若为正，显然均比1大，所以只需为负即可，共有2×2+1×2=6个，所以选项B正确；对于选项C，要使（a，b）表示x轴上方的点，只需b为正即可，共有2×3=6个，所以选项C正确；对于选项D，要使（a，b）表示y轴右侧的点，只需a为正即可，共有2×4=8个，所以选项D错误．故选：BC同类题型演练1．（2022春·上海宝山·高二上海交大附中校考期末）设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有________种（用数字作答）【答案】17【详解】A中最大数是1，则集合的任一非空子集均可为集合B，这样的集合B有个，A中最大数是2，则集合的任一非空子集均可为集合B，这样的集合B有个，而集合A有两个，共有种，A中最大数是3，则符合条件的集合B只能是，此时集合A有四个，从而共有4种，所以由分类加法计数原理得不同的选择方法共有7+6+4=17种.故答案为：172．（2022·高二课时练习）从集合中分别取2个不同的数作为对数的底数与真数，一共可得到多少个不同的对数值？【答案】【详解】①当取得两个数中有一个是1时，则1只能作真数，此时或3或4或5或6或7或8或9.②所取的两个数不含有1时，即从2，3,

4，5，6，7，8,

9中任取两个，分别作为底数与真数可有个对数，但是其中，综上可知:共可以得到个不同的对数值.类型五：几何计数问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（

）.A．20种 B．16种 C．12种 D．8种【答案】C【详解】正方体共有条棱，每条棱对应两个相邻面，与这两个面不都相邻的面有个共有组，每组中包含两条棱，故有故选：例题2．（2023·全国·高三专题练习）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行或相互垂直的有（

）A．24对 B．16对 C．18对 D．48对【答案】C【详解】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，相互平行或相互垂直，则考虑相对面的相互平行或相互垂直的情况即可.相对面中，相互平行的有2对，相互垂直的4对，共6对，正方体有三组相对面，故3×6=18，故选C同类题型演练1．（2023·全国·高二专题练习）凸八边形的对角线有（

）条A．20 B．28 C．48 D．56【答案】A【详解】凸八边形过每一个顶点有5条对角线，故共有条故选：A类型六：数字排列问题典型例题例题1．（2022春·广东珠海·高二珠海市第二中学校考期中）由数字1，2，3组成的各位上没有重复数字的所有三位数的和为（

）A．66 B．666 C．1332 D．2664【答案】C【详解】由数字1，2，3组成的各位上没有重复数字的所有三位数有：123，132，213，231，312，321.所以所有三位数的和为123+132+213+231+312+321=1332.故选：C例题2．（2023·全国·高三专题练习）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位偶数.【答案】198【详解】当用0时，0只能在个位，十位，百位三个位置之一.当个位为0时，从2,4,6中再取1个数字(3种方法），从1,3,5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），将这取得的3个数字在十百千位任意排列，共有3!=6中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有3×3×6=54种方法；当十位或百位为0时（2种不同方法），从2,4,6中再取1个数字放置在个位(3种方法），然后从1,3,5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），在其余两位上任意排列，共有2!=2中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有2×3×3×2=36种方法；当没有用0时，从2，4，6中任取1个数字放置在个位(有3中不同的方法）；在从其余的2个非零偶数字中任取一个数字(2种不同方法），从1，3，5中任取2个数字（有3种不同方法)，将这3个数字在除个位之外的十百千3个位置上任意排列(有3!=6种不同的方法），由分步乘法计数原理方法数为3×2×3×6=108种．根据分类加法计数原理，一共有没有重复数字的四位偶数54+36+108=198个，故答案为：198.同类题型演练1．（2023·全国·高三专题练习）1.已知一个三位数从0，1，2，3，4中任意选取.如果三位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个三位数？如果三位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个三位数？【答案】48；100【详解】若不重复，三位数先考虑百位情况，共4种选择，十位除去百位已选一个数，也是4种不同选择，个位共3种不同选择，故总共能得到4×4×3＝48个不同的三位数.若重复，三位数先考虑百位，共4种不同选择，十位共5种不同选择，个位共5种不同选择，故共有4×5×5＝100个不同的三位数.2．（2023·全国·高二专题练习）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，343，94249等．显然，2位数的回文数有9个，即11，22，33，…，99；3位数的回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．求：(1)4位数的回文数个数；(2)位数的回文数个数．【答案】(1)90(2)【详解】（1）由题设，四位数回文：∴共有90个.（2）位数，则中间的数字有10种选法，而两侧的数字只需排好一侧，则另一侧确定，不妨排前n位数字，显然第一位数字有9种选法，其余都有10种选法，∴共有个回文数.类型七：涂色问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（

）A．1512种 B．1346种 C．912种 D．756种【答案】D【详解】1、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂相同颜色，则有3种方法，C，E，F区域分别有3种方法，共有4×3×3×3×3=324种方法．2、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂不同颜色，则有3×2种方法，则E区域有2种方法，C，F分别有3种方法，共有4×3×2×2×3×3=432种方法．故不同的涂色方法共有756种．故选：D例题2．（2022春·湖北十堰·高二丹江口市第一中学校考阶段练习）给图中，，，，五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种【答案】D【详解】当B，E同色时，共有种不同的染色方案，当B，E不同色时，共有种不同的染色方案，所以共有72种不同的染色方案．故选：D．例题3．（2023·全国·高二专题练习）（1）从5种颜色种选出3种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每一个顶点涂一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点异色，则不同的涂色方法有______种；（2）从5种颜色种选出4种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每一个顶点涂一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点异色，则不同的涂色方法有______种．【答案】

60

240【详解】（1）如图，由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂色互不相同，则A，C必须颜色相同，B，D必须颜色相同，所以共有（种）不同的涂色方法．（2）分2个步骤：选色，涂色．选色有5种方法．涂色：如图，顶点S有4种涂法，A有3种涂法，B有2种涂法，D有2种涂法，C有1种涂法．由分步乘法计数原理可知，共有（种）不同的涂色方法．同类题型演练1．（2022春·江苏徐州·高二校考阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（

）A．36 B．400 C．420 D．480【答案】C【详解】解：根据题意，分4步进行分析：①，对于区域，有5种颜色可选；②，对于区域，与区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域，与、区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域、，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域、有种选择，则不同的涂色方案有种；故选：C．2．（2023·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法____．【答案】960【详解】因为区域和各个区域都相邻，所以首先给区域染色有5种方法,区域、各有4种方法,区域、一个4种,一个3种,根据分步乘法计数原理可知,共有涂色方法.故答案为：960．3．（2022春·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考期中）如图，现在用4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法有___________种．【答案】48【详解】解：先给①涂色有4种，再给②涂色有3