第01讲平面向量的数量积及其应用5种常见考法归类(原卷版+解析)

第01讲平面向量的数量积及其应用5种常见考法归类1．理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积；2．了解平面向量投影的概念及投影向量的意义；3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；4．能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角；1.向量数量积的定义(1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.(2)向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，我们说a与b垂直，记作a⊥b.(3)向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2.向量的投影(1)定义：如图，设a，b是两个非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，作如下的变换：过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，则称上述变换为向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量.(2)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.注：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．3.平面向量数量积的几何意义的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．4.向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.注：任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量上的投影的数量. (2)a⊥b⇔a·b＝0.注：可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模.(4)．注：夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两平面的夹角.(5)．注：可用于解决有关“向量不等式”的问题.5.向量数量积运算的运算律对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6.数量积的坐标表示已知非零向量，，为向量、的夹角．结论几何表示坐标表示模数量积夹角的充要条件的充要条件与的关系(当且仅当时等号成立)7.数量积的有关结论(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(3)a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0.1、向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为）(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．2、求向量模的一般思路及常用公式(1)求向量模的常见思路(2)常用公式①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2；②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.3、解决向量垂直问题一般思路解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b⇔,a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.4、求向量a，b的夹角θ的思路(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．5、解决向量投影问题应注意以下三点(1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cosθe(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．(2)向量a在b方向上的投影向量eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).(3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cosθeq\f(a,|a|).6、数量积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则①a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).②a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.③eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1x2＋y1y2))≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).④设θ是a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).考点一：平面向量的数量积运算例1．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（

）A． B． C．12 D．72变式1：已知，，均为单位向量，且，则（

）A． B． C． D．变式2：已知，，与的夹角为．求：(1)；(2)；(3)．:例2．在边长为6的正中，若点满足，则__________.变式1：在中，，点D在上，，，则（）A．8 B．10 C．12 D．16.变式2：已知等边的边长为是边上的中点，则__________．变式3：在中，，是边上的中线，且，，则（

）A． B．5 C． D．8例3．在平行四边形中，若，，则的值为（

）A． B． C． D．变式1：在边长为3的正方形ABCD中，点E满足，则（

）A．3 B． C． D．4变式2：在边长为2的正三角形中，，，则（

）A． B． C． D．变式3：【多选】如图，在直角梯形ABCD中，，，，是的中点，则（

）A． B．C． D．例4．在四边形ABCD中，，作于点H．若，则（

）A． B．10 C． D．12变式1：如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______变式2：在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为______.考点二：平面向量的垂直问题例5．已知向量，若，则___________.变式1：已知O为坐标原点，，，若，则实数m的值为______．变式2：已知向量，，若，则实数（

）A． B． C． D．变式3：设向量，，如果，，那么（

）A． B． C． D．变式4：已知向量，的夹角为，且，若，则______.考点三：平面向量的模长问题例6．已知向量的夹角为，，则（

）A． B． C． D．7变式1：已知向量，，则（

）A． B．2 C． D．变式2：已知向量，，且，则为（

）A． B． C． D．变式3：若平面向量两两的夹角相等且不为，且，，则____________例7．已知向量，，若，则________．变式1：已知向量，满足，，，则实数______．变式2：已知向量，，若，则的值是（

）A．2 B． C．4 D．例8．已知平面向量满足，则的最小值为___________.变式1：已知向量，的夹角为，且，则的最小值是__________.变式2：已知向量，的夹角为，，则的最大值为（

）A． B． C． D．考点四：平面向量的夹角问题例9:在中，，，，D是AC的中点，则与的夹角为______．变式1：设，，则向量，的夹角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°变式2：已知向量，，，则向量与的夹角为______．变式3：若非零向量满足，则向量与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．变式4：已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（

）A． B． C． D．例10．已知向量，，且与的夹角为，则______.变式1：已知向量，，，，则___________．例11．已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是______．变式1：已知向量，则“”是“与夹角为锐角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件变式2：已知平面向量，满足，，.（1）求；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.变式3：设两个向量满足，.(1)若，求的夹角；(2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.考点五：平面向量的投影、投影向量例12．已知向量，，则在方向上的投影是_______________.变式1：已知点，，，，则向量在方向上的数量投影为______．变式2：设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．变式3：已知非零向量，满足，且则向量在向量上的投影为______.变式4：已知，．若在方向上的数量投影为3，则实数______．例13．已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．变式1：已知，则向量在向量上的投影向量为__________．变式2：已知向量，且，则__________，在方向上的投影向量的坐标为__________.1．已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．22．已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．53．已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．64．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．5．已知向量，若，则__________．6．若向量满足，则_________.1．已知向量，满足，，则（

）A． B． C． D．2．若向量满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．3．在四边形中，，且，那么四边形ABCD为（

）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形4．已知和是两个正交单位向量，，且，则（

）A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或45．已知平面向量与的夹角为，若，，则（

）A．2 B．3 C． D．46．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（

）．A． B． C． D．47．已知向量是非零向量，λ、，则“”是“”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知，满足，与的夹角为，记，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．9．【多选】已知单位向量的夹角为，则使为钝角的一个充分条件是（

）A． B．C． D．10．【多选】如图，矩形中，，若，点分别为边的中点，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．11．【多选】下列说法正确的是（

）A．向量与共线是四点共线的必要不充分条件B．若，则存在唯一实数使得C．已知，，则与+的夹角为锐角的充要条件是D．在中，为的中点，若，则是在上的投影向量12．已知，则在方向上的数量投影为_______．13．如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为_______.

第01讲平面向量的数量积及其应用5种常见考法归类1．理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积；2．了解平面向量投影的概念及投影向量的意义；3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；4．能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角；1.向量数量积的定义(1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.(2)向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，我们说a与b垂直，记作a⊥b.(3)向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2.向量的投影(1)定义：如图，设a，b是两个非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，作如下的变换：过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，则称上述变换为向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量.(2)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.注：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．3.平面向量数量积的几何意义的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．4.向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.注：任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量上的投影的数量. (2)a⊥b⇔a·b＝0.注：可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模.(4)．注：夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两平面的夹角.(5)．注：可用于解决有关“向量不等式”的问题.5.向量数量积运算的运算律对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6.数量积的坐标表示已知非零向量，，为向量、的夹角．结论几何表示坐标表示模数量积夹角的充要条件的充要条件与的关系(当且仅当时等号成立)7.数量积的有关结论(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(3)a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0.1、向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为）(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．2、求向量模的一般思路及常用公式(1)求向量模的常见思路(2)常用公式①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2；②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.3、解决向量垂直问题一般思路解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b⇔,a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.4、求向量a，b的夹角θ的思路(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．5、解决向量投影问题应注意以下三点(1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cosθe(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．(2)向量a在b方向上的投影向量eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).(3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cosθeq\f(a,|a|).6、数量积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则①a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).②a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.③eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1x2＋y1y2))≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).④设θ是a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).考点一：平面向量的数量积运算例1．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（

）A． B． C．12 D．72【答案】A【分析】运用平面向量的数量积运算可求得结果.【详解】因为，且与夹角的余弦值为，所以.故选：A.变式1：已知，，均为单位向量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将原等式转化为，平方后化简即可求解.【详解】,,,，，，均为单位向量，，.故选：C变式2：已知，，与的夹角为．求：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)3(2)(3)【分析】（1）根据平面向量数量积的定义即可得到答案；（2）将式子展开化简，结合向量的模和数量积即可得到答案；（3）先将化为，进而展开化简可得答案.【详解】（1）因为，，与的夹角为，所以；（2）由（1），所以；（3）由（1），所以.例2．在边长为6的正中，若点满足，则__________.【答案】【分析】以、作为一组基底表示出、，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】因为，所以，，所以.故答案为：变式1：在中，，点D在上，，，则（）A．8 B．10 C．12 D．16.【答案】C【分析】用表示出，从而根据数量积的定义及题中条件和可求出的值.【详解】在中，因为，所以，所以.故选：C．变式2：已知等边的边长为是边上的中点，则__________．【答案】【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的定义进行求解即可.【详解】因为是边上的中点，所以，因此故答案为：变式3：在中，，是边上的中线，且，，则（

）A． B．5 C． D．8【答案】B【分析】由题意，根据三角形的性质，结合向量的加法几何意义以及数量积的运算律，可得答案.【详解】由题意如图所示：由，所以又，所以为的中点，所以，所以，故选：B．例3．在平行四边形中，若，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量加法与减法的坐标运算求出和的坐标，再根据数量积运算即可求解.【详解】因为，所以，从而，所以．故选：A变式1：在边长为3的正方形ABCD中，点E满足，则（

）A．3 B． C． D．4【答案】A【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到，，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴，建立如图所示直角坐标系，由题意得，所以，，所以.故选：A.变式2：在边长为2的正三角形中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，利用数量积运算求解.【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：则设，则，因为，所以，解得，即，则，所以，故选：D变式3：【多选】如图，在直角梯形ABCD中，，，，是的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】建立平面直角坐标系，得到点的坐标，利用坐标法计算可得.【详解】如图建立平面直角坐标系，则，对A，，正确；对B，，，正确；对C，，正确；对D，，，错误.故选：ABC.例4．在四边形ABCD中，，作于点H．若，则（

）A． B．10 C． D．12【答案】D【分析】设AC与BD交于点O，由已知可得，则，且即可求结果.【详解】设AC与BD交于点O，因为，所以．又于点H，且，所以，所以．故选：D变式1：如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______【答案】【分析】易得，再由表示在上的投影求解.【详解】解：由正六边形的性质得：，则，，，而表示在上的投影，当点P在C处时，投影最大为，当点P在F处时，投影最小为0，所以的取值范围为，故答案为：变式2：在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为______.【答案】【分析】利用数量积的几何意义去求的取值范围即可解决.【详解】正六边形ABCDEF中，过点B作于，则又即，故的取值范围为故答案为：考点二：平面向量的垂直问题例5．已知向量，若，则___________.【答案】9【分析】由数量积等于0并结合数量积的坐标运算公式即可求解.【详解】由题意可得，因为，则，解得.故答案为：9变式1：已知O为坐标原点，，，若，则实数m的值为______．【答案】【分析】由题设得，应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值即可.【详解】由题设，又，所以，可得.故答案为：变式2：已知向量，，若，则实数（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量坐标的加减法运算，及向量垂直的坐标表示，即可求出.【详解】由题可知，，，则，由于，则，即：，解得：.故选：D变式3：设向量，，如果，，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的垂直关系得到向量的数量积为，再将，分别用坐标表示出来，最后根据坐标形式下的向量垂直对应的关系式求解出的值.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，所以，又，所以故选：C变式4：已知向量，的夹角为，且，若，则______.【答案】##【分析】根据已知可得，代入即可求得的值.【详解】由已知可得，，，，因为，所以，即，解得.故答案为：.考点三：平面向量的模长问题例6．已知向量的夹角为，，则（

）A． B． C． D．7【答案】C【分析】根据向量的数量积的定义及运算性质求解.【详解】因为向量的夹角为，，所以，所以．故选：C变式1：已知向量，，则（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】求出，求模即可.【详解】∵，，∴，∴.故选：C.变式2：已知向量，，且，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出、的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，求出参数的值，最后根据向量模的坐标表示计算可得.【详解】因为，，所以，，又，所以，解得，所以，则.故选：A变式3：若平面向量两两的夹角相等且不为，且，，则____________【答案】【分析】首先确定两两的夹角为，根据平面向量数量积的定义和运算律可求得，进而可得.【详解】两两的夹角相等且不为，两两的夹角为，，，，.故答案为：.例7．已知向量，，若，则________．【答案】【分析】根据向量模的展开计算，得出，从而进一步利用向量的线性计算求解.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，解得，故答案为：.变式1：已知向量，满足，，，则实数______．【答案】1【分析】根据平面向量的坐标的线性运算求得，根据向量的模的坐标运算列方程即可得实数的值.【详解】解：已知向量，满足，，所以，则，解得.故答案为：1.变式2：已知向量，，若，则的值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】直接求出与的坐标，根据模相等即可解得的值.【详解】由已知可得，，，因为，所以，解得，.故选：C.例8．已知平面向量满足，则的最小值为___________.【答案】0【分析】根据数量积的定义确定的范围，在根据向量模与数量积的关系可得的范围，即可得的最小值.【详解】解：因为平面向量满足，又，所以，则，由，则，故，则的最小值为0.故答案为：0.变式1：已知向量，的夹角为，且，则的最小值是__________.【答案】【分析】，展开计算得，根据，则得到其最小值.【详解】.因为,所以，当且仅当时取等号，所以,则的最小值是.故答案为：.变式2：已知向量，的夹角为，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，由已知条件得，把等式改写为关于的方程，方程有解，判别式，可求的最大值.【详解】向量，的夹角为，，则有，设，，∴，即，存在，方程有解，则有，解得，则的最大值为.故选：B考点四：平面向量的夹角问题例9:在中，，，，D是AC的中点，则与的夹角为______．【答案】【分析】根据向量的夹角的定义求解．【详解】如图，中，，所以，而，，，所以，是的中点，则，，所以与的夹角等于．故答案为：．变式1：设，，则向量，的夹角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【分析】根据题意和平面向量的几何意义与数量积的坐标表示求出，结合平面向量的数量积的定义计算即可求解.【详解】由题意知，，设与的夹角为，则，所以.故选：B.变式2：已知向量，，，则向量与的夹角为______．【答案】【分析】由可得，，后由向量夹角的坐标表示可得答案.【详解】，则，则，又，则故答案为：.变式3：若非零向量满足，则向量与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，根据可得,代入化简求解夹角余弦值即可.【详解】设与的夹角为，因为，所以，..故选：D.变式4：已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量的几何意义，列出方程求出与夹角的余弦值，即可得出夹角大小.【详解】记向量与向量的夹角为，在上的投影为.在上的投影为，，，.故选：B.例10．已知向量，，且与的夹角为，则______.【答案】【分析】依据向量数量积列出关于x的方程，解之即可求得x的值.【详解】向量，，则，又与的夹角为，则，解之得或（舍）故答案为：变式1：已知向量，，，，则___________．【答案】##【分析】根据平面向量夹角公式进行求解即可.【详解】因为向量，，，所以，因为，所以有，故答案为：例11．已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是______．【答案】【分析】由，求得，再设，求得，进而得到的取值范围.【详解】因为向量，，由，可得，解得，设，可得，即，解得，此时向量与共线，所以当与的夹角是锐角时，则满足或，所以的取值范围是.故答案为：.变式1：已知向量，则“”是“与夹角为锐角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量数量积的定义及坐标表示，由题设条件间的推出关系，结合充分、必要条件即可得答案.【详解】由题设：当时，，，注意当时，，故充分性不成立.当与的夹角为锐角时，，解得.故必要性成立.故选：B.变式2：已知平面向量，满足，，.（1）求；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)由给定条件求出，再根据向量模的计算公式即可得解；(2)根据向量夹角为锐角借助数量积列出不等关系即可作答.【详解】（1）依题意，，得，，所以；（2）由向量与的夹角为锐角，可得，即有，解得，而当向量与同向时，可知，综上所述的取值范围为.变式3：设两个向量满足，.(1)若，求的夹角；(2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再求出，即可得解；（2）由向量与的夹角为钝角，可得，注意排除相反向量这一情况.【详解】（1）解：由，得,又,所以，所以，又因为,所以的夹角为；（2）解：由已知得，则，因为向量与的夹角为钝角,所以,解得，设,则,无解,故两个向量的夹角不可能为,所以向量与的夹角为钝角时,的取值范围为.考点五：平面向量的投影、投影向量例12．已知向量，，则在方向上的投影是_______________.【答案】【分析】根据向量投影的知识求得正确答案.【详解】在方向上的投影是.故答案为：变式1：已知点，，，，则向量在方向上的数量投影为______．【答案】【分析】先求得向量，的坐标，再根据数量投影的定义即可求得答案.【详解】，所以向量在方向上的数量投影为.故答案为：.变式2：设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用投影向量的计算公式求解．【详解】解：，，在方向上的投影向量.故选：A.变式3：已知非零向量，满足，且则向量在向量上的投影为______.【答案】##0.5【分析】根据向量数量积的性质由，可得，再根据投影的概念计算即可.【详解】解：因为，所以，所以，又，所以向量在向量上的投影为.故答案为：.变式4：已知，．若在方向上的数量投影为3，则实数______．【答案】【分析】由在方向上的投影为，代入计算即可得到答案．【详解】由题意知，，因为在方向上的投影为，所以，解得.故答案为：例13．已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量的线性运算可得，可求得，即可利用投影向量得出答案.【详解】∵，，且，∵，∴，，∴在方向上的投影向量为，故选：D．变式1：已知，则向量在向量上的投影向量为__________．【答案】##【分析】由题知，进而根据投影向量的概念求解即可.【详解】解：因为所以，解得，所以，向量在向量上的投影向量为故答案为：变式2：已知向量，且，则__________，在方向上的投影向量的坐标为__________.【答案】

【分析】①根据平面向量垂直的判定条件求解的值即可；②首先根据投影的计算公式求出在方向上的投影，进而求出在方向上的投影向量.【详解】①已知，，由于，所以，解得；②由①知：，，得，则，，故在方向上的投影为，得在方向上的投影向量为.故答案为：；1．已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵，又∵∴9，∴故选：C.2．已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D3．已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：,,即,解得,故选：C4．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．【答案】【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．5．已知向量，若，则__________．【答案】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为，所以由可得，，解得．故答案为：．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，，注意与平面向量平行的坐标表示区分．6．若向量满足，则_________.【答案】【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案【详解】∵∴∴.故答案为：.1．已知向量，满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量数量积的运算律直接计算.【详解】由，，得，故选：D.2．若向量满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面垂直向量和向量数量积的定义可得，即可求解.【详解】因为，所以，得，又，所以.故选：A．3．在四边形中，，且，那么四边形ABCD为（

）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】C【分析】结合向量运算以及平行四边形、矩形、菱形、正方形等知识，确定正确答案.【详解】由，可得四边形ABCD是平行四边形．由，，所以，所以四边形ABCD为菱形．故选：C4．已知和是两个正交单位向量，，且，则（

）A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4【答案】B【分析】根据题意得到，，求得，集合向量模的计算公式，列出方程，即可求解.【详解】因为和是正交单位向量，，，可得，所以，解得或.故选：B．5．已知平面向量与的夹角为，若，，则（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】D【分析】由两边平方化简可求得答案【详解】由平方可得，因为，平面向量与的夹角为，所以即，解得或（舍去），故选：D6．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最