第01讲复数(原卷版+解析)

第01讲复数题型一：虚数单位及其性质典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）已知为虚数单位，则（

）A． B． C．1 D．例题2．（2023下·全国·高一专题练习）复数（

）A．1+2i B．1-2i C．-1 D．3精练核心考点1．（2023·高一课时练习）计算：．2．（2023·江苏·高一专题练习）已知i为虚数单位，则．题型二：复数的概念典型例题例题1．（2023下·河北邢台·高一统考期中）复数，则（

）A．的实部为 B．的虚部为C．的实部为 D．的虚部为例题2．（多选）（2023下·高一课时练习）（多选）下列说法不正确的是（

）A．复数的虚部是 B．形如的数一定是虚数C．若，，则是纯虚数 D．若两个复数能够比较大小，则它们都是实数精练核心考点1．（2023下·湖北·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校联考阶段练习）已知为虚数单位，复数的虚部与实部互为相反数，则实数（

）A． B． C．1 D．22．（2023下·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）已知为虚数单位，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数C．可能是实数 D．复数的虚部是题型三：复数的实部和虚部典型例题例题1．（2023下·重庆江北·高一重庆十八中校考期中）i为虚数单位，则复数的虚部为（

）A．－2i B．－2 C．2 D．2i例题2．（2023·陕西·统考二模）若复数为纯虚数，则a的值为（

）A．-1 B．1 C．0或1 D．-1或1例题3．（2023下·重庆万州·高一校考阶段练习）已知为虚数单位，则复数的虚部是（

）A．－1 B．1 C． D．精练核心考点1．（2023上·北京海淀·高三中央民族大学附属中学校考阶段练习）复数的虚部是（

）A．1 B． C．3 D．2．（2023下·浙江绍兴·高一绍兴市稽山中学校考期中）设，则复数的虚部为（

）A． B．2 C． D．题型四：复数相等问题典型例题例题1．（2023下·河南商丘·高一校考阶段练习）适合的实数x、y的值为（

）A．且 B．且C．且 D．且例题2．（2023下·河南商丘·高一校考阶段练习）已知x、，若，则．例题3．（2023·全国·高三专题练习）若，则，.精练核心考点1．（2023下·浙江台州·高一校联考期中）若a，，i是虚数单位，且，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·全国·高一专题练习）已知复数的实部大于虚部，则的取值范围为．题型五：已知复数类型求参数典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）设m为实数，已知复数为纯虚数，则m的值为（

）A．0或1 B．1或-2 C．0 D．-2例题2．（2024·全国·高一假期作业）实数取什么数值时，复数分别是：(1)实数？(2)纯虚数？例题3．（2023·全国·高一随堂练习）求实数的值，使复数分别是：(1)实数；(2)纯虚数；(3)零．精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）若复数为纯虚数，则实数的值为（

）A．2 B．2或 C． D．2．（2024·全国·高一假期作业）实数m取什么值时，复数是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？3．（2023下·河北邯郸·高一统考期中）已知复数.(1)若z为实数，求m的值.(2)若z为纯虚数，求m的值.题型六：实轴、虚轴上对应点的复数典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为.例题2．（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，若复数对应的点：（1）在虚轴上；（2）在第二象限；（3）在的图象上，分别求实数的取值范围．例题3．（2023·全国·高一专题练习）已知复数在复平面上对应的点为Z，(1)求点Z在实轴上时，实数m的取值；(2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值；(3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围.精练核心考点1．（2023下·陕西西安·高一校考期中）在复平面内，若复数对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第三象限．2．（2023·高一课时练习）当实数m取何值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件．(1)位于虚轴上；(2)位于第二象限；(3)位于直线上．3．（2023·全国·高一随堂练习）若复数对应的点在虚轴上，求实数应满足的条件．题型七：复数的模典型例题例题1．（2024上·江苏扬州·高二统考学业考试）已知复数（是虚数单位），则为（

）A． B．1 C．2 D．3例题2．（2024上·河南洛阳·高三河南省偃师高级中学校考阶段练习）已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（

）A． B． C．1 D．2例题3．（2024·全国·高一假期作业）已知纯虚数满足，则．精练核心考点1．（2024·全国·高一假期作业）若，其中a，，是虚数单位，则（

）A．2 B． C．3 D．52．（2024下·全国·高一专题练习）在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则（

）A． B． C．2 D．3．（2024·全国·高一假期作业）复数的模．题型八：与复数模相关的轨迹问题典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）设复数满足，则的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8例题2．（2024·江西抚州·临川一中校考一模）已知复平面上一个动点Z对应复数z，若，其中i是虚数单位，则向量扫过的面积为．精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）已知为虚数单位，且，则的最大值是．2．（2024·全国·高三专题练习）设复数满足，在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为.题型九：判断复数对应点所在象限典型例题例题1．（2024·四川南充·统考一模）当时，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知复数z满足，则在复平面内复数z对应的点在（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例题3．（2024·全国·高一假期作业）已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点在第象限．精练核心考点1．（2024下·全国·高一专题练习）在复平面内，表示复数的点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2024·全国·高三专题练习）复数(其中，为虚数单位)，若复数的共轭复数的虚部为，则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2024·全国·高一假期作业）当时，复数在复平面内的对应点位于第象限．题型十：复数的四则运算典型例题例题1．（2024上·山东聊城·高三统考期末）设，则（

）A．1 B． C． D．例题2．（2024上·浙江湖州·高三统考期末）已知复数满足（为虚数单位），则（

）A．8 B．6 C． D．例题3．（2024上·辽宁沈阳·高三沈阳实验中学校联考期末），则的共轭复数等于（

）A． B． C． D．例题4．（多选）（2024上·云南·高三校联考阶段练习）若复数，则（

）A．的共轭复数 B．C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第四象限精练核心考点1．（2024·山西晋城·统考一模）设在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（

）A． B．C． D．2．（2024·全国·模拟预测）若，则等于（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·高三专题练习）若复数，，则（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·高一假期作业）已知复数，，为虚数单位.(1)求及；(2)若，求的共轭复数.第01讲复数题型一：虚数单位及其性质典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）已知为虚数单位，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根据的次方运算的周期性可得答案.【详解】，故选：A例题2．（2023下·全国·高一专题练习）复数（

）A．1+2i B．1-2i C．-1 D．3【答案】C【分析】根据复数中代入计算即可.【详解】故选：C.精练核心考点1．（2023·高一课时练习）计算：．【答案】【分析】利用虚数单位的性质即可得解.【详解】因为，所以，，，，又，所以是以为周期，且每个周期内的和为，又，所以.故答案为：.2．（2023·江苏·高一专题练习）已知i为虚数单位，则．【答案】i【分析】根据虚数单位的定义，可得，，，，根据其周期性，可得每一项结果，可得答案.【详解】由，，，，得．故答案为：i.题型二：复数的概念典型例题例题1．（2023下·河北邢台·高一统考期中）复数，则（

）A．的实部为 B．的虚部为C．的实部为 D．的虚部为【答案】B【分析】根据复数的概念求解.【详解】因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误；的虚部为，B正确，D错误.故选：B.例题2．（多选）（2023下·高一课时练习）（多选）下列说法不正确的是（

）A．复数的虚部是 B．形如的数一定是虚数C．若，，则是纯虚数 D．若两个复数能够比较大小，则它们都是实数【答案】AB【分析】根据复数的相关概念逐一判断即可.【详解】复数的虚部是3，故A中说法不正确；形如的数不一定是虚数，例如，当，时，不是虚数，故B中说法不正确；只有当，，即时，是纯虚数，故C中说法正确；因为虚数不能比较大小，所以若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故D中说法正确.故选：AB.精练核心考点1．（2023下·湖北·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校联考阶段练习）已知为虚数单位，复数的虚部与实部互为相反数，则实数（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】由复数虚部，实部定义可得答案.【详解】由题，，则．故选：B2．（2023下·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）已知为虚数单位，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数C．可能是实数 D．复数的虚部是【答案】C【分析】根据复数的概念即可求解.【详解】A.，说法不正确；B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；C.当时，是实数，说法正确；D.复数的虚部是1，说法不正确.故选：.题型三：复数的实部和虚部典型例题例题1．（2023下·重庆江北·高一重庆十八中校考期中）i为虚数单位，则复数的虚部为（

）A．－2i B．－2 C．2 D．2i【答案】C【分析】先化简复数，然后由复数的基本概念求解即可.【详解】，所以其虚部为：.故选：C.例题2．（2023·陕西·统考二模）若复数为纯虚数，则a的值为（

）A．-1 B．1 C．0或1 D．-1或1【答案】B【分析】纯虚数只需让复数的实部为0，虚部不为0，因此可以对应列式，解出即可.【详解】由，解得，故选：B.例题3．（2023下·重庆万州·高一校考阶段练习）已知为虚数单位，则复数的虚部是（

）A．－1 B．1 C． D．【答案】A【分析】根据复数虚部定义可直接得到答案.【详解】因为复数，所以其虚部为故选：精练核心考点1．（2023上·北京海淀·高三中央民族大学附属中学校考阶段练习）复数的虚部是（

）A．1 B． C．3 D．【答案】D【分析】根据复数的虚部的定义即可得解.【详解】复数的虚部是.故选：D.2．（2023下·浙江绍兴·高一绍兴市稽山中学校考期中）设，则复数的虚部为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】直接根据复数虚部的定义进行求解即可.【详解】复数的虚部为，故选：A题型四：复数相等问题典型例题例题1．（2023下·河南商丘·高一校考阶段练习）适合的实数x、y的值为（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【分析】根据复数相等的定义，联立关于x、y的方程组求解即可．【详解】根据复数相等的定义可得，，解得.故选：A．例题2．（2023下·河南商丘·高一校考阶段练习）已知x、，若，则．【答案】2【分析】根据相等复数的概念列出方程组，解之即可求解.【详解】由题意，得，所以.故答案为：2.例题3．（2023·全国·高三专题练习）若，则，.【答案】4【分析】由复数相等可得实部与实部相等，虚部与虚部相等，列式求解即可.【详解】由得

，故答案为：4；-2.精练核心考点1．（2023下·浙江台州·高一校联考期中）若a，，i是虚数单位，且，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据复数相等的充要条件列出方程，求解即可得出答案.【详解】根据复数相等的充要条件可得，解得，所以，.故选：D.2．（2023·全国·高一专题练习）已知复数的实部大于虚部，则的取值范围为．【答案】【分析】由题可得，即得.【详解】由已知可得，即，解得或．因此，的取值范围是．故答案为：．题型五：已知复数类型求参数典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）设m为实数，已知复数为纯虚数，则m的值为（

）A．0或1 B．1或-2 C．0 D．-2【答案】C【分析】根据复数为纯虚数列方程计算求解即可.【详解】复数为纯虚数,,故选:C.例题2．（2024·全国·高一假期作业）实数取什么数值时，复数分别是：(1)实数？(2)纯虚数？【答案】(1)或(2)【分析】（1）令虚部等于，即可求出值；（2）令实部为，虚部不为，即可求出值.【详解】（1）由已知得,其中复数的实部为，虚部为，当时，即或时复数为实数.（2）当，即，即时，复数为纯虚数.例题3．（2023·全国·高一随堂练习）求实数的值，使复数分别是：(1)实数；(2)纯虚数；(3)零．【答案】(1)或(2)(3)【分析】（1）根据虚部为得到方程，解得即可；（2）根据实部为，且虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可；（3）由实部，虚部均为得到方程组，解得即可.【详解】（1）复数的实部为，虚部为，所以复数为实数，则，解得或.（2）若复数为纯虚数，则，解得；（3）若复数为，则，解得；精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）若复数为纯虚数，则实数的值为（

）A．2 B．2或 C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答.【详解】因为复数为纯虚数，则有，解得，所以实数的值为.故选：C2．（2024·全国·高一假期作业）实数m取什么值时，复数是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据复数是实数，则求解；（2）根据复数是虚数，则求解；（3）根据复数是纯虚数，则求解；【详解】（1）当，即时，复数z是实数．（2）当，即时，复数z是虚数．（3）当且，即时，复数z是纯虚数．3．（2023下·河北邯郸·高一统考期中）已知复数.(1)若z为实数，求m的值.(2)若z为纯虚数，求m的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据复数表示实数的条件列方程求参数m即可.（2）根据复数表示纯虚数的条件列方程或不等式求参数m即可.【详解】（1）由题意得，得，即.（2）由题意得，得，即.题型六：实轴、虚轴上对应点的复数典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为.【答案】【分析】根据复平面的概念以及复数的坐标表示列式可求出结果.【详解】因为为实数，且复数在复平面内对应的点位于虚轴上，所以，解得或.故答案为：.例题2．（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，若复数对应的点：（1）在虚轴上；（2）在第二象限；（3）在的图象上，分别求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）；（3）．【分析】根据复数的定义与性质根据已知列式得出答案；（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案；（2）当复数在第二象限时，其实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案；（3）当复数在的图象上时，其实部等于虚部，列式即可解出答案.【详解】复数的实部为，虚部为．（1）由题意得，解得或；（2）由题意，得，解得；（3）由已知得，解得．例题3．（2023·全国·高一专题练习）已知复数在复平面上对应的点为Z，(1)求点Z在实轴上时，实数m的取值；(2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值；(3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围.【答案】(1)或；(2)或；(3)或.【分析】（1）由实轴上点对应的复数虚部为0求解；（2）由虚轴上的点对应的实部为0求解；（3）根据第一象限中点的坐标对应实部、虚部正负列不等式组求解.【详解】（1）因为点Z在实轴上，所以虚部，解得或.（2）点Z在虚轴上时,复数的实部为0，所以，解得或.（3）点Z在第一象限，复数的实部与虚部都大于0，即，解得或.精练核心考点1．（2023下·陕西西安·高一校考期中）在复平面内，若复数对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第三象限．【答案】(1)或(2)【分析】（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案；（2）当复数在第三象限时，其实部小于0，虚部小于0，列式即可解出答案；【详解】（1）复数的实部为，虚部为．由题意得，解得或；（2）由题意，得，解得.2．（2023·高一课时练习）当实数m取何值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件．(1)位于虚轴上；(2)位于第二象限；(3)位于直线上．【答案】(1)或.(2).(3)或.【分析】（1）根据实部为0可求实数m的值.（2）根据实部为负，虚部为正可求实数m的取值范围.（3）根据复数对应的点在直线上可求实数m的值.【详解】（1）因为表示复数的点在虚轴上，故，故或.（2）因为表示复数的点位于第二象限，故，故.（3）因为表示复数的点位于位于直线上，故即故或.3．（2023·全国·高一随堂练习）若复数对应的点在虚轴上，求实数应满足的条件．【答案】a＝0或2【分析】y轴为虚轴，虚轴上的数，实部为零，据此即可求解.【详解】∵复数对应的点在虚轴上，∴，解得或.题型七：复数的模典型例题例题1．（2024上·江苏扬州·高二统考学业考试）已知复数（是虚数单位），则为（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据复数模长公式求出答案.【详解】.故选：A例题2．（2024上·河南洛阳·高三河南省偃师高级中学校考阶段练习）已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】设，，根据复数模的计算公式得到方程，解得即可.【详解】设，，则，因为，所以，则，解得，所以复数的虚部为.故选：C例题3．（2024·全国·高一假期作业）已知纯虚数满足，则．【答案】2【分析】设，根据复数模的定义得，解出值即可得到答案.【详解】设，则，则，即舍去或，所以．故答案为：．精练核心考点1．（2024·全国·高一假期作业）若，其中a，，是虚数单位，则（

）A．2 B． C．3 D．5【答案】B【分析】利用复数相等的条件，求出，由复数模的公式计算.【详解】若，即，得，解得，所以．故选：B2．（2024下·全国·高一专题练习）在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根据模长公式求得，又复数z所对应的点位于第四象限，则，即可求解【详解】由复数的模的定义及，得，解得．又在复平面内，复数z所对应的点位于第四象限，∴，∴，故选：D．3．（2024·全国·高一假期作业）复数的模．【答案】【分析】利用复数的模公式求解.【详解】复数的模，故答案为：．题型八：与复数模相关的轨迹问题典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）设复数满足，则的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】设复数，根据题意得到，得到复数对应的点的轨迹为为圆心半径为的圆，进而求得的最大值.【详解】设复数，可得，所以，所以复数对应的点的轨迹为为圆心半径为的圆，所以的最大值是．故选：B.

例题2．（2024·江西抚州·临川一中校考一模）已知复平面上一个动点Z对应复数z，若，其中i是虚数单位，则向量扫过的面积为．【答案】【分析】根据题意，利用复数的几何意义，得到复数表示以为圆心，以为半径的圆的圆面，过原点作圆的切线，切点为，结合三角形和扇形的面积公式，即可求解.【详解】因为，根据复数的几何意义，可得复数表示以为圆心，以为半径的圆的圆面，如图所示，过原点作圆的切线，切点为，在直角中，可得，所以，且，所以，所以复数向量扫过的面积为.故答案为：.精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）已知为虚数单位，且，则的最大值是．【答案】/【分析】利用复数模长的几何意义可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，根据几何意义为点到坐标原点的距离，结合圆的知识即可得解.【详解】依题意，设，由，得，则，其几何意义为：对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，因为的几何意义为点到坐标原点的距离，所以.故答案为：.2．（2024·全国·高三专题练习）设复数满足，在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为.【答案】【分析】由题意，由根据复数模的运算可得.【详解】因为在复平面内对应的点为，所以，由得，所以，即，所以点的轨迹方程为，故答案为：题型九：判断复数对应点所在象限典型例题例题1．（2024·四川南充·统考一模）当时，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据题意，得到，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由，可得，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知复数z满足，则在复平面内复数z对应的点在（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】设出复数z的代数形式，再利用复数相等求出复数z即可作答.【详解】设，，则，由得：，即，于是得，解得，则有对应的点为，所以在复平面内复数z对应的点在第一象限.故选：A例题3．（2024·全国·高一假期作业）已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点在第象限．【答案】一【分析】设复数，其中，根据，列出方程组求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】设复数，其中，因为，可得，可得，解得，所以，可得，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限.故答案为：一.精练核心考点1．（2024下·全国·高一专题练习）在复平面内，表示复数的点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】复数在复平面内对应的点为，得到答案.【详解】复数在复平面内对应的点为，该点所在象限为第四象限，故选：D2．（2024·全国·高三专题练习）复数(其中，为虚数单位)，若复数的共轭复数的虚部为，则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先化简复数z，再求得其共轭复数，令其虚部为，解得，代入求解即可.【详解】由题意得，∴，又复数的共轭复数的虚部为，∴，解得.∴，∴复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.【点睛】本题考查