第01讲4.1指数+4.2指数函数(原卷版+解析)

第01讲4.1指数+4.2指数函数目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查根式的化简(求值) 1题型二：重点考查条件求值 2题型三：重点考查指数型函数图象过定点问题 4题型四：重点考查指数函数图象的识别 5题型五：重点考查利用指数函数的单调性解不等式 7题型六：重点考查指数型复合函数的单调性 8题型七：重点考查与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 9题型八：重点考查可化为一元二次函数型 10题型九：重点考查与指数函数的相关的综合问题 12题型一：重点考查根式的化简(求值)典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．例题2．（2023·全国·高一专题练习）化简下列各式．（1）＝；（2）＝.例题3．（2023·全国·高一专题练习）化简().精练核心考点1．（多选）（2023秋·甘肃兰州·高一统考期中）若，化简的结果可能为（

）A． B． C． D．2．（2023·上海·高一专题练习）.3．（2023秋·江苏·高一专题练习）计算或化简：(1)；(2).题型二：重点考查条件求值典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知，则．例题2．（2023秋·江苏·高一专题练习）（1）计算：；（2）已知，求的值.例题3．（2023·江苏·高一专题练习）化简，求值：(1)已知，求的值；(2)已知，求的值；(3)已知，求值．精练核心考点1．（2023秋·江苏南京·高一南京市第九中学校考阶段练习）（1）求的值；（2）已知，求的值．2．（2023·全国·高一专题练习）已知，求.3．（2023·全国·高一随堂练习）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.题型三：重点考查指数型函数图象过定点问题典型例题例题1．（2023秋·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期中）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（

）A． B． C． D．例题2．（2023·上海·高一专题练习）函数且的图象必经过点．例题3．（2023·江苏·高一专题练习）函数的图象恒过点，值域为．精练核心考点1．（2023秋·宁夏银川·高三银川唐徕回民中学校考阶段练习）已知函数（，）恒过定点，则函数的图像不经过第象限.2．（2023春·甘肃白银·高一统考开学考试）若函数（，且）的图象过定点，则的坐标为.3．（2023春·湖南株洲·高一统考开学考试）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是.题型四：重点考查指数函数图象的识别典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（）A． B．C． D．例题2．（2023·全国·高一专题练习）函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

例题3．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）已知指数函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（

）

A．

B．

C．

D．

3．（2023·全国·高一专题练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

题型五：重点考查利用指数函数的单调性解不等式典型例题例题1．（2023·上海·高一专题练习）不等式的解集为.例题2．（2023秋·高一课时练习）函数的定义域为；例题3．（2023·全国·高一随堂练习）求使下列不等式成立的实数的集合：(1)；(2)．精练核心考点1．（2023·江苏·高一专题练习）不等式的解集为．2．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为.3．（2023·上海·高一专题练习）不等式的解集为.题型六：重点考查指数型复合函数的单调性典型例题例题1．（2023秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）设函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A． B．C． D．例题2．（2023秋·福建南平·高三南平市建阳第二中学校考阶段练习）函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．例题3．（2023秋·江西·高二校联考开学考试）函数的单调递增区间为.精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·吉林辽源·高一辽源市第五中学校校考期中）函数在上单调递减，则t的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023·江苏·高一专题练习）函数的单调减区间为．题型七：重点考查与指数函数（指数型复合函数）有关的值域典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）函数，的值域是（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·吉林辽源·高一辽源市第五中学校校考期中）函数的值域为．例题3．（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）函数的值域是（）A． B．C． D．2．（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的值域．(1)；(2)；(3)．3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的图象经过点．(1)求的解析式；(2)求函数在区间上的值域．题型八：重点考查可化为一元二次函数型典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知关于的方程（）的根为负数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则其值域为.例题3．（2023秋·内蒙古鄂尔多斯·高一校联考期末）已知函数是指数函数.(1)求实数的值；(2)已知，，求的值域.例题4．（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数.(1)求的值；(2)若，求函数的最小值.精练核心考点1．（2023秋·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）当时，函数的值域为.2．（2023·上海·高一专题练习）函数的值域为.3．（2023秋·湖北十堰·高一房县第一中学校考阶段练习）已知定义在上的奇函数，当时的解析式为.(1)求在上的解析式；(2)求在上的最大值．4．（2023秋·甘肃酒泉·高三甘肃省酒泉中学校联考阶段练习）已知指数函数在其定义域内单调递增．(1)求函数的解析式；(2)设函数，当时．求函数的值域．题型九：重点考查与指数函数的相关的综合问题典型例题例题1．（2023秋·陕西西安·高三校考阶段练习）设为奇函数，且当时，.(1)求的解析式；(2)求时，函数的单调区间及值域例题2．（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）已知是指数函数，且其图象经过点为奇函数．(1)求函数的解析式；(2)函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值.例题3．（2023秋·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知，．(1)当，时，求函数的值域；(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．例题4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数．(1)若为奇函数，求的值；(2)在（1）的条件下，求的值域．精练核心考点1．（2023秋·浙江台州·高一统考期末）已知函数．对于任意的，都有．(1)请写出一个满足已知条件的函数；(2)判断函数的单调性，并加以证明；(3)若，求的值域．2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，.(1)求函数的值域；(2)若在上最小值为，求实数的值.3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数.(1)若，求的值域；(2)若，存在实数，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围.4．（2023秋·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期中）已知函数且的图象经过点．(1)求的值；(2)比较与的大小；(3)求函数的值域．

第01讲4.1指数+4.2指数函数目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查根式的化简(求值) 1题型二：重点考查条件求值 3题型三：重点考查指数型函数图象过定点问题 6题型四：重点考查指数函数图象的识别 8题型五：重点考查利用指数函数的单调性解不等式 11题型六：重点考查指数型复合函数的单调性 13题型七：重点考查与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 15题型八：重点考查可化为一元二次函数型 19题型九：重点考查与指数函数的相关的综合问题 23题型一：重点考查根式的化简(求值)典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项正确.故选：D.例题2．（2023·全国·高一专题练习）化简下列各式．（1）＝；（2）＝.【答案】【详解】（1）.（2）由题意，首先，即，从而，，，所以原式.故答案为：；例题3．（2023·全国·高一专题练习）化简().【答案】【详解】.精练核心考点1．（多选）（2023秋·甘肃兰州·高一统考期中）若，化简的结果可能为（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】由题意知，即，即，故或，则，故选：AC2．（2023·上海·高一专题练习）.【答案】1【详解】.3．（2023秋·江苏·高一专题练习）计算或化简：(1)；(2).【答案】(1)0(2)-7【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．题型二：重点考查条件求值典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知，则．【答案】【详解】由可得，即，又因为，即，可得即，所以．故答案为：例题2．（2023秋·江苏·高一专题练习）（1）计算：；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）原式==；（2）由，则，则则，即.例题3．（2023·江苏·高一专题练习）化简，求值：(1)已知，求的值；(2)已知，求的值；(3)已知，求值．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）依题意，可知，则，所以．（2）因为，两边平方后得所以（3），两边平方可得，所以．．所以=精练核心考点1．（2023秋·江苏南京·高一南京市第九中学校考阶段练习）（1）求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）3【详解】解：（1）.（2）由题意，，则∴，∵，∴，∴.2．（2023·全国·高一专题练习）已知，求.【答案】或【详解】解：因为，所以所以，又因为所以即或；3．（2023·全国·高一随堂练习）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）原式；（2）原式.题型三：重点考查指数型函数图象过定点问题典型例题例题1．（2023秋·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期中）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为是幂函数，所以，解得或．当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，故，此时，当时，，即的图象过定点．故选：A例题2．（2023·上海·高一专题练习）函数且的图象必经过点．【答案】【详解】因为当时，，所以函数且的图象必经过点，故答案为：例题3．（2023·江苏·高一专题练习）函数的图象恒过点，值域为．【答案】【详解】当，即时，为常数，此时，即函数的图象恒过点．又，所以，所以函数的值域为.故答案为：；精练核心考点1．（2023秋·宁夏银川·高三银川唐徕回民中学校考阶段练习）已知函数（，）恒过定点，则函数的图像不经过第象限.【答案】二【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点，即，此时，由于由向下平移五个单位得到，且过点，由此可知不过第二象限，故答案为：二.2．（2023春·甘肃白银·高一统考开学考试）若函数（，且）的图象过定点，则的坐标为.【答案】【详解】解：令，则，所以的坐标为.故答案为：3．（2023春·湖南株洲·高一统考开学考试）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是.【答案】【详解】在函数中，当，即时，，所以点P的坐标是.故答案为：题型四：重点考查指数函数图象的识别典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，则单调递增，故A、C错误；又因为过定点，故B错误；对于选项D：可知单调递减，则，所以与y轴交于0和1之间，故D正确.故选：D.例题2．（2023·全国·高一专题练习）函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】因为又，根据指数函数的性质知，时，函数为增函数，排除B、D；时，函数为减函数，排除A．故选：C．例题3．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】因为函数，且当时，，排除D选项；当时，在上单调递减，又，排除BC选项；对于A选项，当时，在上单调递减，当从0的右侧趋近于0时，趋近于1，符合题意.故选：A.精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）已知指数函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】由指数函数的图象和性质可知：，若均为正数，则，根据一次函数的图象和性质得此时函数图象过一、二、三象限，即C正确；若均为负数，则，此时函数过二、三、四象限，由选项A、D可知异号，不符合题意排除，选项B可知图象过原点则也不符合题意，排除.故选：C2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】函数的图象是由函数的图象向下或向上平移个单位得到的，由函数的图象可得函数为单调递减函数，则，令得，则，则函数的大致图象为A选项.故选：A.3．（2023·全国·高一专题练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【详解】当时，对应的图象可能为选项A；当时，对应的图象可能为选项C.故选：AC.题型五：重点考查利用指数函数的单调性解不等式典型例题例题1．（2023·上海·高一专题练习）不等式的解集为.【答案】【详解】原不等式可化为：根据指数函数是增函数得：解得：，故答案为：例题2．（2023秋·高一课时练习）函数的定义域为；【答案】【详解】由得：，，解得：，的定义域为.故答案为：.例题3．（2023·全国·高一随堂练习）求使下列不等式成立的实数的集合：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1），，，，不等式成立的实数的集合为；（2），，即，即，则，不等式成立的实数的集合为.精练核心考点1．（2023·江苏·高一专题练习）不等式的解集为．【答案】【详解】，因为函数是实数集上的增函数，所以由，因此原不等式的解集为，故答案为：2．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为.【答案】【详解】要使原式有意义需满足，即，由于函数是减函数，所以，故函数的定义域为.故答案为：.3．（2023·上海·高一专题练习）不等式的解集为.【答案】【详解】解：由题意可得：，即，，解得，所以原不等式的解集为：.故答案为：题型六：重点考查指数型复合函数的单调性典型例题例题1．（2023秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）设函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】函数在区间单调递增，则在上单调递减,所以，即．故选：D．例题2．（2023秋·福建南平·高三南平市建阳第二中学校考阶段练习）函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】函数是实数集上的减函数，因为二次函数的开口向下，对称轴为，所以二次函数在时单调递增，在时单调递减，由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间是，故选：C例题3．（2023秋·江西·高二校联考开学考试）函数的单调递增区间为.【答案】【详解】由题意知：的定义域为，令，则其在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增，根据复合函数单调性可知：的单调递增区间为.故答案为：.精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数在区间上是减函数，令，则函数在区间是增函数，所以，则.故选：B2．（2023秋·吉林辽源·高一辽源市第五中学校校考期中）函数在上单调递减，则t的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为函数在上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数在上单调递减，则，解得.故选：A3．（2023·江苏·高一专题练习）函数的单调减区间为．【答案】【详解】令，则，因为在上递增，在上递减，又因为在上递增，所以的单调减区间为，故答案为：题型七：重点考查与指数函数（指数型复合函数）有关的值域典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）函数，的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】函数，是由和，复合而成，因为对称轴为，开口向上，所以在单调递减，在单调递增，所以时，，时，，所以，因为在上单调递增，所以，所以函数，的值域是.故选：C.例题2．（2023秋·吉林辽源·高一辽源市第五中学校校考期中）函数的值域为．【答案】【详解】，故，即，解得：或，故值域为故答案为：例题3．（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)【答案】(1)定义域为R，值域为(2)定义域为R，值域为(3)定义域为R，值域为(4)定义域为，值域为(5)定义域为，值域为(6)定义域为，值域为【详解】（1）的定义域为R，值域为；（2）的定义域为R，值域为；（3）的定义域为R，值域为；（4）中分母不等于0，故的定义域为，由于，故，又，故值域为；（5）中分母不等于0，故，的定义域为，由于，故，又，的值域为（6）中中分母不等式0，故，的定义域为，由于，故，又，故的值域为.精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）函数的值域是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】令，则，在上单调递减，，又，的值域为.故选：B.2．（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的值域．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)且．(2)(3)【详解】（1）因为，所以，故定义域为．设，因为，所以．因为，，所以且，故值域为且．（2）函数，，所以定义域为．设，因为，，所以，故值域为．（3）因为，所以，解得，故定义域为．因为，所以，即，故值域为．3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的图象经过点．(1)求的解析式；(2)求函数在区间上的值域．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为函数图象过点（2，5），所以，所以，解得，因为，所以，所以，（2）因为在上为增函数，所以在上是增函数，所以，，所以函数的值域为．题型八：重点考查可化为一元二次函数型典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知关于的方程（）的根为负数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】将化为，因为关于的方程（）的根为负数，所以的取值范围是在的值域，当时，，则，即的取值范围是.故选：D.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则其值域为.【答案】【详解】，令，则，，由于在单调递增，在单调递减，故的最小值为，故值域为，故答案为：例题3．（2023秋·内蒙古鄂尔多斯·高一校联考期末）已知函数是指数函数.(1)求实数的值；(2)已知，，求的值域.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由题意可得，解得.（2）解：由（1）可得，因为，令，，令，则，，因此，函数的值域为.例题4．（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数.(1)求的值；(2)若，求函数的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）则，因为是定义域为的偶函数，则，即对任意恒成立，则；（2）由（1）知，则，令，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，则原函数化为：，，①当即时，在上单调递增，则，即，；②当，即时，在单调递减，在单调递增，则；即，综上所述，.精练核心考点1．（2023秋·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）当时，函数的值域为.【答案】【详解】因为，令，由于，则，则原函数可化为，，当时，取最小值，当时，取最大值，故，即.故答案为：2．（2023·上海·高一专题练习）函数的值域为.【答案】【详解】函数的定义域为R.因为，令，则.又函数在上单调递增，所以在上，有恒成立.所以函数的值域为.故答案为：.3．（2023秋·湖北十堰·高一房县第一中学校考阶段练习）已知定义在上的奇函数，当时的解析式为.(1)求在上的解析式；(2)求在上的最大值．【答案】(1)；(2)0.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即，所以，时，，设，则，，又，，所以，在上的解析式为；（2）当，，令，由，可得，所以，在上单调递减，当，即时，，所以，函数在上的最大值为0.4．（2023秋·甘肃酒泉·高三甘肃省酒泉中学校联考阶段练习）已知指数函数在其定义域内单调递增．(1)求函数的解析式；(2)设函数，当时．求函数的值域．【答案】(1)(2)【详解】（1）是指数函数，，解得或，又因为在其定义域内单调递增，所以，；（2），，令，，，，的值域为．题型九：重点考查与指数函数的相关的综合问题典型例题例题1．（2023秋·陕西西安·高三校考阶段练习）设为奇函数，且当时，.(1)求的解析式；(2)求时，函数的单调区间及值域【答案】(1)(2)递增区间为，递减区间为，值域为【详解】（1）解：因为当时，设，则，可得，又因为为奇函数，可得，所以函数的解析式为.（2）解：由当时，，则，令，可得，又由的图象对应的抛物线的开口向下，且对称轴为，所以在单调递增，在单调递减，且，因为函数为定义域的递增函数，根据复合函数的性质，可得在单调递增，在单调递减，所以，又由，可得，所以函数的的值域为.例题2．（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）已知是指数函数，且其图象经过点为奇函数．(1)求函数的解析式；(2)函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值.【答案】(1)，；(2)8.【详解】（1）设，且，由的图象经过点，得，则，函数的解析式为，于是，因为为奇函数，因此，即，整理得，解得，所以．（2）由（1）知，，且，则，由，得，则，不等式恒成立，即恒成立，令，则，则，可得在上恒成立，因为，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，所以，即实数的最大值为8．