第04讲两条直线的交点(原卷版+解析)

第04讲两条直线的交点1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．知识点一两条直线的位置关系直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示．方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1，l2的公共点一个无数个零个直线l1，l2的位置关系相交重合平行知识点二两条直线的方程的解已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．知识点三过两直线交点的直线系方程1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．考点一：两条直线的交点问题例1分别判断下列直线l1与l2是否相交．如果相交，求出交点的坐标．(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0．【总结】两条直线相交的判定方法方法1联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法2两直线的斜率都存在，且斜率不相等方法3两直线的斜率一个存在，另一个不存在变式判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标．(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0．考点二：求过两条直线交点的直线问题例2求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．【总结】过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．变式求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且平行于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．考点三：直线恒过定点问题例3求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．【总结】解决过定点问题常用的三种方法(1)特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标；(2)点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；(3)分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用．变式求证：不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过一定点．考点四：过两直线交点的直线系方程例4求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．【总结】解含参数的直线恒过定点问题的策略(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．变式求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线方程．1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是()A．(2,2) B．(1,1)C．(1,2) D．(2,1)2．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为()A．(－4，－3) B．(4,3)C．(－4,3) D．(3,4)3．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点()A．(－3，－1) B．(－2，－1)C．(－3,1) D．(－2,1)4．(多选)若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)的图形有两个交点，则a的取值可能为()A．1 B．0C．2 D．35．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________．6．直线2x＋y＋8＝0和直线x＋y－1＝0的交点坐标是()A．(－9，－10) B．(－9,10)C．(9,10) D．(9，－10)7．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点()A．(－3，－1) B．(－2，－1)C．(－3,1) D．(－2,1)8．不论a取何值时，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第____象限．9．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝________.1．直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是()A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)2．若直线2x＋3y－k＝0与直线x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k的值为()A．－24 B．6C．±6 D．243．在平面直角坐标系中，直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是()A．x－2y＋4＝0 B．x＋2y－4＝0C．x－2y－4＝0 D．x＋2y＋4＝04．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y－1＝0，x－4y－6＝0的交点，则直线l的方程为()A．2x＋y＝0 B．x＋2y＝0C．2x－y＝0 D．x－2y＝05．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一定点，这个定点是()A．(2,3) B．(－2,3)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2))) D．(－2,0)6．(多选)已知a为实数，若三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y－10＝0和2x－y－10＝0不能围成三角形，则a的值为()A．eq\f(8,3) B．1C．－1 D．－47．(多选)P1(a1，b1)，P2(a2，b2)是直线y＝kx＋1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y＝1，,a2x＋b2y＝1))的解的情况说法错误的是()A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))是方程组的一组解D．存在k，P1，P2使之有无穷多解8．已知直线x－2y＋2k＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，则实数k值是________．9．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为___________________．10．直线y＝－2x＋m与直线y＝2x－1的交点在第四象限，则m的范围是______________．11．求经过直线l1：3x＋4y－5＝0与直线l2：2x－3y＋8＝0的交点M，且满足下列条件的直线方程：(1)与直线2x＋y＋5＝0平行；(2)与直线2x＋y＋5＝0垂直．12．若三条直线2x＋ky＋8＝0，x－y－1＝0和2x－y＝0交于一点，则k的值为()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．3 D．eq\f(1,2)13．(多选)已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论正确的是()A．存在k，使得l2的倾斜角为90°B．对任意的k，l1与l2都有公共点C．对任意的k，l1与l2都不重合D．对任意的k，l1与l2都不垂直14．设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为________________________．15．已知0<a<2，直线l1：ax－2y＝2a－4和l2：2x＋a2y＝2a2＋4与坐标轴围成一个四边形，则当a＝________时，四边形的面积有最小值，该四边形的面积的最小值为________．16．若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，求a应满足的条件．17．已知直线l：(4λ＋1)x－(λ＋1)y＋3＝0．(1)求证：直线l过定点；(2)若直线l被两平行直线l1：x－2y＋2＝0与l2：x－2y－6＝0所截得的线段AB的中点恰好在直线2x＋y＋6＝0上，求λ的值．18．已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线方程为y＝0，点C的坐标为(1,2)．(1)求点A和点B的坐标；(2)过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M、N，求△MON(O为坐标原点)的面积最小值及此时直线l的方程．第04讲两条直线的交点1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．知识点一两条直线的位置关系直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示．方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1，l2的公共点一个无数个零个直线l1，l2的位置关系相交重合平行知识点二两条直线的方程的解已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．知识点三过两直线交点的直线系方程1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．考点一：两条直线的交点问题例1分别判断下列直线l1与l2是否相交．如果相交，求出交点的坐标．(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0．【解析】(1)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,3x＋3y－10＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3)，,y＝\f(5,3)．))所以l1与l2相交，交点是Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(5,3)))．(2)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y＋4＝0，①,6x－2y－1＝0，②))①×2－②得9＝0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1∥l2．(3)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0，①,6x＋8y－10＝0，②))①×2得6x＋8y－10＝0．①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．【总结】两条直线相交的判定方法方法1联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法2两直线的斜率都存在，且斜率不相等方法3两直线的斜率一个存在，另一个不存在变式判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标．(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0．【解析】(1)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3＝0，,x－2y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋2＝0，①,2x＋2y＋3＝0，②))①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2．考点二：求过两条直线交点的直线问题例2求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．【解析】法一：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))得交点坐标为(－1,2)．又由直线l3的斜率为eq\f(3,5)，得直线l的斜率为－eq\f(5,3)，则直线l的方程为y－2＝－eq\f(5,3)(x＋1)，即5x＋3y－1＝0．法二：由于直线l⊥l3，故直线l满足5x＋3y＋C＝0．又直线l过直线l1，l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，故直线l的方程为5x＋3y－1＝0．【总结】过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．变式求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且平行于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．【解析】解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))得交点坐标为(－1,2)，又由直线l3的斜率为eq\f(3,5)得直线l的斜率为eq\f(3,5)，故直线l的方程为y－2＝eq\f(3,5)(x＋1)，即3x－5y＋13＝0．考点三：直线恒过定点问题例3求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．【解析】[证明]法一(特殊值法)：取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，取λ＝1，得到直线l2：x＝－3，故l1与l2的交点为P(－3,3)．将点P(－3,3)代入方程左边，得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，∴点(－3,3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上．∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)．法二(分离参数法)：由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0．则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点．由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3＝0，,x－y＋6＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝3．))∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)．【总结】解决过定点问题常用的三种方法(1)特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标；(2)点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；(3)分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用．变式求证：不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过一定点．【解析】证明：当m＝1时，直线方程为y＝－4；当m＝eq\f(1,2)时，直线方程为x＝9．这两条直线的交点为(9，－4)．又当x＝9，y＝－4时，9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5，即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，故无论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)．考点四：过两直线交点的直线系方程例4求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．【解析】方法一解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y－3＝0，,x＋y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(7,5)，))所以两直线的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(7,5))).又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y＋eq\f(7,5)＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,5)))，即15x＋5y＋16＝0.方法二设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋λ×1－λ－3×3＝0，,2＋λ×－1－2λ－3×3≠0，))得λ＝eq\f(11,2).代入(*)式，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(11,2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)－3))y＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(11,2)－3))＝0，即15x＋5y＋16＝0.【总结】解含参数的直线恒过定点问题的策略(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．变式求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线方程．【解析】设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－eq\f(3,4)，所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是()A．(2,2) B．(1,1)C．(1,2) D．(2,1)【答案】C【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))得交点坐标为(1,2)．故选C．2．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为()A．(－4，－3) B．(4,3)C．(－4,3) D．(3,4)【答案】C【解析】由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＋6＝0，,2x＋5y－7＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝3．))故选C．3．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点()A．(－3，－1) B．(－2，－1)C．(－3,1) D．(－2,1)【答案】C【解析】直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋1＝0，,－x－3y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝1，))∴直线l恒过定点(－3,1)．故选C．4．(多选)若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)的图形有两个交点，则a的取值可能为()A．1 B．0C．2 D．3【答案】CD【解析】y＝a|x|表示关于y轴对称的两条射线，y＝x＋a(a>0)表示与y＝x平行，在y轴上的截距为a(a>0)的直线，根据题意，画出大致图形(图略)，若y＝a|x|与y＝x＋a的图形有两个交点，且a>0，则根据图形可知a>1．故选C、D．5．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________．【答案】2x＋y－4＝0【解析】设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，∴k＝eq\f(3＋λ,1－λ)＝－2，解得λ＝5．∴所求直线方程为2x＋y－4＝0．6．直线2x＋y＋8＝0和直线x＋y－1＝0的交点坐标是()A．(－9，－10) B．(－9,10)C．(9,10) D．(9，－10)【答案】B【解析】解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋8＝0，,x＋y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－9，,y＝10，))故两条直线的交点坐标为(－9,10)．7．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点()A．(－3，－1) B．(－2，－1)C．(－3,1) D．(－2,1)【答案】C【解析】直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋1＝0，,－x－3y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝1，))∴直线l恒过定点(－3,1)．故选C.8．不论a取何值时，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第____象限．【答案】四【解析】方程可化为a(x＋2y)＋(－3x＋6)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,－3x＋6＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))∵(2，－1)在第四象限，故直线恒过第四象限．9．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝________.【答案】－eq\f(1,2)【解析】解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋8＝0，,x－y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上，∴－1－2k＝0，∴k＝－eq\f(1,2).1．直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是()A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【答案】C【解析】解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,2x－y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是(0,2)．2．若直线2x＋3y－k＝0与直线x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k的值为()A．－24 B．6C．±6 D．24【答案】C【解析】法一：联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－k＝0，,x－ky＋12＝0，))消去y得x＝eq\f(k2－36,3＋2k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k≠－\f(3,2)))．由题意知eq\f(k2－36,3＋2k)＝0，解得k＝±6．法二：显然k≠0，在2x＋3y－k＝0中，令x＝0，得y＝eq\f(k,3)，在x－ky＋12＝0中，令x＝0，得y＝eq\f(12,k)，由题意可得eq\f(12,k)＝eq\f(k,3)，解得k＝±6．3．在平面直角坐标系中，直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是()A．x－2y＋4＝0 B．x＋2y－4＝0C．x－2y－4＝0 D．x＋2y＋4＝0【答案】D【解析】因为直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)，因为已知直线的斜率为k＝2，所以逆时针旋转eq\f(π,2)所得的直线的斜率应是k＝－eq\f(1,2)，由直线的点斜式方程可得y＋2＝－eq\f(1,2)(x－0)，即x＋2y＋4＝0．故选D．4．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y－1＝0，x－4y－6＝0的交点，则直线l的方程为()A．2x＋y＝0 B．x＋2y＝0C．2x－y＝0 D．x－2y＝0【答案】B【解析】联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－1＝0，,x－4y－6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))所以两直线的交点为(2，－1)，所以直线的斜率为eq\f(－1－0,2－0)＝－eq\f(1,2)，则直线l的方程为y＝－eq\f(1,2)x，即x＋2y＝0．故选B．5．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一定点，这个定点是()A．(2,3) B．(－2,3)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2))) D．(－2,0)【答案】B【解析】直线化为a(x＋2)－x－y＋1＝0．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,－x－y＋1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3，))直线过定点(－2,3)．6．(多选)已知a为实数，若三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y－10＝0和2x－y－10＝0不能围成三角形，则a的值为()A．eq\f(8,3) B．1C．－1 D．－4【答案】ACD【解析】当三条直线交于一点时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－10＝0，,2x－y－10＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))所以交点为(4，－2)，所以4a－4＋8＝0，得a＝－1；当直线ax＋2y＋8＝0与4x＋3y－10＝0平行时，eq\f(a,4)＝eq\f(2,3)，得a＝eq\f(8,3)；当直线ax＋2y＋8＝0与2x－y－10＝0平行时，eq\f(a,2)＝eq\f(2,－1)，得a＝－4．所以当a＝－1或a＝eq\f(8,3)或a＝－4时，三条直线不能围成三角形．故选A、C、D．7．(多选)P1(a1，b1)，P2(a2，b2)是直线y＝kx＋1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y＝1，,a2x＋b2y＝1))的解的情况说法错误的是()A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))是方程组的一组解D．存在k，P1，P2使之有无穷多解【答案】ACD【解析】由题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝ka1＋1，,b2＝ka2＋1，))则a1b2－a2b1＝a1(ka2＋1)－a2(ka1＋1)＝a1－a2，因为直线y＝kx＋1的斜率存在，所以a1≠a2，即a1－a2≠0，因此直线a1x＋b1y＝1，a2x＋b2y＝1不平行，所以方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y＝1，,a2x＋b2y＝1))总有唯一解．故A，D错误，B正确；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))是方程组的一组解，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2b1＝1，,a2＋2b2＝1，))则点(a1，b1)，(a2，b2)在直线x＋2y＝1，即y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)上，但已知这两个点在直线y＝kx＋1上，这两条直线不是同一条直线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))不可能是方程组的一组解，C错误．故选A、C、D．8．已知直线x－2y＋2k＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，则实数k值是________．【答案】1或－1【解析】令x＝0，得y＝k；令y＝0，得x＝－2k．∴三角形面积S＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)xy))＝k2．又S＝1，即k2＝1，∴k值是1或－1．9．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为___________________．【答案】5x－15y－18＝0【解析】由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y－3＝0，,x＋y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(7,5)．))又所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，故k＝eq\f(1,3)，∴直线方程为y＋eq\f(7,5)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,5)))，即5x－15y－18＝0．10．直线y＝－2x＋m与直线y＝2x－1的交点在第四象限，则m的范围是______________．【答案】{m|－1<m<1}【解析】由题意，联立两条直线方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋m，,y＝2x－1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(m＋1,4)，,y＝\f(m－1,2)，))因此两直线交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,4)，\f(m－1,2)))，交点在第四象限，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,4)>0，,\f(m－1,2)<0，))∴－1<m<1．11．求经过直线l1：3x＋4y－5＝0与直线l2：2x－3y＋8＝0的交点M，且满足下列条件的直线方程：(1)与直线2x＋y＋5＝0平行；(2)与直线2x＋y＋5＝0垂直．【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝5，,2x－3y＝－8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))所以交点M的坐标为(－1,2)．(1)斜率k＝－2，由点斜式求得所求直线方程为y－2＝－2(x＋1)，即2x＋y＝0．(2)斜率k＝eq\f(1,2)，由点斜式求得所求直线方程为y－2＝eq\f(1,2)(x＋1)，即x－2y＋5＝0．12．若三条直线2x＋ky＋8＝0，x－y－1＝0和2x－y＝0交于一点，则k的值为()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．3 D．eq\f(1,2)【答案】C【解析】联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x－y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2．))把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2))代入2x＋ky＋8＝0得k＝3．故选C．13．(多选)已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论正确的是()A．存在k，使得l2的倾斜角为90°B．对任意的k，l1与l2都有公共点C．对任意的k，l1与l2都不重合D．对任意的k，l1与l2都不垂直【答案】ABD【解析】对于动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，当k＝0时，l2：x＝0的斜率不存在，直线的倾斜角为90°，故A正确；由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0，,k＋1x＋ky＋k＝0，))可得(2k＋1)x＝0，对于任意的k，此方程都有解，所以对任意的k，l1与l2都有公共点，故B正确；若直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)重合，则有eq\f(k＋1,1)＝eq\f(k,－1)，解得k＝－eq\f(1,2)，所以当k＝－eq\f(1,2)时，l1与l2重合，故C错误；由于直线l1：x－y－1＝0的斜率为1，当k≠0时，l2的斜率为eq\f(k＋1,－k)＝－1－eq\f(1,k)≠－1，l1与l2不垂直，当k＝0时，l2：x＝0，显然l1与l2不垂直，所以对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确．故选A、B、D．14．设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为________________________．【答案】x－y－4＝0或x＋y－24＝0【解析】法一：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋2＝0，,3x－4y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝14，,y＝10，))所以两直线的交点坐标为(14,10)．由题意可得所求直线的斜率为1或－1，所以所求直线的方程为y－10＝x－14或y－10＝－(x－14)，即x－y－4＝0或x＋y－24＝0．法二：设所求的直线方程为(2x－3y＋2)＋λ(3x－4y－2)＝0，整理得(2＋3λ)x－(4λ＋3)y－2λ＋2＝0，由题意，得eq\f(2＋3λ,3＋4λ)＝±1，解得λ＝－1或λ＝－eq\f(5,7)，所以所求的直线方程为x－y－4＝0或x＋y－24＝0．15．已知0<a<2，直线l1：ax－2y＝2a－4和l2：2x＋a2y＝2a2＋4与坐标轴围成一个四边形，则当a＝________时，四边形的面积有最小值，该四边形的面积的最小值为________．【答案】eq\f(1,2)eq\f(15,4)【解析】直线l1：a(x－2)－2(y－2)＝0，则l1过定点B(2,2)．直线l2：(2x－4)＋a2(y－2)＝0，由2x－4＝0和y－2＝0得l2也过定点B(2,2)．因为l1与y轴交于点A(0,2－a)，l2与x轴交于点C(a2＋2,0)，所以S四边形OABC＝S△AOB＋S△BOC＝eq\f(1,2)×(2－a)×2＋eq\f(1,2)×(a2＋2)×2＝a2－a＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(15,4)，所以当a＝eq\f(1,2)时，S取最小值eq\f(15,4)．16．若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形