第04讲充分条件与必要条件(人教A版2019必修第一册)(原卷版+解析)

第04讲充分条件与必要条件【人教A版2019】·模块一命题·模块二充分、必要与充要条件·模块三课后作业模块一模块一命题1．命题及相关概念【考点1命题的概念】【例1.1】（2023·高一课时练习）下列语句中：①−1<2；②x>1；③x2−1=0有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③【例1.2】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）下列语句是命题的是（

）A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树C．求证：1+1=2 D．3比5大【变式1.1】（2022秋·高一课时练习）下列命题：①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;③方程x2④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;⑤集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1.2】（2023秋·上海黄浦·高一校考阶段练习）设a∈R，关于x,y的方程组x−ay=1ax+y=a.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题模块二模块二充分、必要与充要条件1．充分条件与必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．2．充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．【注】：“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．3．充分、必要与充要条件的判定(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q.(2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件.(3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件.(4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件.(5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件.【考点1充分条件、必要条件及充要条件的判定】【例1.1】（2023·高一课时练习）若a<b<c，则“a+b+c=0”是“ac<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例1.2】（2023·四川遂宁·四川省校考模拟预测）明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1.1】（2023·高一课时练习）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题中：①r是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件．正确命题的序号是（

）A．①④ B．①②C．②③ D．②④【变式1.2】（2023·高一单元测试）若a,b∈R，则“a>1,b>1”的充分不必要条件是（

A．ab>1且a+b>2 B．ab>1且(a−1)(b−1)>0C．a+b>2且(a−1)(b−1)>0 D．a+b>3且(a−1)(b−1)>0【考点2充分条件、必要条件及充要条件的探索】【例2.1】（2023·高一课时练习）已知a,b∈R，则“a>b”的一个必要条件是（

）A．|a|>|b| B．aC．a>b+1 D．a>b−1【例2.2】（2023·上海普陀·统考二模）设a,b为实数，则“a>b>0”的一个充分非必要条件是（

）A．a−1>b−1 C．1b>1【变式2.1】（2023秋·辽宁·高一校联考期末）给出的下列条件中能成为xx−3≥0的充分不必要条件是（A．x≤0或x>3 B．x<−1或x>3 C．x≤−1或x≥3 D．【变式2.2】（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）“关于x的不等式x2−2ax+a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是（A．0<a<1 B．0≤a<1 C．0<a<13 【考点3由充分条件、必要条件求参数】【例3.1】（2023秋·广东广州·高一校联考期末）若不等式−a+1<x<a+1的一个充分条件为0<x<1，则实数a的取值范围是（

）A．a>0 B．a≥0 C．a>1 D．a≥1【例3.2】（2023·福建福州·高三校考阶段练习）设p：4x−3<1；q：x−（2a+1）A．a>0 B．a>1 C．a≥0 D．a≥1【变式3.1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A=−2,5，B=m+1,2m−1．若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则m的取值范围是（A．−∞,3 B．2,3 C．∅ 【变式3.2】（2023·全国·高三专题练习）如果不等式x−a<1成立的充分不必要条件是12<A．12,32 B．12,【考点4充要条件的证明】【例4.1】（2023秋·福建宁德·高一校考期末）求证：x=1是一元二次方程ax2【例4.2】（2022秋·高一课时练习）已知x,y都是非零实数，且x>y，求证：1x<1【变式4.1】（2023·全国·高三专题练习）设a,b,c∈R证明:a2+b【变式4.2】（2022秋·湖北武汉·高一校考阶段练习）设a，b，c分别是三角形ABC的三条边长，且a≤b≤c，请利用边长a，b，模块模块三课后作业1．（2023春·上海黄浦·高一校考期中）若a,b,c∈R，则“ac=bc”是“a=b”的（

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023秋·甘肃兰州·高一校考期末）命题“∀x>1, x2A．m<1 B．m<2 C．m≤2 D．m<33．（2023春·山西晋中·高一校考阶段练习）杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）设x,y∈R，下列说法中错误的是（

）A．“x>1”是“x2B．“xy=0”是“x2C．“x>1,y>1”是“x+y>2,xy>1”的充要条件D．“x>y”是“x25．（2022秋·辽宁·高一校联考期末）对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（

）A．“a=b”是“ac=bc”的充要条件B．“a+32是无理数”是“C．“a2>bD．“a<5”是“a<3”的充分条件6．（2023·天津·校联考二模）已知a≠0，命题p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，命题q:a+b+c=0，则p是qA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一校考开学考试）设p:2<x<3，q:x>a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（

）A．[2,+∞) B．−∞,2 C．8．（2023·高一课时练习）一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0A．a<0 B．a>0 C．a<−1 D．a>19．（2023·四川绵阳·校考模拟预测）若x>m2−3​是1<xA．−2,2 B．−2,2​ C．−3,3​ D．2,310．（2023·全国·高三专题练习）若对于任意实数x，x表示不超过x的最大整数，例如2=1，3=1，−1.6=−2，那么“x=yA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答）(1)p：x为自然数，q：x为整数；(2)p：a<2，q：a<1；(3)p：同位角相等，q：两直线平行；(4)p：四边形的两条对角线相等，q：四边形是平行四边形．12．（2023春·江西新余·高一校考阶段练习）已知p：关于x的方程x2−2ax+a2+a−2=0(1)若命题¬p是真命题，求实数a的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．13．（2023·高一单元测试）已知全集U=R，集合A=x|m−1<x<m+1，(1)当m=4时，求A∪B和A∩∁(2)若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.14．（2023·高一单元测试）（1）已知集合A=xa1x=b1,（2）模仿上述命题，写出一个不同于（1）的命题，判断命题的真假并说明理由．15．（2023·全国·高一专题练习）设集合A={−1<x<3},B={x∣1−m<x<m+1,m>0}，命题p:x∈A，命题q:x∈B(1)若p是q的充要条件，求正实数m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.第04讲充分条件与必要条件【人教A版2019】·模块一命题·模块二充分、必要与充要条件·模块三课后作业模块一模块一命题1．命题及相关概念【考点1命题的概念】【例1.1】（2023·高一课时练习）下列语句中：①−1<2；②x>1；③x2−1=0有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③【解题思路】根据命题的定义即可求解.【解答过程】命题是能判断真假的陈述句，由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题，②④无法判断真假，故不是命题，①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，故选：D.【例1.2】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）下列语句是命题的是（

）A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树C．求证：1+1=2 D．3比5大【解题思路】根据命题的定义逐一判断即可.【解答过程】能够判断成立或不成立的陈述句叫命题，只有选项D能够判断出真假，3比5大显然不成立，是假命题，故选：D.【变式1.1】（2022秋·高一课时练习）下列命题：①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;③方程x2④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;⑤集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角形全等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤.【解答过程】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确;对于②，菱形不一定有外接圆，故错误，对于③，方程x2−3x−4=0的判别式为对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，对于⑤，A∩B⊆A,A⊆A∪B,故正确;故选：C．【变式1.2】（2023秋·上海黄浦·高一校考阶段练习）设a∈R，关于x,y的方程组x−ay=1ax+y=a.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题【解题思路】通过解方程组的知识求得正确答案.【解答过程】由x−ay=1得x=ay+1，则aay+1+y=a，a2则x=1ax=a，解得x=1所以关于x,y的方程组x−ay=1ax+y=a有唯一解x=1所以①为假命题，②为真命题.故选：D.模块二模块二充分、必要与充要条件1．充分条件与必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．2．充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．【注】：“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．3．充分、必要与充要条件的判定(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q.(2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件.(3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件.(4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件.(5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件.【考点1充分条件、必要条件及充要条件的判定】【例1.1】（2023·高一课时练习）若a<b<c，则“a+b+c=0”是“ac<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据充分不必要条件的定义判断可得出答案.【解答过程】因为a<b<c，a+b+c=0，所以a<0,c>0，所以ac<0，若a<b<c，ac<0，则a+b+c不一定等于0，如a=−2,b=3,c=4，则a+b+c=5≠0，所以若a<b<c，则“a+b+c=0”是“ac<0”的充分不必要条件.故选：A.【例1.2】（2023·四川遂宁·四川省校考模拟预测）明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义，结合题意即可下结论.【解答过程】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件.故选：B.【变式1.1】（2023·高一课时练习）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题中：①r是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件．正确命题的序号是（

）A．①④ B．①②C．②③ D．②④【解题思路】由充分必要条件的定义和传递性，可得结论．【解答过程】由p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，可得p⇒r，r推不出p，q⇒r，r⇒s，s⇒q，所以r⇔q，故r是q的充要条件，①正确；p⇒q，q推不出p，故p是q的充分不必要条件，②正确；r⇔q，故r是q的充要条件，③错误；r⇔s，故r是s的充要条件，④错误．故选：B.【变式1.2】（2023·高一单元测试）若a,b∈R，则“a>1,b>1”的充分不必要条件是（

A．ab>1且a+b>2 B．ab>1且(a−1)(b−1)>0C．a+b>2且(a−1)(b−1)>0 D．a+b>3且(a−1)(b−1)>0【解题思路】对于选项A和B，可通过对a,b取特殊值进行验证判断，从而判断出正误；对于选项C，利用选项C中的条件，得出a>1,b>1，从而得出选项C是充要条件，从而判断出不符合结果，进而得出结论.【解答过程】对于A，当a=12,b=4时，有ab>1且a+b>2对于B，当a=−2,b=−3时，有ab>1且(a−1)(b−1)>0，但得不出a>1,b>1，故B错误；对于C，由(a−1)(b−1)>0，得到a>1且b>1或a<1且b<1，又a+b>2，故a>1且b>1，此时是充要条件，故C错误；综上，可知符合条件的为选项D.故选：D.【考点2充分条件、必要条件及充要条件的探索】【例2.1】（2023·高一课时练习）已知a,b∈R，则“a>b”的一个必要条件是（

）A．|a|>|b| B．aC．a>b+1 D．a>b−1【解题思路】根据不等式的性质即可求解.【解答过程】由于a>b可得a>b−1，故“a>b−1”是“a>b”的必要条件，由a>b不能得到|a|>|b|，a2>b2，故选：D.【例2.2】（2023·上海普陀·统考二模）设a,b为实数，则“a>b>0”的一个充分非必要条件是（

）A．a−1>b−1 C．1b>1【解题思路】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与a>b>0推出关系即可.【解答过程】由a−1>b−1，则a−1>b−1b−1≥0，可得a>b≥1由a2>b2，则由1b>1a，则a>b>0或b>0>a或由a−b>b−a，则a>b，推不出a>b>0，反向可推出，不满足；故选：A.【变式2.1】（2023秋·辽宁·高一校联考期末）给出的下列条件中能成为xx−3≥0的充分不必要条件是（A．x≤0或x>3 B．x<−1或x>3 C．x≤−1或x≥3 D．【解题思路】根据充分条件，必要条件的定义，结合集合的包含关系解决即可.【解答过程】由题知，xx−3所以xx−3≥0x−3≠0，解得x≤0对于A，能成为xx−3对于B,能成为xx−3对于C，能成为xx−3对于D，能成为xx−3故选：B.【变式2.2】（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）“关于x的不等式x2−2ax+a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是（A．0<a<1 B．0≤a<1 C．0<a<13 【解题思路】根据不等式x2−2ax+a>0的解集为R求得【解答过程】解：关于x的不等式x2−2ax+a>0的解集为R，则解得0<a<1，所以“关于x的不等式x2−2ax+a>0的解集为R”的一个必要不充一个分条件“故选：B.【考点3由充分条件、必要条件求参数】【例3.1】（2023秋·广东广州·高一校联考期末）若不等式−a+1<x<a+1的一个充分条件为0<x<1，则实数a的取值范围是（

）A．a>0 B．a≥0 C．a>1 D．a≥1【解题思路】结合充分条件的定义列出不等式组，求解即可．【解答过程】若不等式−a+1<x<a+1的一个充分条件为0<x<1，则0,1⊆−a+1,a+1，所以0≥−a+1−a+1<a+1则实数a的取值范围是a≥1.故选：D.【例3.2】（2023·福建福州·高三校考阶段练习）设p：4x−3<1；q：x−（2a+1）A．a>0 B．a>1 C．a≥0 D．a≥1【解题思路】化简p,q，根据充分不必要的定义列不等式求a的范围.【解答过程】由已知可得p:x<1,q:x<2a+1，因为p是q的充分不必要条件，所以2a+1>1，所以a>0，故选：A．【变式3.1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A=−2,5，B=m+1,2m−1．若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则m的取值范围是（A．−∞,3 B．2,3 C．∅ 【解题思路】若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则BA，列出不等式组求解即可.【解答过程】若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则BA，所以m+1<2m−1m+1≥−22m−1≤5，解得2<m≤3，即m的取值范围是故选：B.【变式3.2】（2023·全国·高三专题练习）如果不等式x−a<1成立的充分不必要条件是12<A．12,32 B．12,【解题思路】解绝对值不等式，得到a−1<x<1+a，结合题干条件得到x1【解答过程】x−a<1所以a−1<x<1+故x12<所以a−1≤12解得：12故实数a的取值范围是12故选：B.【考点4充要条件的证明】【例4.1】（2023秋·福建宁德·高一校考期末）求证：x=1是一元二次方程ax2【解题思路】先证明充分性，再证明必要性.【解答过程】证明：（1）充分性：由a+b+即x=1满足方程a∴x=1是方程（2）必要性：∵x=1是方程将x=1代入方程ax2故x=1是一元二次方程a是a+【例4.2】（2022秋·高一课时练习）已知x,y都是非零实数，且x>y，求证：1x<1【解题思路】根据充要条件的定义进行证明即可．【解答过程】（1）必要性：由1x<1y，得又由x>y，得y−x<0，所以xy>0.（2）充分性：由xy>0及x>y，得xxy>y综上所述，1x<1【变式4.1】（2023·全国·高三专题练习）设a,b,c∈R证明:a2+b【解题思路】分别证明充分性与必要性即可.【解答过程】证明:(1)充分性:如果a=b=c,那么(a−b)2∴a(2)必要性:如果a2那么a2∴(a−b)2+由(1)(2)知,a2+b【变式4.2】（2022秋·湖北武汉·高一校考阶段练习）设a，b，c分别是三角形ABC的三条边长，且a≤b≤c，请利用边长a，b，【解题思路】根据所给条件类比勾股定理得到a2【解答过程】a2充分性：∵a2+b2>∵a≤b≤c，∴   ∠过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D，由勾股定理，得c==b2+∴△ABC为锐角三角形.必要性：∵△ABC为锐角三角形，∴∠B<90°，∠C<90°°，过点A作由勾股定理知，得c==b综上，△ABC为锐角三角形的一个充要条件为a模块模块三课后作业1．（2023春·上海黄浦·高一校考期中）若a,b,c∈R，则“ac=bc”是“a=b”的（

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义即可得解.【解答过程】若c=0，令a=2,b=1，满足ac=bc，但a≠b；若a=b，则ac=bc一定成立，所以“ac=bc”是“a=b”的必要不充分条件.故选：B.2．（2023秋·甘肃兰州·高一校考期末）命题“∀x>1, x2A．m<1 B．m<2 C．m≤2 D．m<3【解题思路】将问题转化为x2>m−1在【解答过程】因为命题“∀x>1, 所以x2>m−1在所以m−1≤1，即m≤2，所以命题“∀x>1, x2故选：C.3．（2023春·山西晋中·高一校考阶段练习）杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.【解答过程】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件.故选：C.4．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）设x,y∈R，下列说法中错误的是（

）A．“x>1”是“x2B．“xy=0”是“x2C．“x>1,y>1”是“x+y>2,xy>1”的充要条件D．“x>y”是“x2【解题思路】根据充分条件，必要条件的概念依次判断各选项即可.【解答过程】解：对于A，因为x2>1的解集为−∞,−1∪对于B，“xy=0”时，“x2+y2=0”不一定成立，反之“x2+对于C，“x>1,y>1”时，“x+y>2,xy>1”一定成立，反之“x+y>2,xy>1”成立时，x>1,y>1不一定成立，例如x=12,y=3，所以“x>1,y>1对于D，当x=1,y=−2时，满足“x>y”，但不满足“x2>y2”；当x=−2,y=−1时，满足“x2>y故选：C.5．（2022秋·辽宁·高一校联考期末）对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（

）A．“a=b”是“ac=bc”的充要条件B．“a+32是无理数”是“C．“a2>bD．“a<5”是“a<3”的充分条件【解题思路】通过反例可知ACD错误；根据充要条件和必要条件的定义可知B正确.【解答过程】对于A，当c=0时，ac=bc，此时可以对于B，当a+32为无理数时，根据32当a为无理数时，根据32为有理数可得a+∴“a+32是无理数”是“对于C，当a=−2,b=−1时，a2>b故“a2>b对于D，当a=4时，a<5，但是a>3，所以“a<5”不是“a<3”的充分条件，D错误.故选：B.6．（2023·天津·校联考二模）已知a≠0，命题p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，命题q:a+b+c=0，则p是qA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据充分、必要性的定义判断命题间的推出关系，即可得答案.【解答过程】对于命题p，x=1为方程的根，则a+b+c=0，充分性成立；对于命题q，a+b+c=0且a≠0，则x=1必是题设方程的一个根，必要性成立；所以p是q的充分必要条件.故选：C.7．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一校考开学考试）设p:2<x<3，q:x>a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（

）A．[2,+∞) B．−∞,2 C．【解题思路】由p是q的充分不必要条件得到两个范围对应集合之间的包含关系，进而得到实数a的取值范围.【解答过程】因为p是q的充分不必要条件，所以x2<x<3所以a≤2，即实数a的取值范围是−∞故选：B.8．（2023·高一课时练习）一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0A．a<0 B．a>0 C．a<−1 D．a>1【解题思路】先由方程根的情况可得4−4a>01a<0【解答过程】因为一元二次方程ax2+2x+1=0所以4−4a>01a<0所以一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0故选：C.9．（2023·四川绵阳·校考模拟预测）若x>m2−3​是1<xA．−2,2 B．−2,2​ C．−3,3​ D．2,3【解题思路】根据前者是后者得必要不充分条件，得到(1,6]m2−3,+∞，再利用数轴得到不等式，得到【解答过程】∵x>m2−3是1<∴m2−3≤1故选：B.10．（2023·全国·高三专题练习）若对于任意实数x，x表示不超过x的最大整数，例如2=1，3=1，−1.6=−2，那么“x=yA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据高斯函数的定义以及充分必要条件的定义推导即可.【解答过程】如果x=y=∴x−y=d1反之，如果x−y＜1，比如x根据定义，x=3,故x=y是故选：A.11．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答）(1)p：x为自然数，q：x为整数；(2)p：a<2，q：a<1；(3)p：同位角相等，q：两直线平行；(4)p：四边形的两条对角线相等，q：四边形是平行四边形．【解题思路】（1）由自然数和整数的概念作出判断；（2）a<2⇒a<1，而（3）两者可互相推出，故可得到结论；（4）举出反例，得到结论.【解答过程】（1）x为自然数，则x为整数，但x为整数，不妨令x=−1故p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；（2）a<2⇒a<1，而故p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件；（3）同位角相等，可得