2026年自考02324离散数学试题及答案

2026年自考02324离散数学试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A⊕B（对称差）为A.{1,4} B.{1,2,3,4} C.{2,3} D.∅2.命题公式(p→q)∧(q→¬p)的主析取范式中极小项的个数为A.0 B.1 C.2 D.33.在格(L,∨,∧)中，若a∨b=a∧b，则A.a=b B.a≤b C.b≤a D.无法确定4.设R是集合A上的二元关系，若R∘R⊆R，则R必为A.自反 B.对称 C.传递 D.反对称5.图G有n个顶点、m条边，若G是树，则A.m=n B.m=n−1 C.m=n+1 D.m=2n6.下列哪个图不是欧拉图A.完全图K₄ B.完全二分图K₂,₃ C.轮图W₅ D.环图C₆7.设群G的阶为15，则G中元素的最大阶为A.3 B.5 C.15 D.18.布尔代数中，若x+y=1且xy=0，则A.x=y B.x=¬y C.x=0 D.y=19.谓词公式∀x(P(x)→∃yQ(y))的前束范式为A.∀x∃y(P(x)→Q(y)) B.∃x∀y(P(x)→Q(y)) C.∀x(P(x)→Q(x)) D.∃y∀x(P(x)→Q(y))10.设f:A→B，g:B→C，若g∘f是单射，则A.f单射 B.g单射 C.f满射 D.g满射二、填空题（每空3分，共15分）11.集合{∅,{∅}}的幂集元素个数为________。12.命题公式(p∨q)∧(¬p∨¬q)的真值表中成真赋值的个数为________。13.若图G的邻接矩阵A满足A³的(1,1)元为5，则顶点1到自身长度为3的通路有________条。14.在模6加法群(Z₆,+)中，元素4的阶为________。15.设R为实数集，关系S={(x,y)|x−y∈Z}，则S的等价类[0.5]=________。三、计算与证明题（共65分）16.（8分）用真值表法判断命题公式(p→q)↔(¬q→¬p)是否为重言式，给出完整真值表并说明理由。17.（9分）设A={1,2,3,4,5}，R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,1)}，求(1)R的传递闭包t(R)；(2)指出t(R)的关系图中含有多少条不同的有向回路，并给出其中一条长度最长的回路。18.（10分）设集合S={a,b,c}，运算∗定义为x∗y={x,若x≠y;a,若x=y}(1)写出运算表；(2)判断(S,∗)是否为半群，给出证明或反例。19.（10分）图G如下所示（顶点集V={v₁,v₂,v₃,v₄,v₅}，边集E={v₁v₂,v₂v₃,v₃v₄,v₄v₅,v₅v₁,v₂v₅}）(1)给出G的邻接矩阵A；(2)计算A²，并解释A²中(1,3)元的图论意义；(3)判断G是否为哈密顿图，给出理由。20.（10分）设群G由生成元a,b满足a⁴=e, b²=e, ba=a³b(1)列出G的全部元素；(2)证明G同构于二面体群D₄；(3)求G的中心Z(G)。21.（8分）设布尔代数(B,∨,∧,¬,0,1)中，|B|=8，(1)给出B的Hasse图；(2)求B中所有原子；(3)写出B中任意非零非壹元素x的补元¬x。22.（10分）谓词逻辑推理前提：∀x(P(x)→Q(x))∃x(P(x)∧R(x))结论：∃x(Q(x)∧R(x))(1)用自然演绎法给出完整证明；(2)指出证明过程中使用的推理规则名称。四、答案与解析1.A 对称差A⊕B=(A−B)∪(B−A)={1,4}。2.C 公式等价于(p→q)∧(¬p∨¬q)⇔(¬p∨q)∧(¬p∨¬q)⇔¬p∨(q∧¬q)⇔¬p，主析取范式含两个极小项¬p∧q、¬p∧¬q。3.A 格中a∨b=a∧b⇒a≤b且b≤a⇒a=b。4.C R∘R⊆R即R²⊆R，为传递定义。5.B 树定义：连通无回路，边数m=n−1。6.B K₂,₃有4个奇度顶点，不满足欧拉图“所有顶点度数为偶”之条件。7.C 15=3×5，由Sylow定理存在15阶元，故最大阶为15。8.B 布尔代数中x+y=1且xy=0⇔y=¬x。9.A 量词前移得∀x∃y(P(x)→Q(y))。10.A g∘f单射⇒f必单射，g未必。11.4 幂集为{∅,{∅},{{∅}},{∅,{∅}}}。12.2 公式等价于p⊕q，真值表两行为1。13.5 题设直接给出。14.3 4+4+4≡0mod6，最小正整数k=3。15.{x|x=0.5+k,k∈Z} 等价类为所有与0.5差整数之实数。16.真值表pq|p→q¬q→¬p公式00|1 1 101|1 1 110|0 0 111|1 1 1全部行取1，故为重言式。17.(1)t(R)=R∪R²∪R³∪R⁴∪R⁵，计算得t(R)=A×A，即全关系。(2)关系图为完全有向图K₅，任意长度≥3的回路均存在，最长回路长度为5，例如1→2→3→4→5→1。(2)关系图为完全有向图K₅，任意长度≥3的回路均存在，最长回路长度为5，例如1→2→3→4→5→1。18.(1)运算表∗|abca|aaab|abac|aac(2)取x=b,y=c,z=b，则(b∗c)∗b=a∗b=a，b∗(c∗b)=b∗a=a，看似成立；但取x=c,y=b,z=c，(c∗b)∗c=a∗c=a，c∗(b∗c)=c∗a=a，仍成立；再取x=b,y=c,z=c，(b∗c)∗c=a∗c=a，b∗(c∗c)=b∗c=a，仍成立。然而考虑x=b,y=b,z=c，(b∗b)∗c=a∗c=a，b∗(b∗c)=b∗a=a，仍成立。看似结合律成立，但再取x=c,y=c,z=b，(c∗c)∗b=a∗b=a，c∗(c∗b)=c∗a=a。经全面验证，所有情况均满足结合律，故(S,∗)是半群。19.(1)邻接矩阵A=(01(2)A²=(20A²(1,3)=1表示v₁到v₃长度为2的通路有1条：v₁→v₂→v₃。(3)存在哈密顿圈v₁→v₂→v₃→v₄→v₅→v₁，故G为哈密顿图。20.(1)利用关系ba=a³b，可把任意元素写成aⁱbʲ，i∈{0,1,2,3},j∈{0,1}，共8个元素：{e,a,a²,a³,b,ab,a²b,a³b}。(2)映射φ:G→D₄，φ(a)=r（旋转90°），φ(b)=s（反射），满足相同关系，故为同构。(3)中心Z(G)={e,a²}，验证a²与所有元素可交换。21.(1)8元布尔代数同构于P({x,y,z})，Hasse图为三维立方体。(2)原子为单元素集：{x},{y},{z}。(3)对任意非零非壹元素x，其补元¬x即为集合补集。22.证明：1.∃x(P(x)∧R(x)) 前提2.P(c)∧R(c) 存在实例化，c为特定常量3.P(c) ∧消去