2027届新高考数学热点精准复习数列的新定义与重构问题(进阶课)

2027届新高考数学热点精准复习数列的新定义与重构问题(进阶课)[总体概览]

数列的重构问题(包括数列中的奇数项、偶数项、公共项以及增减项)与数列的新定义问题是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列．

√(2)(多选)(2026·昆明模拟)已知数列{an}，定义数列{an+1－2an}为数列{an}的“2倍差数列”．若{an}的“2倍差数列”的通项公式为an+1－2an＝2n+1，且a1＝2，则下列结论错误的是(

)A．a2＝8B．an＝(n＋1)·2nC．数列{an}是递减数列D．数列{an}的前n项和Sn＝n·2n+1√√√

通性通法：解决新定义数列问题的一般流程(1)读懂定义，理解新定义数列的含义．(2)特殊分析，比如对n＝1，2，3，…的情况进行讨论．(3)通过特殊情况寻找新定义数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列(如等差或等比数列)的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案．(4)联系等差数列与等比数列知识，将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解．

√√

通性通法：对于通项公式奇、偶项不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k-1＝S2k－a2k，求S2k-1．[多维变迁]已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝2，且an是2与Sn的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(－1)n·log2a2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn．[解]

(1)因为an是2与Sn的等差中项，所以2an＝Sn＋2，

①当n≥2时，2an-1＝Sn-1＋2，

②①－②得2an－2an-1＝an，所以an＝2an-1(n≥2)，又a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n．

通性通法：两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两个等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．[多维变迁](人教A版选择性必修第二册P25习题4.2T8)已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和．

通性通法：对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入(减少)了多少项(运用等差等比求和或者项数公式去看)，再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项．

【教用·备选题】(2025·湛江二模)将数列{3n＋2}与{4n}中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列{an}，则a5＝___________，{an}的前202项和为______________．

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课时作业数列的新定义与重构问题(进阶课)√

√

3．(2025·资阳雁江区月考)已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，{bn}是公比为q(q>0)的等比数列，且b2＝2，b2＋b3＋b4＝14．(1)求{bn}的通项公式；(2)设{an}与{bn}的公共项由小到大排列构成新数列{cn}，求{cn}的前5项和S5．[解]

(1){bn}是公比为q(q>0)的等比数列，且b2＝2，b2＋b3＋b4＝14，可得2＋2q＋2q2＝14，即q2＋q－6＝0，解得q＝2(负值舍去)，由b2＝b1q＝2，解得b1＝1，由等比数列的通项公式，可得bn＝2n-1．(2)由an＝3n－1，bn＝2n-1，设{an}的第m项与{bn}的第k项相等，

4．(2025·武汉质检)已知数列{an}满足a1＝4，且an+1＋an＝8n＋4．(1)

求数列{an}的通项公式