湖南省常德市2026届高三数学3月模拟试卷

PAGE 数学试题第2页(共4页)2026年常德市高三模拟考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则 A． B． C． D．2．已知是虚数单位，复数满足，则 A． B． C． D．3．一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球2个，白球4个，现从中依次不放回地随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为 A． B． ABCDFE C． ABCDFE4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为BC、AE的中点，则 A． B． C． D．5．一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为 A． B． C． D．6．已知圆与双曲线的渐近线相切，则椭圆的离心率 A． B． C． D．7．已知实数x，y满足：，则 A． B． C． D．8．已知中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，的面积，角C的平分线交AB于D点，且，，则 A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，则 A． B． C． D．10．下列说法正确的是 A．样本数据2，3，3，4，7，8，10，18的第80百分位数为10 B．样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数的值越大C．根据分类变量与的成对数据，计算得到，依据的独立性检验，结论为变量与不独立D．一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内11．已知成等差数列，若关于的方程组恰有2组解，则 A． B． C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知曲线在处的切线与圆相交于A、B两点，则____________.13．已知函数为奇函数，则实数____________.14．函数的值域为____________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分) 已知数列的前n项和，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求证：．16． 如图，三棱柱中，平面平面，，，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.17．(本小题满分15分) 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布.若随机变量X服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数.（1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为.若，求的值；（2）设，当且时，二项分布可近似看成泊松分布，即，其中. 某工厂生产电子元器件，次品率为0.3%，各元件是否为次品相互独立，记X为产品中的次品数，按泊松分布近似计算.（i）这1000件产品中恰有2件次品的概率；（ii）求使得最大时的X值． (参考数据：；若，则有，，)18．(本小题满分17分) 抛物线：的焦点为，为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为2.（1）求抛物线的标准方程；（2）（i)）证明：直线过定点；

（ii）点为抛物线的准线与y轴的交点，若的面积与的面积相等，求直线的方程.19．(本小题满分17分) 已知函数(其中e为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：；（3）若有两个不同的实数解，且，求证：.数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案BADDDACB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ACDABDAD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12． 13． 14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分) 解：（1）①当时，，又，解得2分 ②当时，，所以4分 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以6分（2）由8分 所以，10分 所以12分 因为，所以.13分16．(本小题满分15分) 法一：解：（1）连接与交于点，连接， 三棱柱侧面为平行四边形，所以为的中点， 又为的中点，所以2分 又因为中, 由余弦定理可得. 所以，所以4分 因为平面平面且交线为，平面 所以平面6分 又，所以平面, 又平面，所以平面平面7分（2）由，，得，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，10分 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 则13分 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为15分法二：解：（1）延长与交于点，连接. 三棱柱侧面为平行四边形，又为的中点， 所以为的中点，所以，又, 所以四边形为平行四边形,所以2分 又因为中, 由余弦定理可得. 所以，所以4分 因为平面平面且交线为，平面, 所以平面6分 又，所以平面，Hxyz 又平面，所以平面平面7分Hxyz（2）解法同法一阅卷评分说明：如图建立直角坐标系，写点的坐标10分求得平面的法向量为13分求得直线与平面所成角正弦值为15分17．(本小题满分15分) 解：（1）因为当，且时，可近似地认为， 即X～N(81,81)，这里2分 所以， 4分 5分（2）(i)由题知，其中7分 9分(ii)10分 所以12分 由解得， 所以，当时，；当时，. 即 所以当或时，最大15分18．(本小题满分17分)解：（1）法一：由抛物线的定义有，又点在抛物线上， 所以2分 解得：，， 所以抛物线的标准方程为5分法二：由题可知2分 解得：，. 所以抛物线的标准方程为5分（2）(i)由题可知直线的斜率存在，设直线：，，（） 因为点在准线上，且轴，所以. 由、三点共线，所以，即， 化简得①7分 联立，消得, 由韦达定理得：9分 又得代入①得②11分 将代入②得, 又，所以. 所以直线：过定点13分(ii)因为的面积与的面积相等，所以点与点Q到直线的距离相等.①若直线过的中点，又，，的中点为,则直线的斜率， 所以直线的方程为15分②若直线，则直线的斜率, 所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或17分19．(本小题满分17分)解：（1）函数的定义域为1分 ，2分 所以函数在上单调递增，又3分 所以当时；当时. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为4分（2）法一： 当时，6分 因为，所以，且, 所以, 所以，即8分法二：当时，设， 则，5分 所以函数在上单调递增，又，, 由零点存在定理，存在唯一，使得, 当时；当时. 所以在上单