第二章　机械振动+-2026-2027学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

第二章机械振动01简谐运动的振幅、位移、路程易混易错1.弹簧振子模型(理想化模型):(1)水平弹簧振子(如图甲);(2)竖直弹簧振子(如图乙)。注意:平衡位置不一定是弹簧原长的位置。2.振幅(A):振动物体离开平衡位置的最大距离(最大位移的大小)。3.简谐运动的位移简谐运动中的位移是指偏离平衡位置的位移(以前我们研究的位移是指物体偏离初始位置的位移,注意

区分)。4.全振动从物体运动到P点开始计时,则P→A→P→O→A'→O→P或P→O→A'→O→P→A→P为一次全振动。

(1)时间特征:历时一个周期。(2)路程特征:为振幅的4倍。(3)相位特征:增加2π。(4)速度特征:连续两次以相同速度通过同一点。振幅、位移、路程的比较

振幅位移路程定义振动物体离开平衡位置

的最大距离从平衡位置指向振动物

体所在位置的有向线段振动物体运动轨迹的长

度标矢性标量矢量标量变化在稳定的振动系统中不发生变化大小和方向随时间周期性变化随时间增加联系(1)振幅等于最大位移的大小,位移x=Asin(ωt+φ);(2)振动物体在一个周期内的路程等于振幅的4倍;振动物体在半个周期内通过的路程等于振幅的2倍;振动物体在四分之一周期内经过的路程可能等于振幅,可能大于振幅,也可能小于振幅;振动物体在一个周期内的位移等于零勘破疑难振动物体在四分之一周期内经过的路程:(1)计时起点对应质点在三个特殊位置(两个最大位移处和一个平衡位置)时,s=A;(2)计时起点对应质点在最大位移处和平衡位置之间且向平衡位置运动时,s>A(因为平均速度大于

);(3)计时起点对应质点在最大位移处和平衡位置之间且向最大位移处运动时,s<A(因为平均速度小于

)。典例如图甲所示,物块M与m叠放在一起,以O为平衡位置,在a、b之间做简谐运动,两物块始终保持相

对静止,取向右为正方向,其振动的位移x随时间t变化的图像如图乙,则下列说法正确的是

(

)甲乙

A.在t1~

时间内,物块m的速度方向和所受摩擦力方向都沿负方向,且都在增大B.从t1时刻开始计时,接下来

内①,两物块通过的路程一定大于AC.在某段时间内,两物块速度增大时②,加速度可能增大,也可能减小D.两物块运动到最大位移处时,若轻轻取走m,则M的振幅不变,最大速度也不变B解析在t1~

内,物块m的位移x为正且在减小,由简谐运动回复力F=-kx得,m所受摩擦力方向沿负方向,且在减小;x-t图线的斜率为负且在增大,m的速度沿负方向且在增大,A错误。两物块在平衡位置时速度

最大,因此两物块从b→O的平均速率要小于从t1开始经

内的平均速率,所以从t1开始经

两物块通过的路程大于A,B正确。速度增大时,物块向平衡位置运动,加速度一定减小,C错误。当两物块运动到最大

位移处时将m轻轻取走,取走的m动能为零,系统总机械能不变,振幅不变,由于取走m后整体的质量减小,

故最大速度变大,D错误。信息解读①从t1时刻开始计时,此时物块在最大位移处和平衡位置之间,物块向平衡位置运动。

②速度增大,一定是向平衡位置运动。一题多变如果是两物块运动到平衡位置时取走m,M的振幅仍不变吗?提示:振幅会减小。02简谐运动的表达式及图像疑难点1.做简谐运动的物体的位移x随时间t变化的表达式x=Asin(ωt+φ)(1)ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量,叫作简谐运动的圆频率,它能反映简谐运动的快慢,ω=

=2πf。(2)ωt+φ代表简谐运动的相位。φ是t=0时的相位,叫作初相位。当初相位φ=0时,从平衡位置开始计时,则

有x=Asinωt,振动图像如图所示;当初相位φ=

时,从最大位移处开始计时,则x=Asin

=Acosωt。2.相位差若两个简谐运动的表达式分别为x1=Asin(ωt+φ1),x2=Asin(ωt+φ2),它们的圆频率相同,相位差为Δφ=(ωt+

φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1。勘破疑难根据振动图像写振动方程的实例分析。

名师总结(1)若Δφ=0,表明运动步调相同,即同相;(2)若Δφ=π,表明运动步调相反,即反相;(3)若Δφ=φ2-φ1>0,则称2的相位比1的相位超前Δφ,或者说1的相位比2的相位落后Δφ;(4)若Δφ=φ2-φ1<0,则称2的相位比1的相位落后|Δφ|,或者说1的相位比2的相位超前|Δφ|。典例1

(多选)如图,

轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向,物块做简谐运动的表达式为x=0.1sin2.5πtm①。t=0时刻,一小球从距物块h高处自由落下,t=0.6s时,小球恰好与物块处于同一高度②。取重力加速度大小为g=10m/s2,不计空气阻力,以下判断正确的是

(

)A.h=1.7mB.简谐运动的周期是0.8sC.0~0.6s内物块运动的路程是0.2mD.t=0.4s时,物块与小球运动方向相反AB解析物块做简谐运动的振幅A=0.1m,周期T=

=

s=0.8s,B正确。0~0.6s内物块由平衡位置向上运动至最大位移处,然后向下运动至负方向的最大位移处,则物块运动的路程为s=3A=0.3m,C错误。t=

0.4s=

,此时物块在平衡位置向下运动,物块与小球运动方向相同,D错误。t=0.6s时,物块的位移为x=-0.1m,即物块向下运动了0.1m,小球在0.6s内竖直向下落的位移H=

gt2=1.8m,由H=h+|x|,得h=1.7m,A正确。典例2如图所示为一弹簧振子甲的振动图像,试完成以下问题:

(1)写出该振子在任意时刻t的位移x的表达式;(2)另有一弹簧振子乙也做简谐运动,振幅为5

cm,周期与甲相同,乙的相位比甲落后

,请写出乙在任意时刻t的位移x的表达式,并在同一坐标系中画出乙运动的位移-时间图像。解析

(1)由题图可知,弹簧振子甲的振幅A甲=5cm,周期T甲=4s,则ω甲=

=

rad/s该振子在任意时刻t的位移x的表达式为x甲=5sin

cm当t=0时,x甲=-5cm,解得φ甲=

π可得x甲=5sin

cm(2)依题意可知,弹簧振子乙的振幅A乙=5

cm,周期T乙=4s,则ω乙=

=

rad/s又φ乙=φ甲-

π=

π

乙在任意时刻t的位移x的表达式为x乙=5

sin

cm当t=0时,有x乙=-5cm乙运动的位移-时间图像如图所示。答案

(1)x甲=5sin

cm

(2)x乙=5

sin

cm图见解析信息解读

点拨从题图中提取信息:

名师总结书写简谐运动表达式的思维流程:03简谐运动的周期性与对称性疑难点1.简谐运动的周期性做简谐运动的物体,每隔一段时间总重复前面的运动,也就是说其运动具有周期性。(1)若t2-t1=nT(n=1,2,3,…),则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,各个状态参量(位移、速度、加速度等)完

全相同。(2)若t2-t1=nT+

(n=0,1,2,…),则t1、t2两时刻振动物体的位置关于平衡位置对称,各个状态参量(位移、速度、加速度等)均大小相等,方向相反。(3)若t2-t1=nT+

(n=0,1,2,…)或t2-t1=nT+

(n=0,1,2,…),则当t1时刻振动物体到达最大位移处时,t2时刻物体到达平衡位置;当t1时刻振动物体在平衡位置时,t2时刻物体到达最大位移处;当t1时刻振动物体在其他

位置时,t2时刻物体到达何处要视具体情况而定。2.简谐运动的对称性举例如图所示,质点在A与B之间运动,O点为平衡位置,C和D两点关于O点对称

时间的对称性tOB=tBO=tOA=tAO,tOD=tDO=tOC=tCO,tDB=tBD=tAC=tCA速度的对称性(1)质点经过同一点(如D点)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反;(2)质点经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反位移和加速度的对称性(1)质点经过同一点(如C点)时,位移和加速度均相同;(2)质点经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,位移与加速度均大小相等,方向相反动能、势能、机械能的对称性(1)质点经过同一点(如D点)时,动能、势能、机械能均相等;(2)质点经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,动能、势能、机械能均相等图示名师总结关于简谐运动的对称性,总的来讲,一个是空间上的对称,一个是时间上的对称。(1)空间对称性做简谐运动的物体经过关于平衡位置对称的两位置时,加速度的大小相等,方向相反;速度的大小相等,

方向有时相同,有时相反,但动能一定相同。(2)时间对称性做简谐运动的物体,无论是从对称点回到平衡位置,还是从平衡位置运动到对称点,所用时间均相等;振

动物体往复通过同一段路程所用的时间相等。典例

(多选)一质点在平衡位置O点附近沿水平方向做简谐运动,若从质点通过O点时开始计时,经过0.

9s质点第一次通过M点①,再继续运动,又经过0.6s质点第二次通过M点②,该质点第三次通过M点③需再

经过的时间以及周期的可能值分别是

(

)A.1s

1.6s

B.1.2s

1.6s

C.2.4s

4.8s

D.4.2s

4.8s思路点拨

假设M点在O点右侧,开始计时后质点的运动分为两种情况:(1)质点由O点向右运动到M点,

如图甲所示;(2)质点由O点先向左运动再向右运动到M点,如图乙所示。结合运动图解,根据简谐运动的

周期(一次全振动对应的时间)概念以及简谐运动的对称性分析即可。AD解析若开始计时时质点向右运动,如图甲所示,由O→B所用的时间为0.9s+0.3s=1.2s,从O点向左运动

到A所用的时间也为1.2s,则质点第三次通过M点需再经过的时间为2tMO+2tOA=2×0.9s+2×1.2s=4.2s,质

点的运动周期为0.6s+4.2s=4.8s,D正确;若开始计时时质点向左运动,如图乙所示,从O→A→O→M→B

所用的时间为0.9s+0.3s=1.2s,为

个周期,则周期为1.6s,可知质点第三次通过M点需再经过的时间为1.6s-2tMB=1.6s-0.6s=1s,A正确。信息解读①未指明开始计时时质点运动方向,开始时质点可能靠近M点,也可能远离M点。②质点的运动方向与第一次通过M点时相反。③质点从第一次通过M点到第三次通过M点经历一次全振动。04简谐运动的判定疑难点简谐运动的回复力(1)定义:做简谐运动的物体偏离平衡位置后受到的迫使它回到平衡位置的力称为回复力。(2)命名:回复力是根据力的作用效果命名的。它可以是一个力,也可以是多个力的合力,还可以是某个

力的分力(回复力不一定是物体受到的合力)。如图甲所示,水平方向的弹簧振子,弹簧弹力提供回复力;如图乙所示,竖直方向的弹簧振子,弹簧弹力和重力的合力提供回复力;如图丙所示,A随B一起在光滑水平面上做简谐运动,A的回复力由B对其的静摩擦力提供。(3)方向:总是与位移x的方向相反,即总是指向平衡位置。(4)表达式:F=-kx,即回复力的大小与位移大小成正比,“-”表明回复力的方向与位移方向相反,k是一个

常数,由振动系统决定。

1.简谐运动的两个判定方法(1)运动学方法:找出振动物体的位移与时间的关系,若遵循正弦函数的变化规律,即它的振动图像(x-t图

像)是一条正弦曲线,就可判定此振动为简谐运动。(2)动力学方法:若回复力F与位移x间的关系满足F=-kx,则振动物体做简谐运动。2.用动力学方法判断物体是否做简谐运动的一般步骤(1)以平衡位置为原点,沿振动方向建立坐标轴。(2)在振动过程中任选一位置(平衡位置除外),对振动物体进行受力分析。(3)将力沿振动方向和垂直振动方向分解,求出振动方向上的合力。(4)判断振动方向上的合力与位移间的关系是否满足F=-kx。(k是一个常数,不一定等于弹簧的劲度系数。)

勘破疑难判定方法的实际应用

证明过程:当物块处于平衡位置O时,设弹簧的伸长量为l0,有kl0=mgsinθ,以O点为原点,沿斜面建立Ox轴,

取沿斜面向下为正方向,当物块偏离平衡位置O的位移为x时,有F=mgsinθ-k(l0+x)=mgsinθ-kl0-kx,解得F

=-kx,所以物块的运动为简谐运动。典例如图所示,轻质弹性绳一端系于P点,绕过Q处的小滑轮,另一端与质量为m、套在光滑竖直固定

杆A处的圆环相连,P、Q、A三点等高,弹性绳的原长恰好等于P、Q间距离①。圆环从A点由静止释放,

到达最低点C。重力加速度为g,弹性绳始终遵循胡克定律。证明:圆环做简谐运动。

解析设圆环向下运动到O点时受力平衡竖直方向有k|OQ|cos∠AOQ=mg即k|AO|=mg,|AO|=

当圆环运动到O点上方某点B时,相对于O点位移向上,合力向下合力大小F合=mg-k|BQ|cos∠ABQ即F合=mg-k|AB|=mg-k(|AO|-|OB|)=k|OB|同理可证,当圆环运动到O点下方某点时,合力向上,上述关系仍成立。故圆环做简谐运动。答案见解析信息解读①圆环与Q连线长度等于弹性绳伸长量。设弹性绳与竖直固定杆间夹角为θ,对圆环受力分析如图所

示。

05简谐运动中各物理量的变化规律易混易错1.如图所示,振动物体以O为平衡位置在A、B之间做简谐运动,各物理量的变化为:

A→OO→BB→OO→A位移大小减小增大减小增大方向O→AO→BO→BO→A回复力、加速度大小减小增大减小增大方向A→OB→OB→OA→O速度大小增大减小增大减小方向A→OO→BB→OO→A动能增大减小增大减小势能减小增大减小增大系统总能量不变不变不变不变2.简谐运动的能量:指振动系统的机械能,振动的过程就是动能和势能互相转化的过程。(1)在最大位移处,势能最大,动能为零。(2)在平衡位置处,动能最大,势能最小。

(3)决定能量大小的因素同一振动系统的机械能跟振幅有关,振幅越大,机械能就越大,振动越强。在简谐运动中,振动系统的机

械能守恒,所以简谐运动是等幅振动。方法技巧可通过如图x-t图像的斜率变化判断速度变化。

名师总结(1)简谐运动的回复力、加速度、位移和势能的大小变化同步,与速度、动能的大小变化相反。位移增

大时,回复力、加速度、势能都增大,速度、动能减小。(2)靠近平衡位置的过程中,振动物体的速度、动能变大,位移、回复力、加速度、势能均变小;远离平

衡位置的过程中,振动物体的速度、动能变小,位移、回复力、加速度、势能均变大。(3)平衡位置是位移、回复力、加速度三者方向变化的转折点;最大位移处是速度方向变化的转折点。

典例1

如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像,可以判定(

)

A.t1到t2时间内,系统的动能不断增大,势能不断减小B.0到t2时间内,振动物体的位移增大,速度增大C.t2到t3时间内,振动物体的回复力先减小再增大,加速度的方向一直沿x轴正方向D.t1、t4时刻振动物体的动能、速度都相同A解析

0到t2时间内,振动物体向平衡位置运动,位移x减小,速度增大,系统的动能不断增大,势能不断减

小,A正确,B错误;t2到t3时间内,振动物体的位移先增大再减小,所以回复力先增大再减小,加速度的方向

一直沿x轴正方向,C错误;t1和t4时刻振动物体的位移相同,即位于同一位置,速度等大反向,动能相同,D错

误。典例2如图所示,在倾角为θ的光滑固定斜面上将轻弹簧一端固定,弹簧另一端连接一质量为m的物体,

物体在斜面上做振幅为A的简谐运动①,当物体振动到最高点时,弹簧正好为原长②,弹簧在弹性限度内,重

力加速度大小为g,则物体在振动过程中,下列说法正确的是

(

)A.弹簧的最大弹性势能等于2mgAB.弹簧的弹性势能和物体的动能总和不变C.物体在最低点时的加速度大小应为2gsinθD.物体在最低点时的弹力大小应为2mgsinθD解析因物体振动到最高点时,弹簧正好为原长,此时弹簧的弹力等于零,则有mgsinθ=F回=kA,当物体在

最低点时,弹簧的弹性势能最大,物体从最高点运动到最低点,物体减少的重力势能全部转化为弹簧的

弹性势能,减少的重力势能等于2mgAsinθ,选项A错误;由能量守恒定律知,弹簧的弹性势能和物体的动

能、重力势能三者的总和不变,选项B错误;当物体在最低点时,由牛顿第二定律可得F回=mgsinθ=ma,解

得a=gsinθ,选项C错误;在最低点,对物体受力分析可知F-mgsinθ=F回,解得F=2mgsinθ,选项D正确。点拨根据题意可提取的信息如图:

信息解读①②如图所示

点拨最低点和最高点相距2A,且在最低点和最高点物体速度均为零。06简谐运动与力学综合问题高频考点简谐运动与动力学的综合考查是经典且高频的考点,这类题目通常侧重于受力分析、能量转化、图像

分析,需要具备良好的模型建构能力,根据题目信息中建立简谐运动模型,再利用适当规律求解。常用

答题策略:1.找平衡位置:这是解决这类问题的关键步骤。平衡位置是物体在振动方向上合力为0的位置,对弹簧

振子而言,不一定是弹簧原长的位置。2.列回复力方程(简谐运动模型建构):在偏离平衡位置x处进行受力分析,写出沿振动方向合力表达式,如

果能整理成F合=-kx,即可确认为简谐运动(或完整简谐运动的一部分)。3.利用对称性:关于平衡位置对称的点,速度大小相等、加速度大小相等、动能相等。4.结合牛顿第二定律:简谐运动问题中,通常需要判断加速度、受力情况,尤其是在最大位移处,经常涉

及临界极值问题,这就需要灵活应用牛顿第二定律,同时注意结合对称性。5.结合动量守恒定律:有些题目情境是先碰撞、再简谐运动,这就需要我们综合动量守恒定律求解,得出

碰后速度是关键步骤。常见情境如下。6.结合能量守恒定律:题目涉及能量问题时,要确定运动过程、初末状态,列能量守恒方程。(经常要用

到弹簧弹性势能表达式Ep=

kx2)7.弹簧振子模型涉及时间时,要想到弹簧振子周期公式T=2π

。此公式题目中一般会给出,要理解其物理意义并能灵活应用。知识拓展弹簧振子的周期推导:

1.参考圆(能量):考虑一个质点做匀速圆周运动,其在水平方向的投影相当于弹簧振子的运动,圆周运动的半径对应振幅

A,角速度对应ω,由机械能守恒可得

m

=

kA2,解得v0=

A,角速度ω=

=

,因此周期T=

=2π

。2.参考圆(力):

当质点和圆心连线与竖直方向的夹角为θ时,振子的位移x'=Rsinθ,则回复力大小F回=kx'=kRsinθ,圆周运

动的向心力F向=mω2R,由图可知F向sinθ=F回,则mω2Rsinθ=kRsinθ,得ω=

,因此周期T=

=2π

。典例如图所示,一轻质弹簧竖直固定在水平面上,劲度系数为k,质量为m的物体A拴接于弹簧上方,一

开始物体与弹簧处于静止状态。在物体A上方h=

高度处静止释放一个和物体A完全相同的物体B,B下落后与A发生完全非弹性碰撞但不粘连①。碰后A与B一同继续下降至最低点后反弹。重力加速度

为g,空气阻力不计。(注:振子质量为m、弹簧劲度系数为k的弹簧振子周期为2π

,弹簧的弹性势能为

kx2)求:(1)碰撞后第一次下降过程中,A和B的最大速度vmax;(2)物体A第一次下降的最大位移大小xA;(3)两物体第一次到达最高点的时间差Δt②。解析

(1)物体B先做自由落体运动,与A发生碰撞前,根据动能定理有mgh=

m

而后A与B发生完全非弹性碰撞,有vA1=vB1=v1根据动量守恒定律有,mvB0=2mv1物体A和B下降过程中所受合力为0时速度最大,初态时弹簧压缩量为x0=

A与B所受合力为0时,弹簧压缩量为x1=

碰后,对A和B由机械能守恒可得(以弹簧自然伸长时到达的位置为重力势能零点),

×2m

+

k

-2mgx0=

×2m

+

k

-2mgx1解得vmax=g

(2)当物体A和B下降至最低点时,速度变为0,根据机械能守恒,有

×2m

+

k

-2mgx0=0+

k

-2mgx2,解得x2=

所以物体A下降最大位移大小为xA=x2-x0=

(3)当物体A和B反弹至弹簧恢复原长时,两物体分离,根据机械能守恒,有

×2m

+

k

-2mgx0=

×2m

+0对于物体B,分离后做竖直上抛运动,从分离至最高点的时间tB=

=

对于物体A,分离后继续做简谐运动,能到达的最高点在弹簧原长的上方x4处,根据机械能守恒,有

m

=

k

+mgx4,解得x4=

结合物体A做简谐运动,平衡位置在弹簧原长下方x0=

处可知A、B分离瞬间物体A处于简谐运动振幅的一半位置,即相位为

,A到达最高点时位移等于振幅,相位为

,所以时间tA=

=

所以时间差Δt=tB-tA=

答案

(1)g

(2)

(3)

信息解读①②B下落后与A发生完全非弹性碰撞,有机械能损失,但二者不粘连,一起做简谐运动,到达平衡位置时

速度最大,继续运动到最低点后反弹,当弹簧恢复原长时,二者将分离,之后B做竖直上抛运动,A做简谐运

动,各自到达最高点。

另解从碰后共速到速度最大,合力从mg减小到0,且随位置均匀变化,由动能定理有

(x1-x0)=

×2m

-

×2m

,可得vmax=g

另解设振幅为A,从平衡位置到最低点,根据动能定理,有

kA2=

×2m

解得A=

则物体A下降最大位移大小为xA=A+(x1-x0)=

画图

07单摆模型物理模型1.单摆模型(理想化模型):一根没有弹性的长细线一端固定,另一端系一可看成质点的小球。2.实际摆看成单摆的条件(1)细线的形变量与细线的长度相比可以忽略;(2)细线的质量与摆球的质量相比可以忽略;(3)摆球的直径与细线的长度相比可以忽略;(4)空气阻力与摆球受到的重力及细线的拉力相比可以忽略。3.单摆的周期公式:T=2π

,l为摆长,g为单摆所在处重力加速度。注意:周期为2s的单摆叫作秒摆,秒摆的摆长约为1m;单摆的周期与振幅无关。单摆模型受力特点:1.回复力:摆球沿圆弧做往复运动,单摆的回复力由摆球的重力沿圆弧切线方向的分力提供,在摆角很小

(最大偏角θ小于5°)的情况下,摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比,方向总指向平衡位

置,因此摆球在摆角很小时做简谐运动,其振动图像遵循正弦函数规律。

2.向心力:摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力,F向=FT-mgcosθ。3.两点说明(1)当摆球在最高点时,速度为0,F向=

=0,FT=mgcosθ,回复力最大。(2)当摆球在最低点时,速度最大,F向=

,F向最大,FT=mg+m

,此时回复力为0。注意:单摆经过平衡位置时,回复力为零,但合外力不为零(此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力)。勘破疑难证明单摆做简谐运动:在摆角很小的情况下,sinθ≈θ=

≈

。单摆的回复力F=mgsinθ=-

x,其中x为摆球偏离平衡位置O点的位移,负号表示回复力与位移的方向相反。对于一个确定的单摆,m、l一定,令k=

,则F=-kx。由此可见,单摆在摆角很小的情况下的运动为简谐运动。典例力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。图甲中O点为单摆的固定悬点,现将摆球

拉至A点,此时细线处于张紧状态,释放摆球①,则摆球将在竖直平面内的A、B、C之间来回摆动。B点为

运动中的最低位置②,∠AOB=∠COB=θ,θ小于5°且是未知量。图乙是细线对摆球的拉力大小F随时间t

变化的关系图像,且图中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻,摆球可视为质点,重力加速度g=10m/s2,

空气阻力不计。下列说法正确的是

(

)A.此单摆的振动周期为0.2πsB.此单摆的摆长为0.4mC.此单摆摆球的质量为0.5kgD.此摆球运动过程中的最大速度为0.5m/sB解析小球在一个周期内两次经过最低点,小球在最低点时细线对摆球的拉力最大,结合题图乙可知此

单摆的振动周期为T=2×(0.3π-0.1π)s=0.4πs,A错误;根据单摆周期公式T=2π

,解得此单摆的摆长为l=0.4m,B正确;小球在最低点时,根据牛顿第二定律可得Fmax-mg=m

,小球在最高点时,根据牛顿第二定律可得Fmin=mgcosθ,小球从最高点到最低点,根据动能定理可得mgl(1-cosθ)=

m

,联立解得m=0.05kg,vm=

m/s,C、D错误。信息解读①细线拉力最小。②细线拉力最大。易错振动周期容易误读为0.2πs。08等效单摆物理模型1.摆长与等效摆长(1)由于实际的摆球不可能是质点,故摆长是指从悬点到摆球重心的长度。(2)等效摆长(l≫r)图(a)中,甲、乙两摆在垂直纸面方向摆动起来的效果是相同的,所以甲摆的等效摆长为lsinα,周期为T=

2π

。图(b)中,乙摆在垂直纸面方向摆动时,与甲单摆等效。图(c)中,小球在半径为R的一小段光滑圆弧内摆动,

≪R,等效摆长为圆弧的半径R,周期为T=2π

。

2.重力加速度与等效重力加速度(1)单摆所处的空间位置(纬度、高度)不同,g值不同。(2)等效重力加速度等效摆及条件等效重力加速度确定方法

g等效=g-a当单摆在平衡位置“停摆”时,

摆线的拉力与摆球质量之比

g等效=g+a

g等效=gsinθ

g等效=

当摆球受到的除重力、拉力以

外的其他力为恒力时,采用等效

法,将重力和恒力的合力等效为

重力

g等效=

g等效=g当摆球受到的除重力、拉力以

外的其他力的方向总是与速度

方向垂直时,等效重力加速度仍

为g,即T不变

g等效=g类比拓展圆锥摆模型

受力特点:摆球只受两个力,即竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力FT。两个力的合力就是摆球做圆周运动的

向心力Fn,如图所示。运动周期:由Fn=man=mgtanθ=m

lsinθ,解得T=2π

=2π

。知识拓展把一个摆钟置于正在运行的空间站中,其摆锤会不会正常摆动?答案是不会。因为处于完全失重状态,g等效=0。

典例如图所示,ACB为光滑弧形槽,弧形槽半径为R,C为弧形槽最低点,R≫

。甲球从弧形槽的圆心处自由下落②,乙球从A点由静止释放,不计空气阻力。

(1)求两球第1次到达C点所用的时间之比;(2)若小球甲在弧形槽最低点C的正上方h处自由下落,同时将乙球从圆弧左侧A点由静止释放,欲使甲、

乙两球在弧形槽最低点C相遇③,则甲球下落的高度h是多少?解析

(1)甲球做自由落体运动,由R=

g

,解得t1=

乙球沿弧形槽做简谐运动(类单摆),等效摆长为R,乙球第1次到达C处所用的时间为t2=

T=

×2π

=

所以t1∶t2=2

∶π(2)甲球从弧形槽最低点C的正上方h处自由下落,到达C点所用的时间为t甲=

。由于乙球的运动具有周期性,所以乙球到达C点所用的时间为t乙=

+n×

=

(2n+1)(n=0,1,2,…)由于甲、乙两球在C点相遇,故t甲=t乙解得h=

(n=0,1,2,…)答案

(1)2

∶π

(2)

(n=0,1,2,…)信息解读根据题意可得到的信息如图:点拨由于

≪R,可认为摆角θ<5°,可等效为一个摆长为R的单摆模型。09用单摆测量重力加速度的数据处理及分析高频考点1.测量摆长:用刻度尺量出悬线长l'(准确到mm),用游标卡尺测出摆球的直径d,则摆长为l=l'+

。2.测量周期:摆球经过最低位置时,用秒表开始计时,测出单摆完成30次