1.4.1空间中直线、平面的垂直++第3课时课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1第3课时空间中直线、平面的垂直第一章空间向量与立体几何学习目标1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系.3.体会直线的方向向量和平面的法向量的作用.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识全过关知识点空间中直线、平面垂直的向量表示设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则

u1⊥u2u1·u2=0u∥n

u=λn

n1⊥n2n1·n2=0AI·思考辨析参考线面垂直的判定定理,还可以如何用向量法证明线面垂直?提示

可先求出平面内两个不共线的向量,然后证明直线的方向向量与这两个不共线的向量的数量积均为0.体验新知1.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,m),若l1⊥l2,则实数m等于(

)

A.1 B.2

C.3

D.4B解析

因为l1⊥l2,所以a⊥b,则a·b=-2+6-2m=0,解得m=2.故选B.

C解析

当m=(1,2,0)时,m·n=0,故C选项符合题意.

3.(北师大版教材习题)已知l为直线l的方向向量,n为平面α的法向量,且l⊄α,判断直线l与平面α的位置关系是平行还是垂直.(1)l=(-1,1,1),n=(1,4,-3);(2)l=(-1,3,2),n=(2,-6,-4).

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.

重难探究·能力素养速提升能力提升点一利用向量方法证明线线垂直【例1】

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,F是PB的中点,点E在棱BC上移动.求证:无论点E在棱BC上的何处,都有PE⊥AF.思路分析

只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可.

例题探究1

(变结论)本例条件不变,求证:AF⊥BC.

例题探究2

(变结论)本例条件不变,求证:AF⊥FE.

能力提升点二利用向量方法证明线面垂直【例2】

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.

变式训练2(北师大版教材习题)如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,棱长AB=AD=2,AA'=3,点E是平面BCC'B'上的动点,点F是CD的中点.试确定点E的位置,使D'E⊥平面AB'F.能力提升点三利用向量方法证明面面垂直

变式训练3

(2026陕西高二期末)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点.(1)求证:A1E⊥BD;(2)若平面A1BD⊥平面EBD,求证:E为CC1的中点.

本节要点归纳1.知识清单:(1)直线与直线垂直的向量表示;(2)直线与平面垂直的向量表示;(3)平面与平面垂直的向量表示.2.方法归纳:转化法、法向量法.3.常见误区:容易混淆直线的方向向量、平面的法向量之间的关系与线面间的垂直关系的对应.学以致用·随堂检测促达标1.下列命题中真命题的个数为(

)①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔n1·n2=0;②若n是平面α的法向量,a与平面α平行,则n·a=0;③若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面不垂直.A.1

B.2

C.3 D.01234C512345

B解析

因为α⊥β,则a⊥b,即a·b=-x+(-1)×2+4×(-2)=0,解得x=-10.

12345

B

123454.(AI原创)直线l的方向向量为d=(-1,-2,k),平面α的法向量为n=(2,4,-8),且l⊥α,则k的值为

.

4

5.如图,在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF⊥平面ABC.12345证明

建立空间直角坐标系,如图,设A(0,0,a),