人教版初中数学九年级上册“用列举法求概率”教案

人教版初中数学九年级上册“用列举法求概率”教案

一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本节课属于“统计与概率”领域，核心在于引导学生从定性描述可能性转向定量刻画概率，是初中阶段概率学习的深化与规范化起点。在知识图谱上，学生已初步感知“随机事件”与“可能性大小”，本课旨在建立古典概型（等可能事件）的量化计算模型——“列举法”，为后续学习频率估计概率及更复杂的概率问题奠定坚实的思维与方法基础。其认知要求从“理解”列举法的原理，上升到“应用”该方法解决实际问题，思维跨度显著。课标蕴含的“模型思想”与“数据意识”在本课尤为凸显，教学过程应转化为学生主动构建“将所有等可能结果一一列出”这一数学模型的活动，经历从具体情境抽象出数学结构，再应用于新情境的完整建模过程。这一知识载体背后，更指向“理性精神”与“严谨求实”态度的培育——概率计算要求思维的有序与完备，任何重复或遗漏都将导致错误，这正是培养学生逻辑缜密性与做事条理性的绝佳契机。

基于“以学定教”原则，学情研判需立体化。学生的已有基础是知道有些事件发生可能性大，有些小，并初步接触了古典概型的简单实例（如抛硬币）。然而，潜在的认知障碍主要体现在三方面：一是对“等可能性”这一核心前提的忽视，易将其滥用至非等可能情境；二是在列举所有可能结果时思维无序，导致重复或遗漏；三是难以从具体列举中抽象出普适性的方法与步骤。为动态把握学情，教学将通过前测性问题（如判断情境是否适用古典概型）、核心任务中的观察（如小组列举结果是否完整）、随堂练习的错例分析进行过程性评估。基于此，教学调适策略包括：针对基础薄弱学生，提供列举的“脚手架”（如结构化的表格模板、分步操作的引导语）；针对多数学生，通过对比错误列举与正确列举，强化有序思维；针对学有余力者，挑战稍复杂的非对称情境（如两步操作中某一步有多个等可能结果但另一步没有），促使其深化对“等可能性”与“模型适用条件”的理解。

二、教学目标

知识目标方面，学生将能准确叙述古典概型（等可能事件）的特征与概率计算公式P(A)=m/n；能清晰阐释列举法的基本原理（即通过不重不漏地列出所有等可能结果n，及事件A包含的结果m来计算）；并能在具体情境中，区分何时适用古典概型及列举法。这不仅仅是记忆公式，更是对概率计算模型成立条件的深度理解。

能力目标聚焦于数据意识与逻辑推理能力。学生将能够针对简单的两步随机试验（如抽签、掷骰子、转转盘），独立、规范地运用列表法或画树状图法，系统、有序地列出所有等可能结果，并据此准确计算指定事件的概率。这一过程，是数学建模能力在概率领域的初步体现。

情感态度与价值观目标旨在培养学生的理性精神与严谨态度。通过小组合作列举与互查，学生将体会到思维周密的重要性，并在交流中养成倾听、审辨他人思路的习惯；通过解决贴近生活的概率问题，初步感受数学的实用价值，激发进一步探究的兴趣。

科学（学科）思维目标的核心是发展学生的模型思想与有序思维。本节课将引导学生经历“识别模型前提（等可能）→选择建模工具（列表或树状图）→执行模型操作（有序列举）→解释模型结果（计算概率）”的完整思维链条，将“不重不漏”的列举原则内化为一种程序化的思考方式。

评价与元认知目标关注学生的反思性学习能力。设计引导学生依据“列举是否完整、有序、对应正确”这一简易量规，对同伴或自己的列举过程进行评价；并在课堂小结时，反思“列表法”与“树状图法”各自的优势与适用情境，初步形成根据问题特征选择合适方法的策略意识。

三、教学重点与难点

教学重点是列举法的原理与规范应用步骤。其确立依据源于课程标准的“内容要求”明确要求学生“能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，从而求事件的概率”，这构成了概率定量化学习的核心技能。从学业评价导向看，该知识点是中考概率部分的基石，题型从直接应用到复杂情境融合，分值稳定且重在考查学生思维的条理性与严谨性。掌握规范的列举法，是后续求解任何复杂古典概型问题的通行证。

教学难点在于学生深刻理解“等可能性”前提，并在实际操作中确保列举的“不重不漏”。成因在于：首先，“等可能性”是一个隐含的前提假设，学生容易在解决实际问题时忽略对情境是否满足该条件的判断，直接套用公式。其次，当试验步骤多于一步时，学生的思维容易陷入混乱，缺乏系统化的组织策略，导致列举结果出现重复或遗漏。预设依据来自常见作业与考试分析，学生在概率计算题上的失分，大多源于列举不全或误判了等可能结果总数。突破方向在于，设计对比性活动和正误辨析，强化对“等可能”的审视，并通过提供列表、树状图等结构化工具，搭建思维“脚手架”。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：精心设计的多媒体课件，内含问题情境动画（如抽奖转盘）、规范的列表与树状图分步演示、分层练习题组。

1.2学习材料：设计并印制“学习任务单”，包含前测问题、核心探究任务记录区、分层练习区及课堂小结框架。

2.学生准备

2.1课前预习：简单回顾“必然事件”、“随机事件”、“可能性大小”的描述性说法。

2.2学具准备：携带常规文具，建议准备彩色笔用于标注树状图的不同分支。

3.环境准备

3.1座位安排：教室桌椅调整为便于4人小组合作讨论的形式。

3.2板书记划：预留主板书区域，规划为“核心概念区”、“方法步骤区”、“范例展示区”和“学生生成区”。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境激疑，引出课题：“同学们，生活中我们常说‘概率很大’或‘机会很小’，那这个‘概率’到底怎么算出来的呢？看大屏幕：某商场‘十一’促销，设计了一个双色球抽奖转盘。游戏规则是：顾客先后转动两个转盘（第一个转盘分成红、黄、蓝三等份；第二个分成红、黄两等份），当两个转盘停止后，指针所指区域颜色一致即可获奖。请问：获奖的概率是多少？”（利用动画演示转动过程）

1.1提出问题，唤醒旧知：“大家先凭直觉猜一猜，获奖机会大吗？我们之前学过，概率是事件发生的可能性大小的数值度量。在这个游戏里，所有可能出现的结果是‘等可能’的吗？——是的，因为转盘质地均匀。那么，我们怎样才能把所有可能的结果一个不落地找出来，再数出其中获奖的情况呢？这就是我们今天要攻克的核心问题：用‘列举法’来精确计算概率。”

1.2明晰路径：“本节课，我们将化身‘概率分析师’，首先一起探索如何系统、清晰地‘列举’所有可能（这就是‘列表法’和‘树状图法’），然后总结出计算概率的规范步骤，最后用你们学到的本领去分析更多生活中的概率问题。准备好了吗？让我们开始探究！”

第二、新授环节

###任务一：初探列举——从具体结果到系统整理

教师活动：首先，聚焦导入中的转盘问题，引导学生进行无序思考。“我们先不考虑顺序，随意想想，转动两个转盘，可能会出现哪些颜色组合呢？哪位同学来说说看？”（板书学生说出的无序组合，如红红、黄黄等）。接着，引发认知冲突：“大家看看，我们这样你一言我一语，容易说全吗？会不会有重复或漏掉的？感觉有点乱对不对？我们需要一种更系统、更不会出错的方法。”然后，教师示范引导：“既然转动有先后顺序，我们可以把第一步转第一个转盘的所有可能结果（红、黄、蓝）先固定下来，然后对每一种情况，再去考虑第二步转第二个转盘的可能。这就像我们走路，先确定第一条主干道，再走后面的分支。”

学生活动：学生首先自由发言，说出想到的颜色组合，体验无序列举的混乱感。接着，跟随教师的引导思路，尝试在草稿纸上进行有序思考：先写下第一个转盘的三种可能，然后针对每一个颜色，思考第二个转盘带来的两种可能。他们会初步体验到“先分步，再组合”的思考顺序。

即时评价标准：1.能否说出至少三种正确的颜色组合。2.在教师引导后，能否理解“分步固定”的思考方向。3.小组内交流时，是否能倾听同伴的不同列举方式。

形成知识、思维、方法清单：

★列举法的必要性：当随机试验的可能结果较多，或涉及多个步骤时，需要一种系统的方法来确保不重不漏地列出所有等可能结果，这是准确计算概率的前提。“感觉乱，就需要找方法”是本节课的逻辑起点。

▲有序思维的起点：面对多步骤试验，最自然的思考顺序是“分步处理”。这是后续构建列表法和树状图法的思想基础。

###任务二：建构列表法——让所有结果“一览无余”

教师活动：“如何把我们刚才分步思考的结果清晰地展示出来呢？数学家发明了一个好工具——表格。”教师课件动态演示创建表格的过程：“我们在第一行写下第一个转盘（先转的）的所有可能：红、黄、蓝。在第一列写下第二个转盘（后转的）的所有可能：红、黄。然后，每一个格子就代表一种可能的结果组合。”带领学生一起填写表格内容。“看，这个表格像什么？是不是像一个棋盘，把所有的‘棋子’（可能结果）都摆在了正确的位置上？现在，请大家数一数，总共有多少种不同的结果？（6种）其中，颜色相同的有哪些格子？（红红、黄黄）一共有几种？（2种）所以，获奖概率P=？”引导学生得出2/6=1/3。强调：“列表法特别适合两步试验，而且每一步的结果数不宜太多，这样看起来非常直观。”

学生活动：学生在任务单上同步绘制表格，并填写内容。在教师引导下，从表格中数出所有等可能结果数(n=6)和事件“颜色相同”包含的结果数(m=2)，计算概率。直观感受列表法在呈现两步试验结果时的清晰性与完整性。

即时评价标准：1.绘制的表格结构是否正确（行列对应正确的转盘）。2.表格内容填写是否准确无遗漏。3.能否准确从表格中读取所需数据并计算概率。

形成知识、思维、方法清单：

★列表法的操作规范：适用于涉及两个因素（或两步）的试验。通常将其中一个因素的所有可能结果作为表格的行，另一个作为列，表格内部交叉点即为所有可能的结果。规范的操作是准确性的保障。

★概率计算公式P(A)=m/n的首次正式应用：在列举出所有等可能结果（n个）和事件A包含的结果（m个）后，代入公式计算。强调分子分母必须基于同一个等可能结果集合。

###任务三：引入树状图法——展示动态的“决策树”

教师活动：提出新情境：“刚才的转盘问题，用列表法很漂亮。现在我们升级挑战：小明有三件不同颜色的上衣（红、黄、蓝）和两条不同颜色的裤子（黑、白），他随机搭配一套衣服，恰好穿上红上衣白裤子的概率是多少？”引导学生思考：“这还是两步选择，但第一步有3种可能，第二步有2种可能。除了列表，还有别的‘可视化’方法吗？”引入树状图：“我们可以像画一棵生长的树一样来表示。”教师在黑板或课件上示范画法：从一个起点开始，分出3条主干（代表3件上衣），从每条主干末端再分别分出2条分支（代表2条裤子）。“每条从树根到树梢的路径，就是一种搭配方案。大家数一数，一共有多少条路径？（6条）其中，红上衣白裤子对应哪条路径？所以概率是？”对比列表法：“树状图像不像是把思考过程一步步画出来了？它尤其适合步骤清晰、层次分明的试验。”

学生活动：观察教师绘制树状图的过程，理解其“分层次展开”的含义。跟随教师一起数出路径总数（6条），并找到目标路径。在任务单上尝试自己绘制一个简单的树状图（如抛一枚硬币两次），感受其动态生成的过程。

即时评价标准：1.能否理解树状图中“层次”与“步骤”的对应关系。2.能否正确数出所有路径（可能结果）的数量。3.绘制的树状图是否层次清晰、标注明确。

形成知识、思维、方法清单：

★树状图法的操作规范：适用于两步或两步以上的试验。从同一“树根”开始，第一层分枝表示第一步的所有可能结果；从第一层每个末端点引出第二层分枝，表示在第一步某个结果下第二步的所有可能，以此类推。每条“路径”对应一个最终结果。

▲两种方法的直观对比：列表法呈现结果“静态全局”，树状图展示过程“动态生成”。它们都是实现“有序、不重不漏”列举的工具，本质相通。

###任务四：方法对比与优化选择

教师活动：组织小组讨论：“列表法和树状图法，各有什么优势和特点？你会在什么情况下优先选择哪一种？”教师巡视，听取讨论。然后请小组代表分享观点。教师总结提炼：“列表法结果集中，便于查找对比，适合两步且每步结果数不多的情况。树状图过程清晰，能很好体现事件的先后或层次顺序，对于两步以上或需要展示思考过程的题目尤为方便。它们没有绝对优劣，就像我们工具箱里的螺丝刀和扳手，根据问题的‘形状’来选择最顺手的工具。”出示一个三步试验的简单例子（如抛三次硬币），让学生直观感受树状图的优势。

学生活动：以小组为单位，结合刚才两个例题的解决经验，讨论两种方法的异同和适用情境。积极发表自己的看法，并倾听、补充同伴的意见。在教师展示三步试验时，直观认识到树状图在解决多步问题时的扩展性优势。

即时评价标准：1.讨论是否围绕方法特点展开，而非闲聊。2.分享的观点是否有具体例子作为依据。3.能否理解“根据问题特征选择方法”这一策略思想。

形成知识、思维、方法清单：

★方法选择策略：初步形成根据问题特征（试验步数、结果的多少、是否需要展示过程）灵活选择列举工具的意识。这是将具体技能升华为策略性知识的关键一步。

★“不重不漏”原则的再巩固：无论选用哪种方法，最终目的都是实现不重复、不遗漏地列出所有等可能结果。这是列举法有效性的生命线。

###任务五：归纳步骤与辨析前提

教师活动：引导学生一起回顾上述解题过程，提炼出运用列举法求概率的一般步骤。可以这样引导：“我们解决这几个问题，好像都走了相似的几步，谁能试着总结一下？”学生发言后，教师板书规范步骤：1.审：判断是否为等可能事件，明确试验步骤。2.列：选择合适方法（列表或画树状图），列出所有等可能结果，求出n。3.找：在列举结果中找出事件A包含的结果，求出m。4.算：代入公式P(A)=m/n计算。特别强调第一步“审”的重要性。出示一个反例：“一个袋子里有红球3个，白球1个，摸出一个球是红球的概率能用3/4吗？为什么？”引导学生辨析：因为摸到每个球的可能性不同（不是等可能），所以不能直接用这个公式，从而加深对古典概型前提的理解。

学生活动：参与步骤的归纳总结，尝试用精炼的语言描述每一步。积极思考反例问题，认识到“等可能性”是使用列举法及公式P(A)=m/n的先决条件，并非所有概率问题都能直接套用。

即时评价标准：1.归纳的步骤是否完整、逻辑清晰。2.能否明确指出反例中不能直接使用公式的原因在于“等可能性不成立”。

形成知识、思维、方法清单：

★运用列举法求概率的规范四步骤：“审、列、找、算”。这是一个程序化的解题框架，有助于学生规范书写和思考。

★古典概型的核心特征（等可能性）：这是本节课所有理论与方法应用的前提。必须首先判断事件是否满足“每一个基本事件发生的可能性相等”，才能应用本课所学方法。忽视这一点是常见错误根源。

第三、当堂巩固训练

巩固训练将提供分层、变式的题组，并融入及时反馈。

1.基础层（直接应用）：“同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求恰好一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率。”（要求：必须规范使用列表法或树状图法书写过程）。反馈：教师巡视，选取一份使用不同方法的规范作答进行投影展示，强调步骤完整性。

2.综合层（情境变式）：“从甲、乙、丙三人中随机选两人担任‘文明监督员’，求甲被选中的概率。”此题关键在于将“无序选出两人”转化为有序操作（如先选一人，再选另一人）以适应列举法，或理解所有等可能结果为{甲,乙}、{甲,丙}、{乙,丙}。反馈：小组内先互查列举结果是否正确。教师请有不同思路的学生上台讲解，重点辨析如何将实际问题“模型化”为等可能试验。

3.挑战层（条件拓展）：“设计一个转盘游戏：使得转动一次，指针落在红色区域的概率为1/3，请画出你的设计图（至少给出两种不同方案）。”此题开放，考查对概率含义的逆向理解。反馈：请完成的学生展示其设计，并解释是如何保证概率为1/3的，教师点评其设计的合理性与创造性。

第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结与元认知反思。

“同学们，这节课的探索之旅接近尾声。请大家闭上眼睛回忆一分钟，然后完成学习任务单上的小结部分：（1）本节课我们学到了哪两种主要的列举方法？它们像什么工具？（2）用列举法求概率，我们一共要走稳哪四步？其中最容易忽略的是哪一步？（3）在小组合作中，你从同学身上学到了哪种清晰的思考方式？”请几位学生分享他们的总结。教师最后升华：“数学为不确定性世界提供了确定的思考方式。列举法，就是通过我们的有序思考，把‘可能’变成‘可数’，进而变成‘可算’。它教会我们的，不仅是算概率，更是一种严谨、有条理的生活与处事态度。”

作业布置：1.必做（基础+综合）：教材课后练习题，要求规范书写步骤。2.选做（探究）：调查你感兴趣的一项抽奖或游戏活动（如扑克牌游戏、手游抽卡），尝试用今天所学知识分析其中某个简单事件的获奖概率，并思考其设计是否公平。下节课我们将分享大家的调查发现。

六、作业设计

1.基础性作业（必做）：完成课本本节后练习题第1、2、3题。要求：清晰写出“审、列、找、算”四个步骤，其中“列”的环节必须规范呈现列表或树状图。目的：巩固列举法的基本操作和规范书写格式。

2.拓展性作业（建议大多数学生完成）：一道情境应用题：“小颖有两套不同的运动装（上衣和裤子配套），三双不同的运动鞋。她早晨随机选择一套衣服和一双鞋，求上衣、裤子、鞋子恰好都配套的概率。”此题涉及两步选择，但第一步（选套装）的结果本身是复合的，需要仔细分析等可能结果总数。目的：在稍复杂的情境中应用列举法，提升分析能力。

3.探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：微型项目“我是游戏设计师”：设计一个包含两个步骤的简单概率游戏（例如，涉及掷骰子、抽卡片等），并计算游戏中某个特定事件（如玩家获胜）的概率。要求写出详细的游戏规则，并用列举法展示概率计算过程，最后分析游戏的公平性或吸引力。目的：综合应用知识，体现数学建模与创新的结合。

七、本节知识清单、考点及拓展

★古典概型：如果一个试验满足：（1）所有可能的结果是有限个；（2）每一个结果出现的可能性相等。那么该试验的概率模型称为古典概型。它是本节方法的应用前提。

★概率计算公式（古典概型）：P(A)=事件A包含的等可能结果数(m)/所有等可能结果的总数(n)。核心在于准确确定m和n。

★列举法：为了不重不漏地得到所有等可能结果数n和事件A的结果数m，所采用的系统性列举方法。本质是分类、分步计数原理的直观应用。

★列表法：将试验中涉及的两个因素（或两步操作）的所有可能分别作为行和列，在表格交叉点列出所有组合结果。要点：明确行列各代表哪个因素；确保每个单元格代表一个等可能结果。适用于两步试验。

★树状图法：从同一初始点开始，分层画出每一步的所有可能结果，形成树状结构。从起点到每一个终点的路径代表一个可能结果。要点：层次清晰，标注明确。适用于两步及两步以上试验，能清晰展示过程。

▲方法选择策略：两步试验且结果便于表格呈现时常用列表法；试验步骤清晰、层次多或需展示过程时常用树状图法。鼓励先思考，后选择。

★解题一般步骤（四字诀）：审（等可能？分几步？）→列（选方法，列出所有，求n）→找（找事件A的结果，求m）→算（代入公式计算）。

▲易错点1–忽视等可能性：未经验证直接套用公式。例如，质地不均匀的骰子、数量不等的不同颜色球等问题。

▲易错点2–列举重复或遗漏：思维无序导致。解决的关键是借助列表或树状图工具，强制实现有序思考。

▲易错点3–混淆有序与无序：如从三人中选两人，若人无区别则是无序组合{甲,乙}、{甲,丙}、{乙,丙}；若需分正副班长则是有序排列（甲,乙）与（乙,甲）不同。列举前必须明确问题中的对象是否有序。

▲与后续知识联系：古典概型是概率论的基础模型。高中将进一步学习排列组合公式来快速计算n和m，但列举法提供的直观理解与有序思维是根本。频率估计概率则是另一条求概率的路径，适用于非等可能或结果无限的情况。

八、教学反思

本课设计力图深度融合结构化教学模型、差异化支持与素养导向。回顾假设的实施过程，得失与改进构想如下。

（一）目标达成度评估与环节有效性分析

从预设目标看，“知识”与“能力”目标达成路径最清晰。通过五个递进任务的探究，绝大多数学生应能掌握列表与树状图的规范操作，并完成基础计算。“哦，原来画个树杈就能把那么多情况理清楚！”此类学生感叹是思维可视化的成功体现。导入环节的转盘游戏起到了预期作用，成功制造了“知道要算，但不知如何系统算”的认知冲突。新授环节中，“任务二”与“任务三”的范例教学是重中之重，教师的规范示范与学生同步模仿至关重要。“任务四”的方法对比讨论若时间掌控不好易流于表面，需设计更具体的对比项（如“解决‘抛三次硬币’问题，用哪种方法更快？为什么？”）来引导深度思考。巩固环节的分层设计照顾了差异，但挑战题的设计需确保与核心知识强相关，避免过度发散。

（二）对不同层次学生的表现