初中数学九年级上册《用列举法求概率》第一课时教案

初中数学九年级上册《用列举法求概率》第一课时教案

一、教学内容分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段（7-9年级）的“统计与概率”领域明确要求，学生能“通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，从而了解并获得事件的概率”。本节内容“用列举法求概率”是概率知识从定性感知（可能性大小）迈向定量刻画（概率值计算）的关键一步，承载着将随机现象数学化、模型化的重要使命。从单元知识链看，它既是前序“概率初步”概念的深化应用，又为后续学习用频率估计概率以及更复杂的概率模型（如涉及两步以上的随机事件）奠定了方法论基础。其核心概念在于理解“等可能性”这一古典概型的前提，掌握通过“不重不漏”地列举所有等可能结果来计算概率的基本路径。这一过程蕴含着深刻的分类讨论、化繁为简（将复杂事件分解为基本事件）以及有序思考的数学思想方法，是培养学生逻辑推理能力和数据观念（分析随机现象）的绝佳载体。其育人价值在于，引导学生以理性、严谨的数学工具面对世界的不确定性，形成实事求是、有条理解决问题的科学态度。

我所面对的九年级学生，已经初步了解了随机事件、必然事件、不可能事件的概念，对概率的意义有了一定的定性认识，知道概率是描述事件发生可能性大小的一个数。然而，从定性描述跃迁到精确计算，学生普遍存在两个思维障碍点：一是对“等可能性”这一隐含前提的敏感性不足，容易忽略应用列举法的先决条件；二是在列举所有可能结果时，缺乏系统性策略，易犯重复或遗漏的错误。他们的思维活跃，乐于参与游戏和情境活动，但严谨、有序的逻辑思维习惯尚在形成中。因此，本节课的教学必须创设具有认知冲突的情境，引导学生亲历“为何要列举”以及“如何确保列举完整”的探究过程。我将通过设计梯度任务、组织合作辨析、利用学习任务单搭建“脚手架”等方式，实现对不同思维层次学生的精准支持。在课堂中，我将通过巡视观察、追问、选择性展示学生作品等形成性评价手段，动态诊断学情，并及时调整讲解的深度与进度，确保核心概念得以扎实构建。

二、教学目标

知识目标：学生能准确理解用列举法求概率的前提是确保每个基本事件发生的可能性相等。他们能清晰表述并规范应用“直接列举法”与“列表法”的步骤：首先明确试验中所有等可能的结果总数n，其次找出事件A包含的结果数m，最终利用公式P(A)=m/n计算概率。达成这一目标意味着学生能将抽象的求解过程结构化、程序化。

能力目标：在解决具体概率问题时，学生能够主动、有序地运用列举策略，特别是面对涉及两个因素（如掷两枚骰子、两个转盘）的问题时，能自主构建二维表格（列表法），系统、清晰地呈现所有可能结果，从而发展逻辑分类、系统思维和规范表达的能力。

情感态度与价值观目标：通过从生活游戏到数学建模的探究过程，激发学生对概率学习的兴趣。在小组合作与交流辨析中，培养学生勇于表达、严谨求实、乐于分享的数学学习态度，体验数学工具在解决现实不确定性问题中的力量与理性之美。

科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的分类讨论思想和模型建构思维。具体表现为，学生能够将一个看似复杂的随机事件，依据确定的标准（如对象的类别、步骤的顺序）分解为若干个互斥且完备的基本事件，并选用合适的数学模型（列表）予以表征，实现从具体情境到抽象数学结构的转化。

评价与元认知目标：在练习与小结环节，引导学生依据“列举是否等可能、是否有序、是否完整”的标准，对解题过程进行自我评价与同伴互评。鼓励学生反思：“我选择的列举方法是最清晰的吗？”“我还有没有遗漏的情况？”从而提升对自身思维过程的监控与调节能力。

三、教学重点与难点

教学重点：掌握用列举法（特别是列表法）求等可能条件下随机事件概率的原理与规范步骤。

确立依据：从课程标准看，列举法是求解古典概型概率最基本、最核心的方法，是后续概率学习的基石，属于必须掌握的“大概念”。从学业评价看，它是中考的必考考点，且常作为综合题的起点，直接考查学生逻辑的严密性和思维的条理性。因此，确保每位学生理解原理、掌握规范步骤，是本节课成败的关键。

教学难点：如何确保在列举所有可能结果时做到“不重不漏”，尤其是在涉及两个关联因素时，能自觉、有序地运用列表法进行系统分析。

预设依据：基于学情分析，九年级学生的思维由具象向抽象过渡，系统性、条理性尚待加强。常见错误表现为：凭感觉罗列导致遗漏；对两个因素产生的结果进行简单“拼接”时顺序混乱，造成重复计数。难点成因在于，学生未能内化“有序思考”这一策略，也未建立起将两个维度结果进行“配对组合”的清晰数学模型。突破方向在于，通过对比不同列举方式的优劣，引导学生亲身感受无序列举的弊端，从而自发产生对有序、系统方法的需求。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：多媒体课件（内含“幸运转盘”情境动画、例题、练习题及课堂小结框架）；实物投影仪。

1.2学习材料：设计并印制分层《课堂学习任务单》（包含探究活动记录、分层练习题、自我评价表）。

1.3环境布置：将学生分为4-6人异质小组，便于合作探究与讨论。

2.学生准备

2.1课前预习：复习“概率的意义”，思考“如何知道一个事件发生的精确概率”。

2.2学具准备：带齐笔、尺、草稿纸。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境激趣，引出问题：（播放“幸运转盘”动画：转盘被均分为红、黄、蓝三个扇形区域）“同学们，假如商场举行抽奖，转盘指针落在红色区域就能中奖。凭感觉，你觉得中奖概率有多大？”“嗯，很多同学说大概是三分之一。那如果规则改成：连续转两次，两次都停在红色区域才算中奖。这时中奖的可能性又有多大呢？还能一眼看出来吗？”

2.制造冲突，明确目标：“感觉可能不太可靠了。当事件变得稍微复杂，我们就需要一个可靠的计算方法。今天这节课，我们就来学习一种化‘不确定’为‘确定’的数学工具——用列举法求概率。它能帮我们像做加法一样，把复杂事件拆解清楚，算出精确的概率值。让我们先从简单的情形开始探究。”

第二、新授环节

本环节将遵循“从直观到抽象，从单一到综合”的认知规律，设计五个递进式探究任务，引导学生在解决问题的过程中自主建构列举法的原理与策略。

###任务一：从生活实例抽象数学模型

教师活动：首先，提出问题1：“一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三个除颜色外完全相同的小球，随机摸出一个，摸到红球的概率是多少？”引导学生回顾直接计算法（P=满足条件的结果数/所有等可能结果数）。紧接着，抛出问题2：“如果随机摸出两个球，摸出的两个球颜色恰好是一红一黄的概率是多少？”教师暂停讲解，说：“大家先别急，自己试着想想所有可能摸出的情况。可以动笔写一写、画一画。”

学生活动：独立思考，尝试用文字、符号或简单图示列举出从三个球中摸出两个的所有可能结果。完成后在小组内交流各自的列举方法，比较谁的列举更清晰、完整。

即时评价标准：①能否意识到“摸出两个球”与顺序无关，是一个组合问题；②列举的结果是否有明显的结构或顺序（如按字母顺序、按数字编号）；③小组讨论时，能否清晰地解释自己的列举思路。

形成知识、思维、方法清单：★1.列举法的本质：当事件可能的结果数量有限时，通过列出所有等可能结果来计数，进而代入概率公式计算。▲2.思维起点：面对复杂事件，首先要问“这个试验所有等可能的结果是什么？”★3.初步障碍：学生易出现列举随意、重复或遗漏的情况，如只写出（红，黄），忽略了（黄，红）是否代表同一种情况？这为引入有序思考埋下伏笔。

###任务二：探究“有序列举”——列表法的诞生

教师活动：邀请两组学生用实物投影展示他们不同的列举结果：一组是无序罗列（红黄，蓝黄，红蓝）；另一组是有序思考（先固定第一个是红球：红黄，红蓝；再固定第一个是黄球：黄红，黄蓝…）。教师引导全班观察辨析：“大家觉得哪种方式更容易检查是否漏掉了情况？”“第二种方法看起来有点‘麻烦’，但它像不像我们之前学过的‘分类讨论’？它保证了我们在思考时有一个明确的顺序，不容易乱。”随后，教师将第二种有序思路规范化，引出列表法：“为了更直观、更系统，数学上常用表格来处理这类涉及两个‘步骤’或两个‘因素’的问题。”教师在黑板上示范建立二维表，将第一次摸球的可能性作为行，第二次摸球的可能性作为列（注意：这里球被摸出后不放回），引导学生共同填充表格，找出所有等可能的结果，并圈出“一红一黄”的事件。

学生活动：观察、比较不同列举方式的优劣，在教师引导下理解“有序思考”的价值。跟随教师示范，动手在自己的任务单上绘制表格，理解表格中每个单元格代表的实际意义（一次具体的摸球结果），并从中计数。

即时评价标准：①能否理解表格的行与列分别代表的意义；②能否独立、正确地填写表格；③能否从表格中准确找出目标事件对应的所有单元格。

形成知识、思维、方法清单：★4.列表法的适用情境与步骤：当一次试验涉及两个因素（如两次摸球、掷两枚骰子、两个转盘），且每个因素有若干种等可能结果时，可采用列表法。步骤：a.确定行、列分别代表的因素及其取值；b.画出表格并填写所有可能结果；c.在表格中定位目标事件。▲5.有序思维的优越性：列表法本质是将思维过程可视化、结构化，它强制我们进行有序的配对组合，是避免重复和遗漏的强有力工具。★6.核心概念辨析：表格中列出的是所有等可能的“结果”，而不是“事件”。一个事件可能对应表格中的多个结果。

###任务三：应用列表法，解决驱动问题

教师活动：回到导入环节的“幸运转盘”问题（转两次，求两次都是红色的概率）。“现在，我们有了新工具，谁来分析一下，这个问题中的两个‘因素’是什么？”引导学生分析因素为“第一次转动结果”和“第二次转动结果”，结果都有红、黄、蓝三种。教师说：“好，请大家在任务单上独立列表解决这个问题，看谁能最快算出这个‘神秘’的中奖概率。”巡视指导，关注学生是否理解“等可能”的前提（转盘质地均匀），以及表格构建是否正确。

学生活动：独立应用刚学的列表法，构建3×3的表格，列举所有9种等可能结果，找出“（红，红）”这一结果，计算概率P=1/9。完成后，与同桌交换检查。

即时评价标准：①能否正确识别问题中的两个独立因素；②构建的表格维度是否正确；③计算过程是否规范，概率结果是否以最简分数形式呈现。

形成知识、思维、方法清单：★7.列表法的实践应用：通过此例巩固列表法的操作流程，体验用数学工具解决实际问题的完整过程：识别模型→应用方法→得出结论。▲8.与直接列举的对比：引导学生感受，对于此类问题，列表法比最初的“感觉”或无序尝试要可靠、高效得多，增强对方法的认同感。

###任务四：方法拓展与辨析——树状图初探

教师活动：提出一个变式问题：“还是摸两个球，但如果摸出一个后放回袋子摇匀再摸第二个，摸到一红一黄的概率又是多少？”提问：“条件和刚才有什么不同？‘放回’这个变化，会怎样影响我们列举的结果？”让学生先猜测，再要求他们用新的列表法解决。教师巡视，待大部分学生完成后，请一位学生上台讲解。“大家发现了吗？因为放回，所以第二次摸球时，仍然有三种可能，表格仍然是3行3列，但目标事件‘一红一黄’对应的结果变成了（红，黄）和（黄，红）两种，概率也变成了2/9。”教师可简要介绍：“除了列表，还有一种像树枝分叉一样的方法叫树状图，也能清晰地表示这种分步过程，我们下节课会重点学习。”

学生活动：思考“放回”与“不放回”对试验结果的影响。独立完成新的列表，并与“不放回”情形对比，发现样本空间和目标事件结果数的变化，理解试验规则对概率计算的直接影响。

即时评价标准：①能否敏锐捕捉问题条件的改变；②能否根据新条件（放回）正确构建表格（对角线上的情况变得可能）；③能否通过对比，深刻理解试验的具体规则是列举的根本依据。

形成知识、思维、方法清单：▲9.模型的条件敏感性：强调列举法（包括列表法）的应用必须严格基于试验的具体条件（如“放回”与“不放回”）。条件一变，所有等可能结果的清单就会变化，概率也随之改变。这是概率思维严谨性的体现。★10.列举法的家族：点明列表法是有序列举的一种直观形式，树状图是另一种形式，核心思想都是“不重不漏”地列出所有等可能结果，为学生后续学习做铺垫。

###任务五：归纳概括，形成策略

教师活动：引导学生回顾以上探究过程，共同总结：“经过这几个问题的探索，请大家概括一下，什么情况下我们可以用列举法求概率？用列举法，尤其是列表法，求概率的一般步骤是怎样的？”教师根据学生发言，在黑板上形成简洁的步骤板书，并强调每一步的关键点。

学生活动：在教师引导下，回顾、提炼、概括。用自己的语言描述列举法的适用条件（有限个等可能结果）和列表法的具体步骤，加深对方法整体框架的理解。

即时评价标准：①概括是否准确、全面；②语言表达是否清晰、有条理；③能否指出步骤中的易错点（如等可能前提、有序列表）。

形成知识、思维、方法清单：★11.方法总结：系统梳理用列举法（列表法）求概率的步骤：①审题，判断是否满足“有限个等可能结果”；②分析试验涉及的因素，选择合适方法（如列表）；③有序地列出所有可能的结果总数n；④找出事件A包含的结果数m；⑤计算P(A)=m/n。★12.核心思想升华：本节课的数学思想是“化归”——将求复杂事件概率的问题，化归为计数基本事件个数的问题。而“有序”是实现准确计数的保障。

第三、当堂巩固训练

本环节设计分层、变式的练习题组，通过即时反馈深化理解，落实差异提升。

1.基础层（全体必做，巩固概念与步骤）：

1.2.题1：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求两枚硬币正面都朝上的概率。（直接应用列表法）

2.3.题2：一个密码锁的密码由0，1，2三个数字组成（可重复），随机输入一个由两个数字组成的密码，恰好第一次输入1，第二次输入2的概率是多少？（强化对“可重复”条件下列表的理解）

3.4.反馈：学生独立完成，教师投影展示规范解答过程，学生同桌互批。针对共性问题（如题2中“可重复”意味着表格中行、列取值集合相同），进行1分钟精讲。

5.综合层（多数学生挑战，提升应用能力）：

1.6.题3：从甲、乙、丙三人中随机选两人参加活动，求甲被选中的概率。（辨析“选人”与顺序无关，列表后需识别哪些结果是同一情况，渗透组合思想）

2.7.反馈：先让学生独立尝试，可能会产生分歧。随后组织小组讨论2分钟：“用列表法列出所有可能结果后，发现（甲，乙）和（乙，甲）都代表选了甲和乙两人，这算一种情况还是两种？对概率计算有什么影响？”通过辩论，深化对“等可能结果”要根据实际问题意义来判定的认识。教师最后明晰。

8.挑战层（学有余力者选做，拓展思维）：

1.9.题4（开放题）：设计一个概率为1/4的等可能随机试验，并用列举法说明。（考查对概率概念和列举法的逆向理解与创造能力）

2.10.反馈：请有思路的学生简要分享其设计，教师给予肯定和点评，鼓励多样性答案。

第四、课堂小结

1.知识结构化总结：“请同学们合上课本，回忆一下今天这节课我们探索的主线是什么？你学到了哪些新的‘武器’来对付概率计算？”引导学生从“为什么要列举”（定性到定量、复杂事件）、“怎样列举”（有序思考，列表法）以及“列举时要注意什么”（等可能性前提、试验具体规则）三个方面进行梳理。可以请几位学生分享他们的收获。

2.方法提炼与元认知：“在解决问题的过程中，你觉得最关键的一步是什么？有没有哪一刻你觉得‘啊，原来这样想就不容易漏了’？”引导学生反思“有序思考”策略的价值，以及审题时关注“等可能”、“放回与否”等条件的重要性。

3.作业布置与延伸：

1.4.必做作业：完成教材后对应本节的基础练习题。

2.5.选做作业（二选一）：①查找生活中一个涉及两步选择的应用实例（如点餐、出行路线），用列表法分析其中某一选择组合的概率；②预习树状图法，尝试用树状图解决今天课上的某个问题，并思考它与列表法的异同。

“好的开始是成功的一半，今天大家已经掌握了概率计算的一把关键钥匙。下节课，我们将看到这把钥匙的另一种形态——树状图，它能帮我们打开更复杂一些的概率之门。”

六、作业设计

基础性作业（全体必做）：

1.教科书课后练习中，关于直接列举和简单列表法求概率的3-4道基础题。旨在巩固列举法的基本步骤和公式应用，确保全体学生掌握最低标准。

2.整理本节课的课堂笔记，用自己的语言复述用列表法求概率的步骤和注意事项。

拓展性作业（建议大多数学生完成）：

设计一个情境化微任务：假设你是一家奶茶店的“一日店长”，店里有“红茶、绿茶、乌龙茶”三种茶底和“珍珠、椰果、布丁”三种小料。每位顾客需选一种茶底和一种小料。

1.（1）请用列表法列出所有可能的奶茶组合。

2.（2）如果随机为一位顾客配制一杯，恰好是“红茶+珍珠”的概率是多少？

3.（3）如果你想让“红茶+珍珠”这款成为促销主打，希望其被随机选中的概率达到1/3，你有什么营销策略？（提示：可以改变哪些条件？）此题将数学应用于生活情境，并引入开放性的策略思考。

探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：

进行一个简单的调查研究并撰写报告：调查你所在小组（或班级）5位同学的生日（只需月份），记录数据。

1.（1）假设每个月出生是等可能的（这是一个简化模型），理论上，随机找两位同学，他们生日在同一个月（月份相同）的概率是多少？请用列举法计算。

2.（2）将你调查得到的实际数据视为一个“小样本”，计算在你样本中“两人同月生日”这个事件发生的“频率”（即实际比例）。

3.（3）比较理论概率和你的观察频率，谈谈你的发现和想法。（此题连接概率与频率，为下节课“用频率估计概率”埋下伏笔，培养数据分析观念。）

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.列举法的定义与前提：当随机试验所有可能的结果是有限个，并且每个结果出现的可能性相等时，可以通过列举出所有可能的结果来求概率。这是古典概型计算的基础。

★2.概率计算公式（古典概型）：P(A)=事件A包含的等可能结果数(m)/试验所有等可能结果总数(n)。教学提示：务必强调先确认“等可能”这一前提。

★3.直接列举法：适用于单一步骤或结果较少的情况。关键：尝试按一定顺序（如从小到大、按字母顺序）思考，避免混乱。

★4.列表法及其适用条件：当一次试验涉及两个因素（例如：两次摸球、掷两枚骰子、两个转盘各转一次），并且每个因素有若干种等可能的结果时，采用列表法可以清晰地列出所有可能的结果。考点：准确识别问题中的两个独立因素是第一步。

★5.列表法的操作步骤：①确定行、列分别代表的因素及其所有取值。②画出表格，填入行、列标题。③在表格内部填写所有可能的组合结果（即基本事件）。④在表格中圈出事件A包含的所有结果。⑤计数，计算概率。

▲6.“放回”与“不放回”对概率的影响：这是高频易错点。在摸球等问题中，“不放回”意味着第二次选择时可选对象减少，表格中不可能出现（A,A）这样的结果；“放回”则意味着每次选择独立，表格中对角线情况是可能的。两者概率通常不同。

★7.“有序思考”的重要性：列表法的核心优势在于它将思维过程有序化、可视化。有序是确保“不重不漏”的根本策略，是数学严谨思维的体现。

▲8.事件与结果的区别：表格中列出的每一个格子代表一个等可能的基本结果。一个事件（如“一红一黄”）可能由一个或多个基本结果构成。计算时，是统计事件包含的基本结果个数。

★9.等可能性的判断：列举法应用的基石。并非所有“有限结果”的问题都适用。例如，从“1，2，3”三个数中“任取一个”，是等可能的；但“掷一枚图钉，针尖朝上或朝下”通常不是等可能的，因其物理构造不均。

▲10.列表法的局限性：主要适用于两个因素。当步骤超过两个或因素多于两个时，列表会变得复杂，此时树状图更为有效。由此引出方法的发展性。

★11.典型考法示例：同时掷两枚质地均匀的骰子，计算点数和为5的概率。必须用列表法列出6×6=36种等可能结果，再从中找出（1,4),(2,3),(3,2),(4,1)这4种情况。

▲12.与后续知识的联系：本节课的列举法是精确计算概率的方法。当试验结果不是有限个或等可能性不易判断时（如明天的天气），我们将学习另一种思想——用频率估计概率。两者共同构成概率求解的方法体系。

八、教学反思

(一)目标达成度检视

从课堂观察和当堂练习反馈来看，知识目标基本达成。绝大部分学生能复述列举法（列表法）的步骤，并能规范解决涉及两个等可能因素的常规概率计算题。在解决“抛两枚硬币”和“转盘转两次”等基础问题时，正确率较高。能力目标的达成呈现层次性：约70%的学生能主动、准确地构建列表；约20%的学生在教师提示或参照范例后能完成；仍有少数学生在识别“两个因素”和构建表格维度上存在困难。这提示我在后续课程中需设计更多的识别性练习和表格框架的半成品任务。思维与情感目标在小组讨论和辨析环节有较好体现，学生对于“有序思考”的必要性有了切身感受，课堂探究氛围积极。

(二)核心环节有效性评估

1.导入环节：“幸运转盘”两连问成功制造了认知冲突，从“感觉”到“计算”的需求被自然激发，驱动性问题贯穿全课，效果良好。

2.任务二（列表法探究）：这是本节课的“心脏地带”。通过对比学生无序与有序的列举作品，引导自主发现“有序”的价值，这一设计比直接讲授列表法更符合建构主义原理。学生恍然大悟的表情是这一环节成功的标志。内心独白：“看来，让他们自己‘碰壁’，再引导他们找到‘桥’，比直接带他们过桥记忆深刻得多。”

3.任务四（放回与不放回辨析）：此变式设计至关重要。它打破了学生初步掌握方法后可能产生的思维定势。学生在对比计算中出现的困惑和随后的清晰，表明他们真正理解了“试验条件决定等可能结果清单”这一核心，而非机械套用步骤。

4.巩固训练分层：开放题（设计概率为1/4的试验）激发了优秀生的创造力，答案多样（如：掷两枚硬币求一正一反；从4个编号球中摸一个等）。但综合层关于“选人”的题目讨论耗时比预期长，部分学生对于“（甲，乙）和（乙，甲）视为同一种”的理解仍有阻力。这提醒我，是否应提前准备更直观的教具（如人名卡片）进行演示操作，将抽象的组合问题具象化。

(三)学生表现差异剖析

在小组活动中，观察发现：A层（基础扎实）学生不仅能快速完成任务，还能主动帮