小学数学北师大版六年级下册 总复习 解决问题的策略

小学数学北师大版六年级下册总复习解决问题的策略小学数学六年级下册总复习：解决问题的策略知识清单一、★【核心基石】——策略概览与思想精髓在小学阶段，我们从最初的实物数数，到如今能够解决复杂的分数应用题、比例问题，甚至探索数学规律，这中间离不开一样至关重要的工具——解决问题的策略。策略，是我们从已知条件通往未知结论的桥梁和智慧。它不仅帮助我们找到答案，更重要的是，它锻炼了我们的思维，让我们学会“怎么想”。总复习阶段，我们并非简单地回顾几种方法，而是要构建一个完整的策略体系，理解每种策略背后的数学思想，并能够在复杂多变的问题情境中，灵活、优化地选择和使用它们。本章将重点梳理四大核心策略，并在此基础上拓展至更多综合性的思想方法，为同学们顺利过渡到中学阶段的数学学习奠定坚实的思维基础【高频考点】【核心素养】。二、画图策略——让隐形逻辑“可视化”【非常重要】【基础】（一）★概念与原理画图策略，是指通过绘制线段图、示意图、集合图等图形，将抽象的数学语言、数量关系直观化、形象化，从而帮助我们理解题意、寻找解题思路的一种策略。其核心原理是利用“数形结合”的思想，将“数”的抽象性与“形”的直观性结合起来，降低思维难度【基础】。（二）★主要功能与题型应用【高频考点】1.列举所有情况（搭配问题、组合问题）：在解决搭配或组合问题时，画图能保证不重复、不遗漏地列出所有可能的结果。例如，搭配服装、选择路线、求比赛场次等。2.直观理解概念（数的认识、运算算理、变量关系）：通过图形，我们可以清晰地看到分数、小数、百分数的意义，理解分数乘除法的算理，以及直观感受正反比例关系的变化趋势。例如，用一个圆形或长方形表示单位“1”，可以直观解释“3/4×1/4”的意义，即求3/4的1/4是多少，从图中能清晰地看到最终结果是整体的3/16【难点】。3.分析数量关系（和差倍、分数应用题、行程问题）：这是画图策略最广泛的应用。通过画线段图，可以将题目中复杂的“谁比谁多”、“谁是谁的几分之几”等关系清晰地呈现出来，帮助我们找到已知量与未知量之间的等量关系，从而列出算式或方程。（三）▲经典例题与方法剖析【例1】（搭配问题）学校食堂中午提供以下荤菜和素菜：荤菜有红烧肉和炸鸡腿；素菜有白菜、豆腐和冬瓜。如果只能选一种荤菜和一种素菜，一共有多少种不同的配菜方法？【画图分析】我们可以用画图的方式，将荤菜与每一种素菜分别连线。红烧肉——白菜红烧肉——豆腐红烧肉——冬瓜炸鸡腿——白菜炸鸡腿——豆腐炸鸡腿——冬瓜【解答】一共有2×3=6种不同的配菜方法【基础】。【例2】（分数应用题）第10届动物车展，第一天的成交量为65辆，第二天的成交量比第一天增加了1/5，第二天的成交量是多少辆？【画图分析】画一条线段表示第一天的成交量65辆，把它平均分成5份。第二天比第一天增加1/5，即再画一条线段，先画与第一天同样长的部分，再多画其中的1份。第一天：||||||共65辆第二天：|||||||比第一天多1/5【数量关系】从图中可以清晰地看出，第二天是第一天的(1+1/5)倍。【解答】65×(1+1/5)=65×6/5=78（辆）。答：第二天的成交量是78辆【高频考点】。【例3】（行程问题）小明和小红同时从两地相对而行，小明每分钟走60米，小红每分钟走50米，经过4分钟两人相遇。两地相距多少米？【画图分析】画出一条线段表示两地距离，用箭头表示两人行走方向。小明4分钟走的路小红4分钟走的路|||小明家●───────────────────────●小红家<──────────相距？米─────────>【数量关系】总路程=小明走的路程+小红走的路程=(小明速度+小红速度)×时间。【解答】(60+50)×4=110×4=440（米）。答：两地相距440米【重要】。（四）★【考点】与【易错点】1.【高频考点】：分数、百分数应用题（如例2），和差倍问题，行程问题，工程问题。解题第一步往往是画线段图分析数量关系。2.【易错点】：（1）单位“1”的确定：在画分数应用题线段图时，一定要先找准单位“1”的量，并把它作为标准量去画。（2）线段的分段要准确：表示部分量与总量之间的关系时，要确保每一份的长度大致相等，以体现比例关系。（3）忽视隐含条件：例如植树问题中，两端都栽、一端不栽、两端都不栽的情况，必须通过画示意图来帮助理解间隔数与棵数的关系。三、列表策略——让无序信息“条理化”【重要】（一）★概念与原理列表策略，是指将题目中的信息、数据进行有序的整理和排列，形成表格。通过观察表格中数据的规律或进行逻辑推理，从而解决问题。它能使杂乱的信息变得条理清晰，便于我们进行比较、分析和推理【基础】。（二）★主要功能与题型应用【高频考点】1.整理信息，进行逻辑推理（逻辑推理题）：当题目中涉及多个对象和多个属性（如人名、爱好、学校等），且它们之间存在一一对应关系时，表格是最佳的推理工具。通过画“√”或“×”来排除错误可能，最终确定正确答案。2.分析数量关系，寻找变化规律（统计、函数初步）：将一组相关联的数据列成表格，可以直观地看出两个变量之间的变化趋势，如随着一个量的增加，另一个量是增加、减少还是不变，从而发现规律，为正反比例的学习打下基础。3.枚举所有可能，避免重复遗漏（列举与筛选）：在解决“鸡兔同笼”、租车租船、购买方案等问题时，可以用列表的方法将所有可能的情况一一列举出来，然后根据条件筛选出符合要求的答案。这也是“枚举法”的具体体现。（三）▲经典例题与方法剖析【例1】（逻辑推理）学校组织了足球、航模和电脑兴趣小组。淘气、笑笑和奇思分别参加了其中一项。已知：①笑笑不喜欢踢足球；②淘气不是电脑兴趣小组的；③奇思喜欢航模。请判断他们分别参加了哪个小组。【列表分析】画一个3×3的表格，行表示人物，列表示兴趣小组。将已知条件逐一填入。足球航模电脑淘气×（推理）×（条件②）笑笑×（条件①）（推理）奇思√（条件③）【推理过程】第一步：由③奇思喜欢航模，在(奇思，航模)格打“√”。那么奇思就不可能再参加足球和电脑，在这两格打“×”。第二步：看足球这一列。奇思和笑笑都不喜欢足球（条件①），所以足球只能被淘气参加。在(淘气，足球)格打“√”，同时淘气的航模和电脑格打“×”（淘气一行已满）。第三步：看电脑这一列。淘气和奇思都不是电脑，所以电脑只能被笑笑参加。在(笑笑，电脑)格打“√”，则笑笑的航模格打“×”。【结论】淘气参加足球组，笑笑参加电脑组，奇思参加航模组【高频考点】。【例2】（寻找规律）下表是妙想010岁体重的变化情况。年龄出生时6个月1岁2岁6岁10岁体重/kg3.57.010.514.021.031.5说一说妙想10岁前体重是如何随年龄增长而变化的？【列表分析】观察表格数据：01岁：从3.5kg到10.5kg，增长迅速。12岁：增长3.5kg。26岁：四年间从14.0kg到21.0kg，增长7kg，增长速度放缓。610岁：四年间从21.0kg到31.5kg，增长10.5kg，增长速度又有所加快（可能是青春期前）。【结论】妙想10岁前的体重随年龄的增长而增加，但增长速度（增幅）并非恒定不变，婴幼儿期（02岁）增长最快，随后趋于平稳，6岁后又开始加速【重要】。【例3】（枚举与筛选）鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡、兔各有多少只？【列表分析】从鸡和兔各一半开始列举，根据腿的总数调整。鸡/只兔/只腿/条与54条比较×2+10×4=60多6条，需减少腿数（兔换鸡）11911×2+9×4=22+36=58多4条12812×2+8×4=24+32=56多2条13713×2+7×4=26+28=54符合条件【解答】鸡有13只，兔有7只【高频考点】【难点】。（四）★【考点】与【易错点】1.【高频考点】：逻辑推理题（如例1），搭配组合问题，最优化方案问题（如租车、购物），以及寻找数据变化规律（如例2）。2.【易错点】：（1）列表不完整：在列举时，如果没有按照一定的顺序（如从大到小、从小到大），很容易导致遗漏。（2）推理不严密：在逻辑推理题中，必须确保每一次推理都有确凿的依据，不能想当然。使用表格时，要习惯每填入一个“√”，就同步标记出对应的“×”。（3）忽略表头：表格的表头必须清晰，明确每一列代表什么含义，否则容易混淆数据。四、猜想与尝试策略——让探索之路“有方向”【热点】（一）★概念与原理猜想与尝试，也称为“尝试法”或“试误法”。它不是盲目地乱猜，而是先根据问题的部分条件或生活经验，对问题的答案提出一个合理的猜想（假设），然后将这个猜想代入原题进行检验。根据检验结果，分析猜想与正确答案之间的偏差，从而调整猜想，再次检验，直到找到正确答案为止。它是一种逐步逼近正确答案的有效策略，蕴含着“逼近法”和“调整法”的数学思想【基础】。（二）★主要功能与题型应用【高频考点】1.解决“鸡兔同笼”类问题：这是“猜想与尝试”最典型的应用。通常从“各占一半”开始猜想，根据总腿数的偏差（多了或少了），可以判断出需要增加哪种动物的数量，从而高效地调整。2.验证猜想，归纳规律：在学习新知识时，我们常常先根据已有知识进行猜想，然后通过尝试来验证。例如，在探究圆柱体积公式时，我们根据长方体、正方体的体积公式V=Sh，猜想圆柱的体积是否也可以用“底面积×高”来计算，然后通过将圆柱转化为近似长方体的实验来验证这一猜想。此外，在解决找规律的问题时，也是先从特例开始猜想，再推广到一般。（三）▲经典例题与方法剖析【例1】（经典的鸡兔同笼）笼子里有鸡和兔共8只，它们共有26条腿。鸡和兔各有多少只？【猜想与尝试过程】第一次猜想：假设鸡和兔各一半，即鸡4只，兔4只。检验：总腿数=4×2+4×4=8+16=24，比26条少2条。调整分析：腿少了，说明兔子（腿多）的数量猜少了。需要增加1只兔子，同时减少1只鸡。第二次猜想：鸡3只，兔5只。检验：总腿数=3×2+5×4=6+20=26，符合条件。【解答】鸡有3只，兔有5只【高频考点】。（注：此题也可以用列表法或假设法解决，体现了策略的多样性。）【例2】（数学规律的猜想与验证）长方体和正方体的体积都等于底面积乘高（V=Sh）。想一想，圆柱的体积是不是也可以用V=Sh来计算？请你验证你的猜想。【猜想】圆柱的体积可能也等于底面积乘高。【尝试与验证】（1）转化：把一个圆柱的底面分成许多相等的扇形（如16等分、32等分），然后把圆柱切开，像下面这样拼起来，就得到一个近似的长方体。（2）观察与发现：这个近似的长方体的底面积等于圆柱的底面积（S），高等于圆柱的高（h）。（3）结论：由于这个近似长方体的体积V=底面积×高=Sh，所以圆柱的体积公式也应该是V=Sh。【重要结论】通过猜想与尝试（转化验证），我们证明了圆柱体积公式的正确性【难点】【拓展】。【例3】（逆推与尝试）一个数先乘以2/3，再除以4/5，再减去2.4，结果得7.6，这个数是多少？【分析】此题可以逆推，但也可以用方程或尝试法。我们可以先猜一个数，比如10，然后按照顺序计算，看结果是否接近7.6，再调整。【尝试过程】猜想1：设这个数为9。计算：9×2/3=6；6÷4/5=6×5/4=7.5；7.52.4=5.1，结果比7.6小。分析：结果小了，说明猜的数小了。需要增加。猜想2：设这个数为12。计算：12×2/3=8；8÷4/5=8×5/4=10；102.4=7.6，正好符合。【解答】这个数是12【重要】。（四）★【考点】与【解题步骤】1.【高频考点】：“鸡兔同笼”及其变式问题（如答题得分、运输损坏赔偿等）。2.【解题步骤】（以鸡兔同笼为例）：（1）【猜想】：根据题目特点，提出一个初步的假设（通常从平均数或中间值开始）。（2）【检验】：计算假设情况下的总量，并与实际总量比较，得出差值。（3）【调整】：分析差值与单一变量变化之间的关系（例如，每将一只鸡换成一只兔，腿数增加2条），根据差值确定需要调整的数量。（4）【验证】：将调整后的结果代入题目，检验是否符合所有条件。3.【易错点】：调整方向错误。如果不能正确分析出差值与调整单位量的关系（例如，在“鸡兔同笼”问题中，不知道每换一只，腿数变化多少），就会导致越调越错。五、从特例开始寻找规律策略——让复杂问题“简单化”【难点】（一）★概念与原理从特例开始寻找规律，也称“归纳法”或“特殊化策略”。在面对一个比较复杂、数据较大的问题时，我们往往先从最简单、最基本的情况（特例）入手，通过解决这些简单的问题，观察、发现其中蕴含的规律或模式，然后将这个规律推广应用到原来复杂的问题中去，从而使问题得到解决。这体现了“从特殊到一般”的哲学思想和数学归纳法的雏形【基础】。（二）★主要功能与题型应用【高频考点】1.解决与图形有关的计数问题（数线段、数角、数长方形）：当图形中的基本线段或顶点较多时，直接数很容易出错。从点数最少的特例开始，记录下点数与线段（或角）总数的关系，从而总结出计算公式。2.解决比赛场次问题（单循环赛）：...是“从特例开始寻找规律”的经典应用。从2个人、3个人、4个人比赛开始，记录比赛场次，发现规律为1+2+3+...+(n1)=n×(n1)÷2。3.探索数列或数表中的规律：对于一些复杂的数列，我们很难直接看出通项公式。可以先观察前几项（特例）之间的关系，是等差、等比，还是二级等差，从而归纳出一般规律。4.解决图形拼接问题（摆桌子、摆图形）：例如，摆1张桌子坐8人，摆2张桌子坐12人，求摆n张桌子坐多少人。通过观察特例中人数的变化，找出“每增加一张桌子，增加的人数”这一规律，从而得出一般公式。（三）▲经典例题与方法剖析【例1】（比赛场次问题）六年级（1）班10名同学进行乒乓球比赛，如果每2名同学之间都进行一场比赛（单循环赛），一共要比赛多少场？【从特例开始寻找规律】（1）先考虑最简单的情况：当有2名同学时，需要赛1场。当有3名同学时，需要赛1+2=3场。当有4名同学时，需要赛1+2+3=6场。（2）将结果整理成表格：参赛人数（n）示意图（点连线）比赛场次（规律）2●──●13●──●1+2=3╲╱●4●1+2+3=6╱│╲●─┼─●╲│╱●n...）归纳规律：当有n人参加比赛时，比赛场次为从1一直加到(n...和。即：1+2+3+...+(n1)=n×(n1)÷2。（4）解决问题：当n=10时，比赛场次=10×(101)÷2=10×9÷2=45（场）。答：一共要比赛45场【高频考点】。【例2】（图形拼接规律）爷爷用24根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈（长和宽都是整米数），爷爷有几种不同的围法？围成的面积最大是多少平方米？【从特例开始寻找规律】（1）理解题意：栅栏总长24米，即长方形周长为24米。所以长+宽=24÷2=12（米）。（2）从特例开始列举（长和宽都是整米数）：长：11，宽：1，面积：11长：10，宽：2，面积：20长：9，宽：3，面积：27长：8，宽：4，面积：32长：7，宽：5，面积：35长：6，宽：6，面积：36（正方形是特殊的长方形）（3）观察规律：随着长和宽的数值越来越接近，面积越来越大。当长=宽=6时，即围成一个正方形时，面积最大。（4）得出结论：一共有6种不同的围法。围成的面积最大是36平方米【重要】。【例3】（数线段）如下图，一条直线上有A、B、C、D、E5个点，那么图中共有多少条线段？●───●───●───●───●ABCDE【从特例开始寻找规律】（1）从最少的点开始：有2个点：1条线段。有3个点：1+2=3条线段。有4个点：1+2+3=6条线段。...2）归纳规律：有n个点（在同一直线上），则线段总数为1+2+3+...+(n1)=n×(n1)÷2。（3）解决问题：n=5时，线段总数=5×4÷2=10（条）。答：图中共有10条线段【难点】。（四）★【考点】与【易错点】1.【高频考点】：握手问题、比赛场次问题、数图形问题、图形拼接面积与周长问题。2.【易错点】：（1）特例选取不当：选取的特例要有代表性，并且要足够多（至少3个），才能归纳出可靠的规律。（2）规律归纳错误：例如，在比赛场次问题中，容易忘记除以2，错误地写成n×(n1)。（3）忽略起始情况：有些规律从1开始，有些从0开始，需要仔细审题。例如，植树问题中，两端都栽时，棵数=段数+1。六、★【拓展与深化】——策略的综合运用与进阶思维（一）▲策略的多样性与优化选择同一个问题，往往可以用多种不同的策略来解决。例如，“鸡兔同笼”问题，我们可以用“列表法”，也可以用“猜想与尝试”法，还可以用假设法（算术法）或方程法。在总复习阶段，我们不仅要会用多种策略，更要学会根据题目的具体特点，选择最简便、最高效的策略【核心素养】。1.【举例】：对于数据较小的问题，如“笼中共8只头，26条腿”，用列表法或尝试法就很快。但对于数据较大的问题，如“笼中共100只头，320条腿”，再用逐一列表就太慢了，此时用假设法（假设全是鸡：100×2=200条腿，少了120条，则兔有120÷2=60只）或列方程（设兔有x只，则4x+2(100x)=320）就更为高效。2.【总结】：画图策略是基础，帮助我们理解；列表和猜想尝试策略适合数据较小或需要枚举的情况；从特例找规律策略适合探索一般规律；而方程和假设法（算术法）是解决复杂数量关系的通用工具。（二）▲其他重要策略的渗透与补充除了教材重点强调的四大策略，在解决实际问题时，我们还会经常用到以下策略，它们是四大策略的延伸和补充，也是中学数学学习的重要基础。1.【逆推法（还原法）】：（1）概念：从结果出发，根据题意的叙述顺序，一步一步地逆向推理，逐步推出初始状态。它适用于已知最终结果，求最初数量的问题，如“一半多几”、“运进运出”等问题【重要】。（2）经典题例：小云原来有一些邮票，今年又收集了24张，她送给小娟30张后，还剩52张。小云原来有多少张邮票？【逆推思路】从最后结果52张开始逆向操作：第一步：送给小娟30张之前，应有52+30=82（张）。第二步：这82张是“收集了24张”之后的数量，那么收集之前（即原来）应有8224=58（张）。综合算式：52+3024=58（张）。答：小云原来有58张邮票【高频考点】。2.【转化法（等量替换）】：（1）概念：通过把未知问题转化为已学问题，把复杂图形转化为简单图形，或者把一个未知量替换成另一个与之相等的已知量，从而使问题得到解决。它是数学学习中最重要的思想方法之一【非常重要】【难点】。（2）经典题例：计算不规则图形的面积。如图，求阴影部分的面积（常见于小升初考题）。往往需要将阴影部分通过割补、平移、旋转等方法，转化为一个规则的图形（如长方形、圆、三角形）来计算。（3）经典题例（等量替换）：学校买了4个篮球和6个排球，共花了360元。已知一个篮球的价钱是一个排球的3倍。篮球和排球的单价各是多少？【转化思路】将篮球替换成排球。因为1个篮球=3个排球，所以4个篮球可以替换成4×3=12个排球。那么总共就相当于12+6=18个排球花了360元。排球单价：360÷18=20（元）篮球单价：20×3=60（元）【高频考点】。3.【假设法（算术解法核心）】：（1）概念：对题目中的某些条件或问题作出某种假设（如假设全是鸡，或假设全部是小盒），然后根据假设后的数量关系与已知实际数量产生的矛盾（差值）进行分析，最后加以调整，找到正确答案。它是解决“鸡兔同笼”类问题最核心的算术方法。（2）经典题例：在3个同样的大盒子和4个同样的小盒子里装满球，正好120个。每个大盒子比每个小盒子多装5个。每个大盒子和每个小盒子各装多少个？【假设思路一：假设全部是小盒子】假设将3个大盒子也看成小盒子，那么每个大盒子就要少算5个球，总共少算3×5=15个球。此时，相当于3+4=7个（小盒子）共装12015=105个球。小盒子每个装：105÷7=15（个）大盒子每个装：15+5=20（个）【假设思路二：假设全部是大盒子】假设将4个小盒子也看成大盒子，那么每个小盒子就要多算5个球，总共多算4×5=20个球。此时，相当于3+4=7个（大盒子）共装120+20=140个球。大盒子每个装：140÷7=20（个）小盒子每个装：205=15（个）【高频考点】。（三）★【核心素养提升】——策略背后的思想在掌握这些具体策略的同时，我们更要感悟其背后的数学思想，这是数学学习的灵魂，也是未来可持续发展的关键。1.【数形结合思想】：画图策略的核心。将抽象的数学语言与直观的图形相结合，化难为易。2.【模型思想】：列表、假设、方程等策略，都是在帮助我们建立问题的数学模型。如“鸡兔同笼”模型、“工程问题”模型等。3.【推理思想】：包括从条件出发的“综合法”和从问题出发的“分析法”，以及在列表和逻辑推理题中运用的“排除法”和“演绎推理”。4.【转化思想】：是转化法和从特例找规律策略的核心。把未知转化为已知，把复杂转化为简单，把一般转化为特殊。5.【优化思想】：在解决最优化问题（如怎样租车最省钱、怎样围面积最大）时，我们需要在多种方案中比较、筛选，找到最优解。七、★【终极挑战】——综合实战与考点预测（一）▲跨章节综合题示例此类题目往往融合了多个知识点和多种解题策略，是毕业考试和小升初选拔考试的常见题型。【例题】某景区的门票价格方案如下：方案一：成人每人120元，儿童每人60元。方案二：团体10人以上（含10人），每人80元。（1）如果有6个成人和4个儿童，怎样购票最合算？（2）如果有4个成人和6个儿童，怎样购票最合算？【策略运用分析】此题需要用到【列表策略】（列举不同购票方案）和【优化策略】（比较总价选择最低者）。同时，它考查了四年级的“优化”和六年级的“综合应用”能力。【解答过程】（1）6成人4儿童：方案一：120×6+60×4=720+240=960（元）方案二：团体票(6+4)=10人，10×80=800（元）比较：800<960答：选择方案二（团体票）最合算，需要800元。（2）4成人6儿童：方案一：120×4+60×6=480+360=840（元）方案二：团体票(4+6)=10人，10×80=800（元）但是，我们还可以考虑一个混合方案（这是此题的难点，也是易错点）：方案三：让4个成人和6个儿童中的6个儿童（或部分成人）凑成10人买团体票，但这里只有10人，全部团体就是方案二。但如果我们思考：是否可以让成人也买儿童票？显然不行，因为条件限制。或者考虑“拆散”团体，用部分人团体，部分人单独？但题目没有规定必须所有人同一种方式。