小学三年级数学下册除数是一位数的除法知识清单

小学三年级数学下册除数是一位数的除法知识清单一、除法的意义与基本概念（一）除法的本质除法是数学中的一种基本运算，其本质是已知两个因数的积与其中一个非零因数，求另一个因数的运算。它代表着平均分或包含除的过程。在“除数是一位数的除法”这一单元，我们主要学习如何将一个数（被除数）平均分成若干份（除数），求每份是多少；或者求一个数里面包含几个另一个数。（二）核心概念定义1、被除数：在除法算式中，被分的那个总数，叫做被除数。它通常位于除号的前面。2、除数：在除法算式中，用来分这个数的份数，或者作为标准的那个数，叫做除数。它位于除号的后面。本单元特指除数是一位数（即19）的除法。3、商：除法运算的结果，表示分得的结果或包含的份数，叫做商。它位于等号的后面。4、余数：在整数除法中，当被除数不能被除数恰好分完时，剩下不够再分一部分，叫做余数。余数必须小于除数。【基础】理解这四个概念是学习一切除法运算的基石，是描述除法算式中各个部分关系的标准语言。【重要】必须牢固掌握除法算式的构成：被除数÷除数=商……余数。（三）除法算式的读写1、读法：算式“60÷3=20”读作：六十除以三等于二十。也可以读作：三除六十等于二十。需要明确“除以”和“除”的区别，“A除以B”是A÷B，“A除B”是B÷A。2、写法：熟练掌握除法算式的横式写法。同时，开始系统学习除法竖式的书写格式，理解竖式中每一步的含义，这是本单元的核心技能。二、口算除法（整十、整百、整千数除以一位数）（一）核心原理与算法1、原理基础：利用数的组成和表内除法。将整十、整百、整千数看作几个十、几个百、几个千，然后用表内除法进行计算。2、算法步骤：（1）想乘法算除法：思考几乘除数等于被除数。例如：计算60÷3，就想3×（20）=60，所以商是20。（2）利用数的组成：60是6个十，6个十除以3得2个十，即20。（3）类比推理：先计算6÷3=2，再看被除数末尾有几个0，就在商的末尾添上相同个数的0（注意：这种方法的适用性仅限于被除数最高位能被整除的情况，且要理解其本质是计数单位的变化）。如600÷3，先算6÷3=2，600是6个百，得到2个百，所以在2后面添两个0，得200。【高频考点】口算整十、整百、整千数除以一位数是考试的必考题，多以直接写得数或填空形式出现。（二）几百几十、几千几百除以一位数1、方法迁移：将几百几十数看作几个十。例如：120÷3，120是12个十，12个十除以3得4个十，即40。2、思维进阶：这可以看作是后续学习两位数除以一位数（商是两位数）口算的基础，为笔算竖式中的分步计算奠定思维基础。（三）拓展与应用1、在具体情境中理解除法。例如：“将80个苹果平均分给4个班，每个班分得多少个？”就是将总数80平均分成4份，求每份是多少，用除法80÷4=20（个）。2、解决“一个数里面包含几个另一个数”的问题。例如：“80里面有几个4？”用除法80÷4=20（个）。▲【难点】学生在应用时容易混淆“平均分”和“包含除”两种模型，需要结合具体问题情境进行辨析，但计算方法是统一的。三、笔算除法（核心与重点）（一）两位数除以一位数（首位能整除）1、竖式书写规范：（1）先写除号“厂”，表示除号。（2）把被除数写在除号里面。（3）把除数写在除号外面左侧。2、计算步骤与算理（以42÷2为例）：（1）从被除数的最高位十位除起。用十位上的“4”除以2，商2。这个2表示2个十，要写在被除数的十位上面。（2）将商“2”与除数“2”相乘得4，写在被除数十位的“4”下面，表示从被除数中已经分掉了4个十。（3）用“4”减去“4”得0，表示十位上的数正好分完（这个0可以省略不写，但要理解其含义）。（4）将被除数个位上的“2”落下来，继续除。用个位上的“2”除以2，商1。这个1表示1个一，要写在被除数的个位上面。（5）将商“1”与除数“2”相乘得2，写在落下来的“2”下面。（6）用“2”减去“2”得0，表示个位也正好分完。【重要】整个竖式过程是一个“除、乘、减、落”的循环过程。每一步都对应着分物的实际操作，必须理解其数学意义，不能仅仅机械记忆步骤。（二）两位数除以一位数（首位不能整除）1、算理突破（以52÷4为例）：（1）十位上的“5”除以4，商1，写在十位上。1×4=4，54=1。这个余下的“1”表示1个十。（2）关键步骤：将十位余下的1个十与个位上的2个一合并，组成12个一。（3）将12个一落下来，继续除。12÷4=3，商3写在个位上。3×4=12，1212=0。2、核心思维：余下的数要与下一位的数合并，组成新的数继续除。这体现了除法运算的连续性和位值原则。▲【难点与高频考点】学生容易忘记将余数与下一位的数合并，导致计算错误。这是笔算除法最常见的易错点，也是考试中重点考查的环节。（三）三位数除以一位数1、方法迁移：计算方法和步骤与两位数除以一位数完全一致，只是位数增加，需要多一次或几次“除、乘、减、落”的过程。2、商的位数判断：（1）当被除数的最高位百位上的数大于或等于除数时，商的最高位是百位，商是三位数。例如：635÷5，6>5，商是三位数。（2）当被除数的最高位百位上的数小于除数时，就要看被除数的前两位，商的最高位是十位，商是两位数。例如：246÷6，2<6，商是两位数。【重要】掌握商的位数判断方法，可以帮助我们快速检查计算结果的合理性，避免出现位数上的错误。【热点】在填空题或选择题中，常出现判断商是几位数的问题。（四）商中间或末尾有0的除法1、0除以一个不是0的数：0除以任何不是0的数都得0。这是处理商中间或末尾有0问题的理论基础。2、商中间有0的情况（以208÷2为例）：（1）百位：2÷2=1，商1，无余数。（2）十位：被除数十位上的数是0。0÷2=0，因此要在十位上商0占位。（3）将十位上的0落下来，00=0（过程可简化），然后落下个位的8。（4）个位：8÷2=4。【易错点】学生容易忽略十位上的0，不商0占位，导致商变成两位数“14”，遗漏了中间的0。务必明确，哪一位不够商1，就用0占位。3、商末尾有0的情况（以650÷5为例）：（1）百位：6÷5=1余1。（2）十位：15÷5=3。（3）个位：被除数个位是0。将个位0落下来，0÷5=0，因此在个位商0。【易错点】另一种情况是计算到最后一步，被除数个位上的数落下来后比除数小，不够商1，这时也要商0占位，并将这个不够除的数作为余数。例如：643÷4，计算到最后个位剩3，3<4，就在个位商0，余数为3。学生常犯的错误是忘记商0，或者直接把余数丢掉。▲【重中之重】商中间或末尾有0的除法是学生最容易出错的地方，也是各类考试的压轴计算题和易错题。必须通过大量针对性练习，强化“0占位”的意识。（五）除法的验算1、验算方法：（1）没有余数的除法：被除数=商×除数。（2）有余数的除法：被除数=商×除数+余数。2、验算意义：验算是保证计算正确性的重要手段，也是培养严谨数学思维习惯的必要环节。要求学生在完成计算后，尤其是解决实际问题时，自觉进行验算。【基础】验算公式是必须熟记并能灵活运用的。四、估算与解决问题（一）除法的估算1、估算策略：在不需要精确值或进行初步判断时，可以将被除数看作与其接近的整十、整百、整千数，或者几百几十数，且这个数要能够被除数整除或比较容易口算。2、方法举例：（1）估算178÷6。可以把178看作180，因为180÷6=30，所以178÷6≈30。（2）估算323÷4。可以把323看作320，因为320÷4=80，所以323÷4≈80。3、估算作用：（1）对计算结果进行预测和大致范围的判断。（2）检查笔算结果是否合理。例如，笔算323÷4=80……3，与估算结果80一致，说明结果基本合理。如果笔算得到800，就明显错了。【热点】估算常与实际问题相结合，考察学生在真实情境中运用估算解决问题的能力。（二）解决问题：连除问题与乘除混合运算1、连除问题模型：（1）情境：有960个杯子，每6个装一盒，每8盒装一箱。可以装多少箱？（2）解法一（分步）：先求可以装多少盒：960÷6=160（盒）；再求可以装多少箱：160÷8=20（箱）。综合算式：960÷6÷8。（3）解法二（先求一箱有多少个）：先求一箱能装多少个杯子：6×8=48（个）；再求可以装多少箱：960÷48。此步需要用到两位数除多位数的知识，超出本单元范围，但思路可渗透。【重要】理解每一步除法所代表的意义，是解决此类问题的关键。2、乘除混合问题模型：（1）情境：3辆车4次运煤60吨，平均每辆车每次运煤多少吨？（2）解法一（先算3辆车一次运多少）：60÷4=15（吨）；15÷3=5（吨）。综合算式：60÷4÷3。（3）解法二（先算1辆车4次运多少）：60÷3=20（吨）；20÷4=5（吨）。综合算式：60÷3÷4。3、解题步骤规范：（1）阅读与理解：仔细读题，找出已知信息和所求问题。（2）分析与解答：分析数量关系，确定先算什么，再算什么。可以借助画图、列表等策略辅助理解。（3）列式计算：列出正确的综合算式或分步算式，并准确计算。（4）回顾与反思：检查计算过程，验证答案是否符合逻辑。可以用另一种方法进行检验，或者用估算检验结果的合理性。【高频考点】应用除法解决生活中的实际问题，特别是需要两步计算的连除和乘除混合问题，是期末考试的必考题型。五、核心考点、考向与解题策略（一）考点归纳1、口算能力：整十、整百、整千数除以一位数，几百几十数除以一位数。2、笔算技能：两位数、三位数除以一位数，重点考查商中间、末尾有0的除法。3、估算能力：运用估算判断结果范围或解决实际问题。4、概念理解：除法算式中各部分的名称、关系，有余数除法中余数小于除数。5、实际应用：用除法（包括连除）解决简单的实际问题。（二）常见题型与考向1、直接写出得数：考查口算和简单笔算的熟练度。2、填空题：（1）填空算理，如“计算246÷2，百位上2÷2商1，1表示（）。”（2）判断商是几位数。（3）在□里填合适的数，考查逆运算或除法各部分关系。（4）根据算式写含义。3、选择题：（1）选择正确的计算结果。（2）选择商的位数。（3）选择估算的结果。4、计算题：（1）列竖式计算（带※的要验算）。这是分值最高的题型。（2）改错题：专门针对易错点（如漏商0、忘记合并余数等）设计。5、解决问题：（1）图文应用题：根据图片中的信息列式解答。（2）纯文字应用题：结合生活情境，考查两步计算（连除、乘除混合）。（三）易错点与避错指南1、竖式计算中数位没有对齐。避错：书写工整，相同数位一定要对齐。2、十位或百位除完后有余数，忘记落下来与下一位合并。避错：牢记“除、乘、减、落”的循环，每一步都要完整，尤其是“落”的步骤不能省。3、商中间或末尾的0忘记写。避错：当某一位不够商1时，必须用0占位。可以观察商的位数是否与被除数位数匹配或接近来检查。4、余数比除数大。避错：计算每一步的减法后，要下意识地比较余数和除数，如果余数大于等于除数，说明这一位商小了，需要调大。5、验算时忘记加余数。避错：验算有余数的除法，一定要用“商×除数+余数”看是否等于被除数。（四）解题步骤总结1、审题：分清题目要求，是口算、估算还是精确计算？是单纯计算还是解决实际问题？2、分析：（1）计算题：看清数字，确定运算顺序（尤其是混合运算）。（2）应用题：分析数量关系，明确是用除法，还是需要多步运算。3、解答：（1）计算要细心，遵循运算法则和竖式步骤。（2）解决问题要写单位名称，并作答。4、检验：（1）估一估：用估算检查结果是否在合理范围。（2）算一算：用乘法验算除法。（3）想一想：答案是否符合生活实际。六、思维拓展与数学文化（一）逆推思维在解决一些稍复杂的问题时，需要运用逆推的思维。例如：一个数除以5后，再加上20，结果是30，求这个数。这就需要从结果30开始，逆着运算顺序，先减20，再乘5，得到原数。这种思维能加深对加减乘除互逆关系的理解。（二）转化思维将新知识转化为已学知识。例如，学习三位数除以一位数时，可以将其转化为几个百、几个十、几个一分别除以一位数，再相加的过程。学习商中间有0的除法