人教版高中一年级上册第五单元第一课复数教案

人教版高中一年级上册第五单元第一课复数教案本节课为人教版普通高中教科书数学必修第一册第五章第一节第一课时《数系的扩充和复数的概念》，教学时长1课时。一、教材分析数系的扩充是中学阶段数系发展的最后一次扩充，此前学生已经经历了自然数集到整数集、整数集到有理数集、有理数集到实数集的三次扩充过程，每次扩充都源于解决实际问题或数学内部矛盾的需求，同时遵循“原有运算律在新数系中保持成立”的基本原则。本节课以一元二次方程判别式小于0时无解的矛盾为切入点，引入虚数单位，生成复数概念，既完善了中学阶段数系的知识体系，也为后续学习复数的运算、复数的几何意义，以及大学阶段复变函数等内容奠定基础，过程中蕴含的类比推理、转化化归、理性扩充的数学思想，对发展学生核心素养具有重要价值。本节课作为复数单元的起始课，概念生成的过程比概念记忆更为重要，需要让学生理解引入复数的必要性与合理性，而非直接接受既定概念。二、学情分析高一学生已经适应高中阶段的学习节奏，具备一定的抽象概括能力与逻辑推理能力，对三次数系扩充有感性认知，掌握了一元二次方程根的判别式，明确实数范围内负数不能开平方，为学习复数概念提供了基础。但学生存在三个认知难点：一是未提炼出数系扩充的一般原则，对引入新数的合理性存在疑问，部分学生容易将“虚数”误解为“不存在的虚构数”，对概念接受存在障碍；二是对复数分类中纯虚数的条件、虚部的定义容易混淆，常出现概念性错误；三是对“不全为实数的复数不能比较大小”的结论不理解，容易与实数的大小比较规则混淆。教学中需要通过具体问题辨析突破难点，帮助学生建构清晰的知识体系。三、核心素养教学目标依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》要求，结合学情确定本节课核心素养目标如下：数学抽象：通过回顾数系发展历史，从数学内部矛盾出发，经历抽象出复数概念的过程，理解数系扩充的必要性，提升数学抽象素养；逻辑推理：归纳数系扩充的基本原则，推导复数分类标准与复数相等的条件，体会从特殊到一般、类比推理的思想方法，提升逻辑推理素养；数学运算：能正确求解复数的实部与虚部，能根据条件判断复数的类型，能利用复数相等的条件求解参数，提升数学运算素养；情感与价值观：了解数系扩充的发展历史，体会人类理性思维对数学发展的推动作用，认识复数在信号处理、量子力学、电工电子领域的应用价值，养成严谨的科学态度。四、教学重难点教学重点：数系扩充的过程与基本原则，复数的概念，复数的分类，复数相等的充要条件；教学难点：对虚数单位引入必要性的理解，数系扩充基本原则的把握，纯虚数概念的辨析，复数大小比较规则的理解。五、教学方法采用问题驱动探究法、合作讨论法、讲授法结合，配合多媒体辅助教学，引导学生自主建构知识。六、教学过程环节一：问题驱动，回顾旧知，提出矛盾教师提问：“我们从小学到高中，数系经历了哪几次扩充？每次扩充的原因是什么？”请学生自主思考后回答，教师整理梳理：①第一次扩充：自然数集→整数集：为了表示相反意义的量，解决“小数减大数不够减”的矛盾；②第二次扩充：整数集→有理数集：为了表示等分的结果，解决“不能整除”的矛盾；③第三次扩充：有理数集→实数集：为了度量不可公度的线段，解决“开方开不尽”的矛盾。教师进一步引导学生提炼数系扩充的基本原则：每次扩充后，原来数集中的概念、运算、运算律都全部保留，新数集解决了旧数集的原有矛盾，运算规则依然成立。接着抛出核心问题：“我们现在遇到了什么新的矛盾？请大家思考方程在实数范围内有解吗？为什么？”学生回答：“没有，因为实数范围内任意实数的平方都是非负数，所以不可能成立。”教师补充历史背景：早在16世纪，意大利数学家卡尔达诺在研究一元三次方程求根公式时就发现，即使一元三次方程有三个实根，求解过程中也会出现负数开平方的情况，矛盾已经出现，我们能不能沿用之前的思路，对数系再做一次扩充，让这个方程有解呢？由此引入新课。

环节二：合作探究，生成概念，明确规则

教师引导：我们现在需要引入一个新数，让这个新数满足，我们把这个新数叫做虚数单位。

引入虚数单位后，可以和任意实数进行加法、乘法运算，且满足实数原有的加法、乘法运算律（交换律、结合律、分配律都成立），比如可以得到，，，等新数。

请学生思考：这些新数能不能写成统一的形式？学生观察后可以总结出，所有运算结果都可以写成的形式，其中都是实数。由此给出复数定义：

形如的数叫做复数，这个形式叫做复数的代数形式，其中叫做复数的实部，记为；叫做复数的虚部，记为。全体复数构成的集合叫做复数集，记为。

教师强调易错点：虚部是实数，不是，例如，实部是，虚部是，不是。

接下来引导学生对复数分类：x2+1=0x2=−1i2=−1ii2+i3−2i对于：

①当时，，就是我们之前学习的实数，所有实数都属于复数集；

②当时，叫做虚数；

③当且时，叫做纯虚数。

教师明确数集的包含关系：，复数集分为实数集和虚数集，纯虚数集是虚数集的子集。接着给出例子辨析：判断，，，，分别属于哪一类，学生回答后教师点评：是实数，是纯虚数，是实数，当时是实数，时是虚数，纠正“形如都是虚数”“虚数就是纯虚数”的错误认知，特别强调：纯虚数必须同时满足“实部为0，虚部不为0”两个条件，缺一不可，当时，是实数，不是纯虚数。

随后给出复数相等的条件：如果两个复数，，其中，那么当且仅当且。教师强调：这个规则符合数系扩充的要求，将复数相等问题转化为实数等式问题，体现了转化化归思想。接下来明确大小比较规则：只有两个全都是实数的复数才能比较大小，不全为实数的复数不能比较大小。教师解释原因：如果给复数定义大小，必须满足传递性、加法乘法保序性，我们可以推导矛盾：如果和比较，要么，要么，若，则，即，矛盾；若，则，可得，依然矛盾，因此复数无法定义满足要求的大小顺序，这个结论不是人为规定，而是推导得出的必然结果。

环节三：典例精析，深化理解，辨析易错

例1写出下列复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：z=a+bi (a,b∈R)b=0z=ab≠0z=a+bia=0b≠0z=biN(1)3+2i；(2)−4i；(3)5−12；(4)0；(5)22−12i。

解答：(1)实部为3，虚部为2，b≠0，是虚数；(2)实部为0，虚部为−4≠0，是虚数，也是纯虚数；(3)实部为5−12，虚部为0，是实数；(4)实部为0，虚部为0，是实数；(5)实部为22，虚部为−12，两个都不为0，是虚数，不是纯虚数。

点评：再次强调虚部是实数，不是含i的项，纯虚数必须满足两个条件。

例2实数m取什么值时，复数z=(m2−3m+2)+(m2−1)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数。

解答：复数z的实部为m2−3m+2，虚部为m2−1，均为实数：

(1)当虚部为0时，z是实数，即m2−1=0，解得m=1或m=−1，因此m=1或m=−1时，z是实数；

(2)当虚部不为x+y=2x−5x−2环节四：课堂练习，巩固提升下列命题正确的是（）A.若，则B.若，，则

C.若，则D.虚数的平方一定不是非负实数

解析：A错，时；B错，，，但两个都是虚数不能比较大小；C错，和都是虚数，不能比较大小；D对，虚数，，若，则结果是虚数，不能是非负实数；若，则结果是，因此虚数的平方一定不是非负实数，答案选D。

2.已知复数是纯虚数，求实数的值。

解答：由题意得，解得。

环节五：课堂小结，梳理体系

引导学生自主梳理本节课知识：z∈Cz2>0z1,z2∈Cz1−z2>0z数系扩充的原因：解决数学内部矛盾，方程x2复数的概念：代数形式z=a+bi复数的分类：b=0是实数，b≠复数相等的条件：实部相等，虚部相等，不全为实数的复数不能比较大小。环节六：分层作业布置基础作业：完成教材第106页练习1、2、3题，落实基础概念；提升作业：①思考命题“若，则”是否成立，若不成立举反例；②思考引入复数后，原来实数的加法乘法交换律、结合律、分配律是否依然成立，下节课交流讨论。

七、板书设计

|主板书|副板书|

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|1.数系扩充<>矛盾：无解<>原则：保留原有运算律<>2.复数概念<>虚数单位：<>代数形式：，实部，虚部<>3.复数分类<>→实数；→虚数；→纯虚数<><>4.复数相等：<><>结论：不全为实数的复数不能比较大小|例1、例2、例3解答过程<>课堂练习解析|

八、教学反思

本节课以问题驱动引导学生自主建构复数概念，突出了数系扩充的过程性，