2025-2026学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．垂直于同一平面的两直线（填“平行”，“垂直”，或“异面”）．2．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了1000辆汽车的相关信息，时间是从某年的9月1日到下一年的9月1日，共发现有300辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是．3．正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径为．4．圆锥底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角．5．若地球半径为，则北纬线长度为．6．已知棱锥的高为18，底面积为81，若用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得的截面面积为16，则截得棱台的高为．7．如图，一个底面半径为1的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和4，则该几何体的体积为．8．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若为底面的中心，为中点，则直线与平面所成角的大小为．9．从，3，4，中先后两次随机取元素（取出的元素可相同），则这两个元素的和是3的倍数的概率为．10．如图，在正六棱柱中，为底面的中心，，，是上的动点，当时，有．11．已知点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，若使的点的轨迹长度为；使直线平面的点的轨迹长度为；使直线与平面所成角为的点的轨迹长度为，则．12．四棱锥中，，，，，，△内部点满足四棱锥与三棱锥的体积相等，则长的最小值为．二、选择题13．已知事件，满足（A），（B），则（）A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立14．如图，正三棱柱的高为4，底面边长为，是中点，是线段上的动点，是线段的中点，设三棱锥体积为，则下列说法正确的是（）A．点运动时，发生变化 B．点运动时，不变，恒为 C．点运动时，不变，恒为 D．点运动时，不变，恒为15．如图正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，连接，．空间任意两点、，若线段上不存在点在线段、上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为（）A．点 B．点 C．点 D．点16．若正四面体、正四面体和正八面体（如图所示）的棱长均为，把它们拼接起来，使表面、分别与表面、重合，则所得多面体共有个面．A．6 B．8 C．10 D．12三、解答题17．已知四边形是矩形，是平面外一点，平面．（1）求证：平面平面；（2）若，，求异面直线与所成角的大小．18．一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为，圆锥底面半径为．（1）试确定与的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比．19．某电视台举办“读经典”知识挑战赛．初赛环节，每位选手先从，，三类问题中选择一类，该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答．再次选择的一类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰．已知选手甲能正确回答，两类问题的概率均为，能正确回答类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立．（Ⅰ）已知选手甲先选择类问题且回答正确，接下来他按照，的顺序对各类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；（Ⅱ）由于选手甲能正确回答，两类问题的概率均为，故可将回答顺序和顺序视为同一个顺序；为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由．

参考答案一、填空题1．平行．3．．4．．5．．6．10．7．．8．．9．．10．．11．．12．．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：（1）证明：作出示意图如下：因为平面，又平面，所以，又四边形是矩形，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）若，，因为四边形是矩形，所以，，又根据（1）可知，所以异面直线与所成角为，又，所以异面直线与所成角的大小为．18．解：（1），；；（2）．19．解：（1）分两类，第一类是回答正确，概率；第二类回答错误，且回答正确两道，概率，所以取得复赛资格的概率为：．（2）根据的不