山西省运城市稷山县2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年山西省运城市稷山县九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一元二次方程x2−3x=0的解是(

)A.x=3 B.x1=0，x2=−3

C.x1=0，A.一组邻边相等的四边形是菱形

B.四边相等的四边形是正方形

C.对角线互相平分的四边形是矩形

D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形3.一元二次方程x2=x−3的根的情况是(

)A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.没有实数根 D.有一个根为04.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比均为黄金比(比值为5−12)，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是AB的黄金分割点(AP>BP).若AB=4，则A.25−2 B.25+15.如图是一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子上，当“”位于格子A时.小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是(

)A.13 B.14 C.356.如图，菱形ABCD中，点O为对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，作射线EO，交边CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为(

)

A.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形

B.平行四边形→正方形→矩形→菱形

C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形

D.平行四边形→菱形→正方形→矩形7.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车8月份的销售量为5000辆，10月份的销售量为7200辆，若9月份、10月份该新能源汽车销售量的月平均增长率相同.则月平均增长率为(

)A.11% B.12% C.14% D.20%8.一元二次方程x2+2x−3=0可配方成(x+m)2=n的形式.则A.−5 B.−4 C.5 D.−29.如图，将一个矩形纸片ABCD沿AD，BC的中点E，F的连线对折，若对折后的矩形AEFB与原矩形ABCD相似，则AE：AB=(

)A.1:2

B.1:3

C.1：10.如图，点E是正方形ABCD边AB上一动点，连接CE，DF⊥CE，交BC边于点F，点H在正方形ABCD外，DH=DF=5，且DH⊥DF，连接AH，已知BE=3，则AH=(

)A.8

B.73

C.10

D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，不同竖格线上的三点A，B，C在同一直线上，若线段AB=4cm，则线段BC的长为

cm.12.在一个不透明的袋子里装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有

个.13.如图(1)，中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个如图(2)的菱形中国结装饰，测得BD=6，AC=8，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，则EF的长为

.14.如图，边长为10cm的正方形纸片ABCD，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形.再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点A，B，C，D正好重合于上底面一点.且此长方体盒子的表面积为36cm2，其中AE=BF，若设AE的长为xcm，则可列方程为

.15.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90∘，AB=12，BC=6，点E在边AB上，AE=4，连接CE，且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上，连接DF，若DF=DC，则线段CF的长为

.三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

解方程：

(1)x2−3x−10=0；

17.(本小题9分)

定义：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.则称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，已知给定矩形的长和宽分别为3cm和2cm.求它的“加倍矩形”的长和宽.18.(本小题7分)

如图，△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，相似比为1：2，若△ABC的面积为8.

(1)写出一条有关相似三角形的性质______.

(2)求△DEF的面积.19.(本小题10分)

某超市购进一批优质水果，进价为每箱100元.调查发现，当销售单价为每箱170元时平均每天能售出80箱，而当销售单价每降价10元，平均每天能多售出20箱.

(1)填空：设每箱降价x元，实际售价为______元/箱，平均每天售出______箱(用含x的代数式表示)；

(2)若超市每天销售这种优质水果的利润要达到6000元，且要尽快减少库存，求每箱应降价多少元？20.(本小题9分)

某市中考，期中的体育考试规定：九年级男生考试项目有A、B、C、D、E五类：其中A：1000米跑(必考项目)；B：一分钟跳绳；C：掷实心球；D：立定跳远；E：坐位体前屈，再从B、C、D、E中各选两项进行考试.

(1)若男生甲第一次从项目B、C、D、E中选一项，求男生甲选中项目E的概率.

(2)若甲、乙两名九年级男生在选项的过程中，第一次都是选了项目E，求他俩第二次同时选择项目B或项目D的概率是多少？21.(本小题10分)

阅读与思考

用构图法解关于一元二次方程的解法：以x2+2x−35=0为例，构造方法如下：首先将方程x2+2x−35=0变形为x(x+2)=35.然后画四个长为x+2，宽为x的矩形.按如图(1)所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为(x+x+2)2.还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x(x+2)+22=4×35+4，因此，可得新方程：(x+x+2)2=144.据此易得原方程的一个正数根为x=5.

(1)参照上述图解一元二次方程的方法，解方程x2−3x−10=0，填写下面横线上的内容.

解：∵应构造面积是(x+x−3)2的大正方形，其中四个全等的小矩形面积每一个均为x(x−3)=10，中间的小正方形面积为32.

∴大正方形的面积为______.

∴大正方形的边长为______.

∴正数x=______.

参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程x2−3x−10=0，解法的正确构图是______(从序号①②③中选择).

(2)一般地对于形如：x2+ax=b的一元二次方程可以构造图(2)来解，已知图(2)是由22.(本小题10分)

综合与实践

四边形的旋转

如图1.在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，E，F分别为AB、AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接AC，则A、G、C三点在同一条直线上.

(1)BECG=______；

(2)当矩形AEGF绕点A逆时针旋转至如图2的位置时，AG与AC不在同一条直线上，通过证明△ABE∽△ACG，求BE与CG之间的数量关系；

(3)当矩形AEGF绕点A继续逆时针旋转至如图3的位置时，直接回答图(2)中的BE与CG之间的数量关系是否还成立？数学小组对图形的旋转进行了拓展研究.如图4，在▱ABCD中，∠BAD=60∘，AB=8，AD=6，E、F分别为AB、AD边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接CG.数学小组发现BE与CG仍然存在着特定的数量关系.

(4)如图5，把图4中的▱AEGF绕点A逆时针旋转，其他条件不变时，发现BE与CG仍然存在着这一特定的数量关系.请你直接写出这个特定的数量关系23.(本小题10分)

综合与探究

问题情境：如图1，在足够长的四边形纸片ABCD中，AB//DC，∠D=90∘，∠C<90∘.将该纸片沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点F处，折痕BE交CD于点E，连接EF.

独立思考：

(1)证明四边形BCEF是菱形；

深度探究：

(2)如图2，已知点O是线段BE上的一点(不与端点重合)，将该纸片沿过点O的直线折叠，使点C的对应点H落在线段CD上，点B的对应点G落在线段AB上，折痕交AB于点M，交CD于点N，连接GH，若GH//BE，GM=BM=a，EN=b，且BOEO=3参考答案1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】B

11.【答案】6

12.【答案】16

13.【答案】4.8

14.【答案】10215.【答案】7

16.解：(1)x2−3x−10=0，

(x−5)(x+2)=0，

∴x−5=0或x+2=0，

∴x1=5，x2=−2.

(2)x(x+2)=4x+8，

x(x+2)−4(x+2)=0，

(x+2)(x−4)=0，

∴x+2=0或x−4=0，

∴x1=−2，x2=4.

17.解：设“加倍”矩形的长为x，则宽为[2×(3+2)−x]，

依题意得：x[2×(3+2)−x]=2×3×2，

整理得：x2−10x+12=0，

解得：x1=5+13，x2=5−13，

当x=5+13时，2×(3+2)−x=5−13<5+13，符合题意；

当x=5−13时，2×(3+2)−x=5+13>5+13，不符合题意，舍去；

答：它的“加倍矩形”的长为5+13，宽为5−13.

18.解：(1)相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，

故答案为：相似三角形的面积比等于相似比的平方(答案不唯一)；

(2)∵△DEF与△ABC位似，相似比为1：2，

∴△DEF∽△ABC，相似比为1：2，

∴△DEF与△ABC的面积比为1：4，

∵△ABC的面积为8，

∴△DEF的面积为2.

19.解：(1)设每箱降价x元，实际售价为(170−x)元/箱，平均每天售出(80+x10×20)箱，即(80+2x)箱，

故答案为：(170−x)，(80+2x)；

(2)设每箱应降价x元，实际售价为(170−x)元/箱，平均每天售出(80+2x)箱，

根据题意得：(170−x−100)(80+2x)=6000，

整理得：x2−30x+200=0，

解得：x1=20，x2=10(不符合题意，舍去)，

答：每箱应降价20元．

20.解：(1)若男生甲第一次从项目B、C、D、E中选一项，男生甲选中项目E的概率为14；

(2)画树状图如下：

由树状图知共有9种等可能结果，其中他俩第二次同时选择项目B或项目D的有2种结果，

所以他俩第二次同时选择项目B或项目D的概率为29.

21.解：(1)∵应构造面积是(x+x−3)2的大正方形，其中四个全等的小矩形面积每一个均为x(x−3)=10，中间的小正方形面积为32，

∴大正方形的面积为22.解：(1)由勾股定理可得AC=10，

∵GE//BC，

∴BEAB=CGAC，

∴BECG=ABAC=45；

故答案为：45；

(2)由旋转可知：∠BAE=∠CAG，

由勾股定理可知：AC=AD2+CD2=10，AG=5，

∵ABAC=810=45，AEAG=45，

∴ABAC=AEAG，

∴△ABE∽△ACG，

∴BECG=ABAC=45，

∴BE=45CG；

(3)成立．

由旋转可知：∠BAE=∠CAG，

由勾股定理可知：AC=AD2+CD2=10，AG=5，

∵A