概率论第7-10章课后习题答案

习题七

X服从二项分布8（〃，〃），〃，X|,X1，Xn为来自X的洋本，求参数〃的矩法估计.

【解】£«）=吵,£（乂）=4=无因此叩=文

所以〃的矩估计量p=—

n

X的密度函数

,2

八0c（"

0,其他

必，X2,…,X”为其样本，试求参数"的矩法估计.

【解】凤X）后仙…dx4（吟一2等，

—0—

令E（X）=A|=X,因此一=X

3

所以〃的矩估计量为O-3X.

X的密度函数为/S,外，X,,X?,…,X“为其样本，求”的极大似然估计.

,、,、Oe°\x>0,

（1）f（x,。）=，

0,x<0.

恪

似然函数L=口/（4。）=jje

【解】⑴一肛=7七一%日

/=1i=l

.dgdinLS…

由上=-----=一一VX=0知］

60d＜90tr

所以。的极大似然估计量为，=2.

X

⑵似然函数L=0"・jp30＜菁＜1，i=l，2,…,n.

/=1

dlnL=仪+m白1o知

d。0V'

所以〃的极大似然估计量为

1,1

Z七

1=1

4.从一-批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下:

号0

益率

求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.

【解】J=-0.0945-=0.101893/?=9

由E(X2)=Q(X)+[E(X)]2,E(X2)=A,=石互知觉+[E“)]2=A,即有

于是a=0.9x().10189=0.0966

所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.

X服从［0,4］上的均匀分布，今得X的样本观测值：0.9,0.8,02,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6,求，的矩

法估计和极大似然估计，它们是否为"的无偏估计.

0—

【解】⑴E(X)=一，令石(X)=X,那么

2

。=25且E{0}=2E(X)=2E(X)=G,

所以0的矩估计值为0=2h=2x0.6=1.2且。=2区是一个无偏估计.

8(1

⑵似然函数L=1[/(4。)=—

显然L=L(。)I(〃>0),那么0=max{x}时，L=L(夕)最大,

所以。的极大似然估计值@=09

因为E(J)=f(max{A；})K〃，所以J=maA{xJ不是〃的无偏计.

H-1

Xi，X2,X”是取自总体X的样本，E(X)=〃，D(X)=小，=火2(乂川一XJ?,问A

/=1

为何值时32为。2的无偏估计.

【解】令Z=X,x-Xj,i=12・「,〃-l,

那么E(Yf)=E(XM)-E(Xf)=//-//=0,D(/.)=2b2,

71-1

于是Ea2=E伙(2邛力=k(n-\)EY;=2/(〃一l)k,

1=1

那么当E((72)=，即2b=a2时,

1

有k=

2（H-1）

X|,X2是从正态总体N（〃，a2]中抽取的样本

试证4,用，用都是〃的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.

（21）2121

【证明】（1）E（A）=E-X,+-X2=-E（XI）+-E（X2）=-//+-//=/Z,

13

E（A2）=-E（XI）+^E（X2）=//,

所以”,用,“均是〃的无谓估计量.

（2）D（A）=[|1O（X）-印=孚,

8.某车间生产的螺钉，其直径X~N（〃，小），由过去的经验知道。2R06,今随机抽取6枚,

测得其长度（单位mm）如下：

试求〃的置信概率为0.95的置信区间.

【解】〃=6,。2=0.06,。=1-0.95=0.05,

x=14.95,%=%3=1.96,,

=(14.95±0.1x1.96)=(14.754,15.146).

X土~2

X〜N3",。2,问需抽取容量〃多大的样本，才能使〃的置信概率为1-%且置信区间的

长度不大于L?

【解】由。2可知〃的置信度为La的置信区间为（工±%,2三）,

于是置信区间长度为学・%,2,

5/〃

那么由竿・%,2WL,得心4b（父）一

x/nL

X~N（M,小），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（依・加2）：

64694992559741848899

846610098727487844881

（I）求〃的置信概率为0.95的置信区间.

（2）求小的置信概率为0.95的置信区间.

【解】£=76.6,s=18.14。=1-0.95=0.05,w=20,

（1）〃

⑵/

(e+i)J,o<x<i；

x如)=〈其111e>—i

0,其他.

X/2,…8是X的一个样本，求，的矩估计量及极大似然估计量.

【解】(1)

又

故

A2X-1

所以夕的矩估计量0=

(2)似然函数

,“小6/7、日端。<先<1(i=12,•,〃)

L=ue)=l]/(七)=Ji=?

.0其他

取对数

所以〃的极大似然估计量为。=-1--一

为InXj

6Y

-4(<9-X),0<X<6>;

X4x)二g

.0,其他.

XM,…,Xn为总体X的一个样本

(1)求。的矩估计量5：

(2)求。(J).

【解】⑴E(X)=J；6x)chJ：^(07)dA=*

_0

令EX=X=—，

2

所以"的矩估计量0=2X.

A.-4

(2)D(0)=D(2X)=4D(X)=-DX,,

n

又

于是

D(X)=E(X2)-(EX)2=-

10420

所以

火苍。）=

0,x<9.

其中优。>0）为未知参数，又设RM2,…口〃是总体X的一组样本观察值，求夕的极大似然估计值.

【解】似然函数

由业咳=2〃>0知1.（0）个，

dO

那么当。=min{xj时InLiO)=maxIn那6)

所以0的极大似然估计量0=min{Xj}

14.设总体X的概率分布为

2次1-。)

其中仇0〈欣!）是未知参数，利用总体的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3,求，的矩估计

值和极大似然估计值.

【解】

所以。的矩估计值。

（2）似然函数L=口P5,〃）=4加（1—加）（]一20）\

解6-286+24〃=0

7±V13

7+V13

122

所以。的极大似然估计值为

15.设总体X的分布函数为

[0,x<a.

其中未知参数"设Xi、Xz,…,X”为来自总体x的样本

（1）当《=1时，求夕的矩估计量：

（2）当《=1时，求/?的极大似然估计量;

⑶当0=2时,求〃的极大似然估计量.

【解】

当。=1时，/(x,0=尺W)T一|'

0,x<\.

2a2

当4=2时JQ,a)=F；(x、a,2)="一区

0,x<a.

(I)E(X)=r^-dx=-^-x'-fi\^=-^-

xp\-p11p-\

令E(X)=N，于是/=X

所以夕的矩估计量6x-r

(2)似然函数

所以£的极大似然估计量8=-——

一呻

F-I

(3)似然函数

显然L=L(a)T,

那么当G=min{xj时,L=L(d)=maxL(a),

l<r<na>0

所以。的极大似然估计量自=min{xj.

16.从正态总体X~N(3.4,62)中抽取容量为〃的样本，如果其样本均值位于区间(1.4,5.4)

内的概率不小于0.95,问〃至少应取多大？

Z

Z

【解】又〜N(3.4,Q],那么2=丘科〜N(0,l),

knJ6/\Jn

于是0毛)NO.975那么坐21.96,

/.«>35.

17.设总体X的概率密度为

仇()<X<1,

f(x,〃)=«1-4I<x<2,

0,其他.

其中〃是未知参数(0<0<1),X1,X2,….X”为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值M/2,…%

中小于1的个数.求：

（1）夕的矩估计；

（2）。的最大似然估计.

解（I）由于

令3-。=又，解得-5，

22

所以参数。的矩估计为

3—

0=--X.

2

似然函数为

4。）二口/（若；夕）=吸「"尸，

/=!

取对数，得

两边对e求导，得

令32=0、得

（\0n

所以。的最大似然估计为

。」.

n

18.

19.

习题八

I.某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布M）.现在测了5炉铁水，其含碳量（％）

分别为

问假设标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（。=0.05）?

【解】

所以拒绝以），认为总体平均值有显著性变化.

2.某种矿砂的5个样品中的含银量（％）经测定为：

设含银量服从正态分布，问在a=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含银量为3.25.

【解】设

所以接受N）,认为这批矿砂的含银量为3.25.

3.在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均，假设从这种杏烟堆中任取36支作为样本；测得

样本均值为1.008（克），样本方差『=0.1（/）.问这堆香烟是否处于正常状态.香烟（支）的重量（克）近

似服从正态分布（取a=0.05）.

【解】设

所以接受以），认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.

4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9小时.在实验

室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19,18,20,22,16,25,问这些结

果是否说明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短？设月池寿命近似地服从正态分布（取

a=0.05）.

【解】

所以接受”o，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.

5.测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出x=0.452（%）40.037（%）.设测定值总体为正

态，"为总体均值，。为总体标准差，试在水平。=0.05下检验.

⑴为："=0.5(%)；Hi：〃V0.5(%).

⑵/：b=0.04(%)；H\:a<0.04(%).

【解】(1)

所以拒绝M)，接受

(2)

所以接受〃()，拒绝

N(〃，0.005,•今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得一=0.05,能否认为这批

导线电阻的标准差仍为0.005?

【解】

故应拒绝Ho,不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.

7.有两批棉纱，为比拟其断裂强度，从中各取一个样本，测式得到：

第一批棉纱样本：m=200,x=,5|=：

第二批棉纱样本：〃2=200,y=,52=.

设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？(Q=0.05)

【解】

所以接受Ho,认为两批强度均值无显著差异.

A,8对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为0.4322(%?)

与0.5006(%2).假设48所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为的2,他试在水平。

【解】

那么用.975(4,4)</<485(4,4).

所以接受“0,拒绝冏.

9.

1().

II.

12.

习题九

I灯泡厂用4种不同的材料制成灯丝，检验灯线材料这一因素对灯泡寿命的影响.假设灯泡寿

命服从正态分布，不同材料的灯丝制成的灯泡寿命的方差相同，试根据表中试验结果记录，在显著性公

平下检验灯泡寿命是否因灯丝材料不同而有显著差异？

试验批号

123456

7

丝16006106506807(X)720800

料2580640640700750820

66c740

平3460550600620640

68C

4510520530570600

【解】

44

Sr=yy^--=69895900-69700188.46=195711.54,

41T2

2

SA=V—T；--=69744549.2-6970()188.46=44360.7,

Mn,n

S£=Sr-S4=151350.8,

SKr-\)44360.7/3...

rF=--A--------=-------------=2.13

SEl(n-r)151350.8/22

405⑶22)=3.05

故灯丝材料对灯泡寿命无显著影响.

表9-1-1方差分析表

均方和

方差来平方和

自由度F值

源S5

因素影

3

响

误差22

总和25

2.一个年级有三个小班，他们进行了一次数学考试，现从各个班级随机地抽取了一些学生，记

录其成绩如下：

III111

736688776841

896078317959

824548785668

439391629153

803651767179

737785967115

748087

56

试在显著性水平下检验各班级的平均分数有无显著差异.设各个总体服从正态分布，且方差相

等.

【解】

33尸

1=£2片----=199462-185776.9=13685.1,

/-I>1〃

3।/

=Y—7；2--^=186112.25-185776.9=335.35,

n

S£=5r-S4=13349.65,

故各班平均分数无显著差异.

表9・2・1方差分析表

均方和

方差来平方和

自由度尸值

源SS

因素影

2

响

误差37

总和1368539

3.下面记录了3位操作工分别在不同机器上操作3天的日产量.

甲乙丙

1515

41191916161821

17

1717

42151515192222

17

1517

A3181716181818

16

1820

151617171717

22

取显著性水平a=0.05,试分析操作工之间，机器之间以及两者交互作用有无显著差异？

【解】

由r=4j=3,Z=3.

，/，号/力的计算如表”I

表9-3-1

Tij\操

甲乙丙乙

机器

4

5455156

A7

5

4563159

41

4

A35154153

8

6

4851159

40

2

198223627

06

表9-3-2得方差分析表

均方和

方差米平方和

自由度F值

源SS

因素AFA=。5

3

（机器）

3

因素B

2FB

（操作工）

交互作

6FAXB

用AxB

误差24

总和

接受假设，拒绝假设，。2，”山

即机器之间无显著差异，操作之间以及两者的交互作用有显著差异.

4.为了解3种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异，对3种不同品种的猪各选3头进行试验,

分别测得其3个月间体重增加量如下表所示，取显著性水平a,试分析不同饲料与不同品种对猪的生长

有无显著影响？假定其体重增长量服从正态分布，且各种配比的方差相等.

因素31品种）

体重增长量

BiBi&

因素AA,515645

（饲535749

料：小525847

【解】由尸产3,经计算x=52,£=50.66,x2=53

xs=52.34,T,=52,q=57,=47,

表9-4-1得方差分析表

均方和

方差来平方和

自由度F值

源S5

饮料作

2

用

品种作

150275

用

试验误

4

差

总和162

由于心05(2,4)=6.94>工,七os(2,4)<FB.

因而接受假设“01，拒绝假设“02.

即不同饲料对猪体重增长无显著影响，猪的品种时猪体重增长有显著影响.

5.研究氯乙醉胶在各种硫化系统下的性能（油体膨胀绝对值越小越好）需要考察补强剂（A）、

防老剂（8）、硫化系统（C）3个因素（各取3个水平），根据专业理论经验，交互作用全忽略，根据选

用加（3。表作9次试验及试验结果见下表：

表试验

头设计

列1234结果

号

试

验号

11111

21222

31333

42123

52231

62312

73132

83213

93321

试件最优生产条件的直观分析，并对3因素排出主次关系.

给定。=0.05,作方差分析与⑴比拟.

【解】（1）对试验结果进行极差计算，得表9・5」.

表9-5-1

7b

%

T

R,

由于要求油体膨胀越小越好，所以从表9-5-1的极差号的大小顺序排出因素的主次顺序为：三

一次8AC

最优工艺条件为：A2B2Cy.

1r/

⑵利用表9S1的结果及公式Sj=-Z7；；一得表a-2.

ri-i尸

表9-5-2

ABC

4

123

S=5.241

s,T

S

表9S2中第4列为空列，因此邑=S&=0.256,其中力=2,所以e方差分析表如表9-5-3.

表9-5-3

方Sj/J/F=w显

fj

差来源3

42

B2

C2

e2

由于纥05（2,2）=19.00,故因素C作用较显著，A次之，5较次，但由于要求油体膨胀越小越

好，所以主次顺序为：BAC,这与前面极差分析的结果是一致的.

6.某农科站进行早稻品种试验（产量越高越好），需考察品种（A）,施氮肥量（8）,氮、磷、

钾肥比例（C）,插植规格（。）4个因素，根据专业理论和经验，交互作用全忽略，早稻试验方案及结

果分析见下表：

试

ABCD

因验指标

品施氮、磷、插

素试脸号产

种氮肥量钾肥比例植规格

量

I

（科6号）11(2：2：K

11(20)1)5x6)

22（22(3：2：2(

3科5号）(25)3)6x6)

42112

5K221

6科7号）121

71212

82（122

珍珠矮）211

2

（1）试作出最优生产条件的直观分析，并对4因素排出主次关系.

（2）给定a=0.05,作方差分析，与（1）比拟.

【解】被考察因素有4个：A,B,C,。每个因素有两个水平，所以选用正交表S7），迸

行极差计算可得表9-6-1.

表9-6-1

列号

水平耐

试验验结果

号

1

2

3

4

5

6

7

8

TM

T

4

段

主T次

从表9-6-1的极差号的大小顺序排出因素的主次为：B,C,A,D

最优方案为：\B,C,D,

(2)利用表9-6-1的结果及公式立=」才4一［得表9-6-2.

ri=\P

表9-6-2

ST=V.895

表962中第1,3,7列为空列，因此品=$1+$3+$7=18.3304=3,所以&=6.110.而在上表中其他列口

fe

土＜&.故将所有次均并入误差，可得

fjfe

整理得方差分析表为表9-6-3.

表9-6-3

方土F=

si4

差来源7谧显

Ai

Bi

Ci

Di

e3

心7

主T次

由于4.05(1-7)=5.59,故4因素的影响均不显著，但依顺序为：与(I)中极差分

析结果一致.

习题十

1.在硝酸钠(NaNCh)的溶解度试验中，测得在不同温度x(C)下，溶解于100份水中的硝酸钠份

故b=q=().8706,a=-bx—=67.5078,

黑99

从而回归方程：y=67.5078+0.8706X.

2.测量了9对父子的身高，所得数据如下（单位：英寸）.

父606264666768707274

亲身高刘

儿63.665.26666.967.167.468.370.1

子身高y.7()

求（1）儿子身高y关于父亲身高x的回归方程.

（2）取明检验儿子的身高y与父亲身高x之间的线性相关关系是否显著.

（3）假设父亲身高70英T，求其儿子的身高的置信度为95%的预测区间.

【解】经计算得，

故回归方程：y=36.5891+0.4565X.

故拒绝〃o,即两变量的线性相关关系是显著的.

从而其儿子的身高的置信度为95%的预测区间为

±0.9540）=（67,5934,69.5014）.

3.随机抽取了10个家庭，调查了他们的家庭月收入x（单位：百元）和月支出六单位：百元）,

记录于下表:

201520251620181922