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2027届新高考数学热点精准复习立体几何探究存在、最值问题类型一

探究存在问题

(1)求证:PA∥平面BDE;[解析](1)如图，连接AC交BD于点G，连接EG，由正方形ABCD可得:AG=GC.因E是PC的中点，则PA∥EG，又因PA⊄平面EDB，EG⊂平面EDB，故PA∥平面EDB.(2)求证:PD⊥平面ABCD;

[解析](3)由题意和(2)的结论，如图，以点D为原点，

[小结]1.对于存在判断型问题的求解,应先假设存在,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等.2.对于位置探究型问题,通常借助向量,引进参数,综合已知和结论列出等式,解出参数.1.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1.(1)求点A到平面PBC的距离;(2)在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC?若存在，求出点M的位置;若不存在，说明理由.(1)求点A到平面PBC的距离;[解析](1)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，且BE⊥AD，BE⊂平面ABCD，故BE⊥平面PAD.以E为原点，EB，ED所在直线为x，y轴，过点E平行于PA的直线为z轴，建立空间直角坐标系Exyz，

(2)在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC?若存在，求出点M的位置;若不存在，说明理由.

(1)求证:EA=EB;[解析](1)证明:取AB的中点G，连DG交AF于H.在正方形ABCD中，

由于平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，故BC⊥平面ABE，又EG⊂平面ABE，则BC⊥EG.因为AF⊥EG，AF∩BC=F，BC⊂平面ABCD，AF⊂平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，又因为AB⊂平面ABCD，则EG⊥AB，又点G是AB的中点，故EA=EB.

[小结]范围问题常常利用函数、基本不等式求解，也可直接根据几何图形找到最大位置求解.2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，棱AC，CC1的中点分别为D，E，C1在平面ABC内的射影为D，△ABC是边长为2的等边三角形，且AA1=2，点F在棱B1C1上运动(包括端点).(1)若点F为棱B1C1的中点，求点F到平面BDE的距离;(2)求锐二面角F-BD-E的余弦值的取值范围.(1)若点F为棱B1C1的中

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