独立性检验+高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

8.3.2独立性检验第八章

成对数据的统计分析新课引入需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算．问题：在上节例1中，通过频率比较，推断：“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”，但由于数据的随机性，这一推断有可能是错误的.犯错误的概率有多大？如何避免呢？如何从概率的角度去研究两个分类变量

X与

Y是否有关联？新课引入问题1

你知道法官是如何凭证据进行判案的吗？先做一个无罪假设找无罪假设下不可能出现的物证和人证。找到了，假设不成立，嫌疑人有罪。没找到，没有充分证据证明假设不成立，暂且认为无罪。假设X，Y相互独立，无关联找假设下不可能发生的事件。(利用小概率原理)发生了，假设不成立，X，Y不独立，从而证明二者有关联。没发生，没有充分证据证明假设不成立，暂且认为X，Y相互独立。类比我们是否可以类比法官判案的方式去判断两个分类变量X，Y是否有关联？零假设H0：分类变量X和Y独立我们需要判断下面的假定关系是否成立H0：P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)通常称H0为零假设或原假设问题2

设

X和

Y为定义在以Ω为样本空间上，且取值于{0，1}的成对分类变量，如何判断事件{X＝1}和{Y＝1}之间是否有关联？用概率语言，将零假设改述为新知学习问题3

如何基于列联表中的数据，构造适当的统计量，对成对分类变量

X

和

Y

是否相互独立作出推断?新知学习卡方统计量：XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d上述表达式是

χ2的计算公式，

χ2读作“卡方”.新知学习如果零假设H0成立，则χ2应该很小.如果零假设H0不成立，则χ2应该很大.统计学家建议，用随机变量χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据.思考1：卡方统计量有什么用呢？新知学习根据小概率事件在一次试验中不大可能发生的规律，上面的想法可以通过确定一个与H0相矛盾的小概率事件来实现.思考2：如何确定判断χ2大小的标准呢？在假定H0的条件下，对于有放回简单随机抽样，当样本容量充分大时，统计学家得到了χ2的近似分布，忽略卡方的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数，使得下面关系成立：新知学习我们称

xα为

α的临界值，这个临界值可以作为判断χ2大小的标准.概率值α越小，临界值xα越大.P(X≥xα)＝α成立意味着小概率事件发生，从而推断零假设H0不成立，不过这个推断有可能犯错误，但犯错误的概率不会超过α.P(χ2≥xα)＝α概念生成基于小概率值α的检验规则：用χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据，当它比较大时推断H0不成立，否则认为H0成立。这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.当χ2≥xα时，推断H0不成立，即认为

X和

Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，没有充分证据推断H0不成立，可以认为

X和

Y独立.新知学习下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828我们推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05；(2)当χ2＜x0.05＝3.841时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立.例如：对于小概率值α＝0.05，我们有如下的具体检测规则：(1)当χ2≥x0.05＝3.841时，典例剖析例1

某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据:抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名.试根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.零假设H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异，疗法疗效合计未治愈治愈甲155267乙66369合计21115136由已知数据列出2×2列联表：解析：典例剖析疗法疗效合计未治愈治愈甲155267乙66369合计21115136α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828根据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差异.方法归纳(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释.(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较.(3)根据检验规则得出推断结论.(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析

X和Y间的影响规律.应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节：典例剖析例2

为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了9965人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示.

依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险.零假设为H0：吸烟和患肺癌之间没有关联.根据列联表中的数据，计算得到解析：吸烟肺癌合计非肺癌患者肺癌患者非吸烟者7775427817吸烟者2099492148合计9874919965典例剖析α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，推断H0不成立(数学结论)，即认为吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001

(实际结论).变式训练练习1为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得χ2＝7.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为()

A．0.1%

B．1%C．99%

D．99.9%Cα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828变式训练练习2某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表：能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？顾客性别与满意评价列联表附：α0.10.050.01xα2.7063.8416.635满意不满意合计男顾客401050女顾客302050合计7030100

变式训练顾客性别与满意评价列联表附：α0.10.050.01xα2.7063.8416.635满意不满意合计男顾客401050女顾客302050合计7030100

解析：我们推断H0不成立，即认为性别与满意评价有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故有95%的把握认为男女顾客对该商场服务的评价有差异。零假设H0：假设性别与满意评价无关

根据小概率值α=0.05的独立性检验，变式训练练习3为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，根据105个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：依据α＝0.05的独立性检验，分析药物A对预防疾病B的有效性.药物A疾病B合计未患病患病未服用291544服用471461合计7629105无关联，即药物A对预防疾病B没有效果，根据列联表中数据，经计算得到解析：零假设H0：药物A与预防疾病B变式训练依据α＝0.05的独立性检验，分析药物A对预防疾病B的有效性.解析：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即可以认为药物A对预防疾病B没有效果.变式训练练习4从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：依据α＝0.05的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联?数学成绩语文成绩合计不优秀优秀不优秀21261273优秀5473127合计266134400解析：零假设H0：数学成绩与语文成绩没有关联，根据列联表中数据，经计算得到变式训练依据α＝0.05的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联?解析：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，我们可以推断H0不成立，即认为数学成绩与语文成绩有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05.变式训练练习5某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，得出以下2×2列联表：如果随机抽查该班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是12/5.(1)求a，b，c，d的值；积极参加班级工作不太主动参加班级工作总计学习积极性高18725学习积极性一般ab25总计cd50变式训练如果随机抽查该班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是12/25.(1)求a，b，c，d的值；积极参加班级工作不太主动参加班级工作总计学习积极性高18725学习积极性一般ab25总计cd50(1)积极参加班级工作的学生有c人，总人数为50，由抽到积极参加班级工作的学生的概率P1＝c/50＝12/25，解得c＝24，所以a＝6．所以b＝25－a＝19，d＝50－c＝26．解析：变式训练(2)试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工