基本不等式（第2课时）2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2

基本不等式

第2课时

基本不等式的应用

第二章一元二次函数、方程与不等式学习目标1.通过例题和练习，掌握两个不等式成立的前提条件:“一正二定三相等”体会数学是从生活中来到生活中去的数学思想；2.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.复习导入1.重要不等式的内容是？

2.基本不等式的内容及注意事项？(1)基本不等式成立的条件:_____________.(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号.注意：一正二定三等.

3.常见的不等式推论？问题：复习导入已知

x,y

都是正数,

P,S

是常数.

例题讲解例1

（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.怎样把本例转化为基本不等式的数学模型求解？

分析：矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.yx例题讲解（2）用段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：由题可知2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym2当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园面积最大，最大面积是81m2.问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.分析：矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为:矩形的邻边之和为定值,边长多大时面积最大.总结概括求实际问题中最值的一般思路：(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.(3)借助基本不等式计算确定最值．(4)写出正确答案．例2

某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?例题讲解

解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:由容积为4800m3,可得3xy=4800因此xy=1600例2

某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?例题讲解当x=y,即x=y=40时,等号成立.所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.即：问题背景复杂时，先将问题简化，再用基本不等式模型求解.方法归纳利用基本不等式解决实际问题的思路

练一练题型一

利用基本不等式求最值

练一练题型一

利用基本不等式求最值

练一练题型一

利用基本不等式求最值

4

当且仅当t＝1时，等号成立.∴y的最小值为－2.－2方法归纳解题技巧：（利用基本不等式求最值）(1)通过变形或“1”的代换，将其变为两式和为定值或积为定值；(2)根据已知范围，确定两式的正负符号；(3)根据两式的符号求积或和的最值.总而言之，基本不等式讲究“一正二定三等”.练一练题型二利用基本不等式解决实际问题1.某公司一年采购某种货物600吨，每次采购x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次采购多少吨？解：设总费用为y元，

则当且仅当

，即x=30时，等号成立，答：每次采购30吨.练一练题型二利用基本不等式解决实际问题2.某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m完的空地.设矩形温室的边长分別为a,b,确定矩形温室的边长，使蔬菜的种植面积最大.解：室内面积为ab=800，蔬菜的种植面积S=(a-2)(b-4)=ab-4a-2b+8=808-(4a+2b)≤==808-160＝648(m2)，当且仅当4a=2b,a=20m,b=40m时等号成立.练一练题型二利用基本不等式解决实际问题3.某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：①仓库面积S的最大允许值是多少？②为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解：①设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3200，由基本不等式得3200≥所以，即故≤10，从而S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，练一练题型二利用基本不等式解决实际问题

3.某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：①仓库面积S的最大允许值是多少？②为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？②取得最大值的条件是40x＝90y