小学五年级数学《小数除法：除数是小数的算理与算法》单元整体教学设计

小学五年级数学《小数除法：除数是小数的算理与算法》单元整体教学设计

  一、设计理念与理论框架

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生核心素养，聚焦于“运算能力”与“推理意识”的培养。设计摒弃传统教学中将“一个数除以小数”简化为机械记忆法则与重复操练的模式，转而致力于构建一个“理解算理、掌握算法、发展思维”的深度探究过程。其理论内核是建构主义学习观，强调学生在已有知识经验上的主动建构。具体而言，将“除数是小数的除法”置于“小数除法”这一大单元的整体脉络之中，视其为“除数是整数的小数除法”的自然延伸与逻辑发展。教学设计的核心策略是“转化”思想的渗透与应用，引导学生自主发现将“新知”（除数是小数）转化为“旧知”（除数是整数）的认知路径。整个过程强调情境问题的驱动、直观模型的支撑、合作探究的深化以及数学思想的升华，力求实现从知识技能到数学素养的跨越。

  二、课程标准与核心素养分析

  根据课标要求，在“数与代数”领域“数的运算”主题下，五年级学生应能“探索并掌握小数除法的计算方法，能分别进行简单的小数除法运算，能在实际情境中理解小数除法的意义，形成运算能力和推理意识”。本课内容直接对应此要求。从核心素养视角剖析：其一，发展“运算能力”。这不仅要求学生会正确计算，更要求他们理解每一步运算的依据，能根据算理选择合理的算法，并能通过估算判断结果的合理性。其二，培育“推理意识”。学生需经历从具体实例观察、比较到一般规律归纳的过程，理解“商不变的规律”在算法转化中的关键作用，并能用清晰的语言表述推理过程。其三，渗透“模型意识”。通过创设贴近学生生活的真实或模拟情境，引导学生抽象出数学问题，并用除法模型予以解决，体会数学的应用价值。其四，关联“数感”。在移动小数点、估算商的范围等活动中，不断强化学生对小数大小、数位关系的直观感知。

  三、单元整体分析与学情前测

  本课隶属于“小数除法”大单元。单元知识链为：除数是整数的小数除法→一个数除以小数→商的近似数→循环小数→用计算器探索规律→解决问题。本课处于承上启下的枢纽位置。学生此前已牢固掌握：整数除法的计算方法、商不变的规律、小数点位置移动引起小数大小变化的规律，以及除数是整数的小数除法（包括被除数整数部分不够商1、添0继续除等情况）。这是本课学习的逻辑起点。然而，经验表明，学生学习的困难点往往不在于最终算法的记忆，而在于算理理解的模糊，尤其是对“为什么除数变成整数，被除数也要随之变化”这一核心步骤的深层逻辑理解不清，容易产生“只移动除数小数点”或“被除数、除数小数点移动方向混淆”等典型错误。为此，在正式教学设计前，进行了学情前测。前测题目包括：1.计算7.65÷0.85，并写出或说出你的思考过程；2.判断：计算2.4÷0.06，可以直接看成240÷6，对吗？为什么？3.用你喜欢的方式说明0.6÷0.2的意思。前测结果显示，约40%的学生能凭直觉或课外预习模仿算法得出正确结果，但能清晰说明算理者不足15%；约35%的学生对转化过程存在疑惑；其余学生则完全无法建立新旧知识联系。这为本教学设计的重点与难点确定提供了精确依据。

  四、教学目标

  基于以上分析，确立以下三维教学目标：

  1.知识与技能：理解并掌握除数是小数的除法的计算方法，能正确、熟练地进行笔算，并能解决相关的简单实际问题。

  2.过程与方法：经历自主探索、合作交流“除数是小数的除法”计算方法的全过程，在利用商不变的规律进行转化的过程中，发展类比、迁移、归纳的数学思维能力，体验转化这一重要的数学思想方法。

  3.情感、态度与价值观：在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，培养主动探究、勇于尝试的学习品质和严谨认真的计算习惯，获得成功的体验。

  五、教学重难点

  教学重点：探究除数是小数的除法的计算方法，理解并掌握将除数转化为整数的算理与算法。

  教学难点：理解“转化”过程中依据“商不变的规律”同步移动被除数和除数小数点的道理；能正确处理被除数位数不够时需补“0”的情况。

  六、教学准备

  1.教师准备：多媒体课件（内含情境动画、动态演示小数点移动过程、分层练习题组）、实物投影仪。

  2.学生准备：每小组一张探究学习单、方格纸或数位顺序表模型卡片、常规学习用具。

  3.环境准备：学生按4-6人异质小组围坐，便于开展合作探究。

  七、教学过程实施

  （一）情境激趣，问题导入，激活认知冲突（预计时间：8分钟）

    1.创设真实情境，提出问题。课件呈现精心设计的“校园文创义卖”情境图：小明同学用7.5元购买了单价为2.5元的环保书签，请问他能买几个？学生能迅速口答：7.5÷2.5=3（个）。教师追问：“你是怎样这么快算出来的？”引导学生初步表达“将2.5元看作25角，7.5元看作75角，转化为75÷25”的思考，初步感知“转化”思想。

    2.升级问题难度，引发冲突。课件情境继续：义卖会上，一种精美笔记本的单价是0.85元，班主任老师给了班费7.65元，请问最多可以购买几本？还剩多少元？列出算式：7.65÷0.85。教师提问：“这个算式和刚才的有什么不同？”（除数是小数）“还能像刚才那样，直接利用我们学过的‘除数是整数的小数除法’来计算吗？”学生发现除数是0.85，无法直接作为整数去除。认知冲突自然产生：“除数是小数的除法，该怎么计算呢？”至此，课题“一个数除以小数”的学习必要性在学生心中生根，学习目标得以明确。

    3.提出猜想，明确方向。教师鼓励学生大胆猜想：“面对这个新问题，你们觉得可以怎样想办法解决它？能不能把它变成我们学过的知识？”引导学生联想到“转化”思想，并猜测是否可以利用“商不变的规律”。教师板书核心猜想：“能否将‘除数是小数的除法’转化为‘除数是整数的除法’？”

  （二）多元探究，深度建构，明晰算理算法（预计时间：22分钟）

    本环节是教学的核心，采用“个体思考—小组合作—全班分享—教师精讲”的递进式探究模式。

    1.独立尝试，初步探索。发放探究学习单，请学生独立尝试用自己喜欢的方法计算7.65÷0.85，并记录下思考过程。教师巡视，捕捉不同的思维火花（如单位换算、画图、利用商不变规律直接移动小数点等），为后续交流做准备。

    2.小组合作，智慧碰撞。在独立思考基础上，开展小组合作学习。任务如下：（1）轮流分享自己的计算方法与理由；（2）共同讨论：哪种方法最通用、最方便？为什么？（3）尝试总结：把除数是小数的除法变成除数是整数的除法，关键步骤是什么？需要注意什么？小组活动期间，教师深入各组，倾听讨论，进行针对性点拨，如引导使用方格纸模型（将7.65和0.85表示为若干个小方格，直观展示同时扩大到100倍的过程）辅助理解。

    3.全班交流，辨析明理。邀请不同方法的小组代表上台展示讲解。

    展示A（单位换算法）：7.65元=765分，0.85元=85分，765÷85=9。教师肯定其将“元”转化为“分”的巧妙，同时追问：“单位换算的本质是什么？”引导学生认识到这实质上是将两个数同时乘100，利用了“被除数和除数同时乘相同的数，商不变”的规律。

    展示B（利用商不变规律-算式推导法）：根据商不变规律，要让除数0.85变成整数85，就要乘100。为了使商不变，被除数7.65也要乘100，变成765。所以7.65÷0.85=(7.65×100)÷(0.85×100)=765÷85=9。教师追问：“为什么被除数也要乘100？不乘会怎样？”引导学生结合除法的意义深入理解。

    展示C（直观模型法）：使用方格纸或数位表，展示将代表7.65和0.85的图形同时扩大100倍，其倍数关系（商）不变。

    在多种方法展示后，教师引导学生进行比较、沟通与优化，达成共识：利用商不变的规律，将除数和被除数同时扩大到原来的相同倍数（通常是将除数变成整数），是解决这类问题最通用、最核心的方法。

    4.教师精讲，规范竖式，突破难点。教师利用课件，动态演示竖式计算的标准过程与思维步骤，将隐性的算理通过显性的操作外化。

    步骤一：定位与转化。首先写出竖式7.65÷0.85。提问：“我们的目标是什么？（把除数变成整数）除数0.85要变成整数85，小数点需要向右移动几位？（两位）根据商不变规律，被除数的小数点该怎么办？（也必须向右移动两位）”

    步骤二：移动与记录。在竖式中，规范地处理小数点移动。用醒目的颜色和箭头标示：将除数0.85的小数点划去，变成整数85；同时，将被除数7.65的小数点向右移动两位（位数不够时，用0补足），变成765。强调：为了清晰记录转化的过程，移动后的小数点可以暂时写在新的位置，或用心记，原小数点可划去。

    步骤三：计算与回顾。此时，算式已转化为765÷85。引导学生回顾除数是整数的除法计算法则进行计算，得到商9。最后，将商写在对应被除数（转化后的765）的个位上。计算完成后，引导学生回顾整个转化与计算过程，并尝试用自己的语言完整复述算法。

    5.变式练习，深化理解。立即出示变式题：0.544÷0.16。让学生独立尝试竖式计算。此题为设计亮点：除数0.16转化为整数16需移动两位，而被除数0.544移动两位后是54.4，出现了“被除数的小数点移动后仍是小数”的情况。计算过程中，学生还会遇到54除以16商3，余数是6，需要将十分位上的4落下来继续除的情况。通过此题的练习与讲评，深化对“转化”过程的理解，并自然处理“被除数位数足够但移动后仍是小数”以及“继续除”的问题，为后续更复杂情况做铺垫。

  （三）归纳概括，提炼法则，形成结构化认知（预计时间：5分钟）

    在充分探究和练习的基础上，引导学生脱离具体算式，进行抽象概括。教师提问：“通过刚才的研究，谁能总结一下，计算除数是小数的除法，一般要按怎样的步骤进行？”鼓励学生大胆表达，教师相机引导、补充和完善。最终师生共同提炼出计算法则，并板书：

    1.一看：看清除数有几位小数。

    2.二移：先移动除数的小数点，使它变成整数；再移动被除数的小数点，移动相同的位数（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）。

    3.三算：按照除数是整数的小数除法进行计算。

    教师强调，“二移”是核心步骤，其依据是“商不变的规律”，目的是实现“转化”。此环节旨在将具体的操作经验上升为普适的计算程序，形成结构化的知识网络。

  （四）分层巩固，灵活应用，发展运算能力（预计时间：10分钟）

    练习设计遵循“基础巩固—变式辨析—综合应用—拓展挑战”的梯度，满足不同层次学生的发展需求。

    第一层次：基础巩固。完成教材“做一做”中的基本题，如：4.68÷1.2，5.98÷0.23等。要求独立完成，同桌互查，重点检查小数点移动是否正确。旨在巩固算法，形成初步技能。

    第二层次：变式辨析。设计判断题或改错题。

    （1）判断：计算0.672÷4.2=67.2÷42。（）

    （2）下面的计算对吗？如果不对，错在哪里？

    ①2.8÷0.5=28÷5=5……3（引导学生辨析余数在转化过程中的变化）

    ②12.6÷0.28=126÷28=4.5（除数、被除数移动位数错误）

    此层次练习旨在深化对算理的理解，辨析常见错误，培养严谨的思维习惯。

    第三层次：综合应用。回归解决实际问题。

    （1）一辆汽车0.5小时行驶22.5千米，照这样计算，这辆汽车1.2小时能行驶多少千米？

    （2）一套童装用布1.8米，20米布最多可以做多少套这样的童装？（渗透“去尾法”的近似数思想，为后续学习铺垫）

    此层次旨在培养学生从现实情境中抽象数学问题、选择算法并解决问题的能力。

    第四层次：拓展挑战。（供学有余力的学生选做）思考：计算0.00……0625÷0.00……025，其中被除数的小数部分有2023个0，除数的小数部分有2022个0。你能快速说出商的整数部分是多少吗？此题为学有余力者提供思维体操，深刻体会小数点移动规律在特殊情境下的应用。

  （五）回顾反思，评价延伸，升华数学思想（预计时间：5分钟）

    1.课堂总结。引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结。“今天我们学习了什么？（除数是小数的除法）我们是怎样学会的？（利用商不变的规律，把新知识转化成旧知识）在这个过程中，你体会到了哪种重要的数学思想？（转化思想）”

    2.自我评价。设计简单的课堂自我评价表（意念中或简单呈现），如：“我能说清算理☆☆☆，我能正确计算☆☆☆，我能解决问题☆☆☆”，让学生进行自我评估。

    3.布置作业。作业分为必做与选做。必做题：完成教材练习中的相关题目，强调书写规范。选做题：（1）生活小调查：寻找生活中包含“一个数除以小数”计算的实际例子，并尝试解答。（2）数学小探究：整数除以小数（如12÷0.3）、小数除以纯小数（如0.4÷0.02）等在计算方法上有什么相同与不同？

    4.预告延伸。简要预告下节课内容：“今天我们解决了除数是一位或两位小数的问题，如果除数是三位小数呢？方法还一样吗？在计算中，如果永远除不尽，又会遇到什么新情况呢？我们下节课继续研究。”以此建立单元知识的前后联系，激发持续探究的兴趣。

  八、板书设计

  板书设计力求体现教学脉络，突出重点算理，形成知识结构。

  左侧主板书区域：

  一个数除以小数

  转化思想：新知→旧知

  核心依据：商不变的规律

  例：7.65÷0.85=9

  竖式规范书写（动态演示步骤）：

  一看：除数0.85有（两）位小数。

  二移：除数小数点右移两位→85（整数）

  被除数小数点右移两位→765

  三算：计算765÷85=9

  计算法则：（归纳概括的1.看、2.移、3.算）

  右侧副板书区域：

  学生探究过程中生成的关键想法或不同方法（如单位换算、画图等）的关键词。

  练习中的典型错误辨析要点。

  九、教学特色与创新点反思

  本教学设计力求体现以下特色与创新：第一，坚持素养导向。将运算技能的训练置于算理理解与思想方法渗透的坚实基础上，瞄准核心素养的养成。第二，强调整体建构。将本课置于单元乃至整个小学阶段数的运算体系中进行定位与设计，注重知识的前后联系与结构化。第三，突出学生主体。设计真实的认知冲突，提供充分的探究