广东深圳市多校联考2025-2026学年第二学期高一期末质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东深圳市多校联考2025-2026学年第二学期高一期末质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数z满足z3−4i=12−5i，则zA.513 B.125 C.1352.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若m // α，n // β，α // β，则m // n

B.若m // α，m // β，α∩β=n，则m // n

C.若n // α，n // β，则α // β

D.若m // n，n⊂α，则m // α3.从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不超过8的概率为(

)A.49 B.59 C.134.在▵ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若2acos2B2A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形5.已知函数f(x)=2sin(ωx−π4)+1(ω>0)，若存在互不相同的x1，x2∈[0,π]，使得f(A.74 B.2 C.114 6.已知向量a,b，且a=(2,2),|a−bA.7 B.8 C.22+47.若样本数据0，3，4，a，7的平均数为4，则其方差为(

)A.2 B.2 C.6 8.已知在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=AD=2，∠BCD=45∘，若将梯形ABCD绕CD所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为(

)A.262π3 B.282二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某校高一学生有男生300人，女生200人，为了解该校高一学生的身高信息，按性别采用样本量按比例分配的分层随机抽样，共抽取50人，计算得到样本中男生、女生的平均身高分别为170和160(单位：厘米)，方差分别为20和30，则下列结论正确的是(

)A.该校每一名高一学生被抽到的概率为0.1

B.男生、女生应抽取的人数分别为30和20

C.样本的平均数为165

D.根据上述数据，估计该校高一学生身高的方差为4810.已知函数fx=cosxA.fx的一个周期是2π

B.fx在3π2,7π4上单调递增

C.fx的最大值为2211.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，点E是线段AB上靠近BA.直线EF与CD所成角的正切值为354

B.三棱柱ABC−A1B1C1外接球的半径为332

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，10，13，14，16，17，25，则这8个数据的上四分位数是

．13.已知正四面体的棱长为1，若该正四面体的外接球表面积为S1，其内切球表面积为S2，则S1:S14.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知a∈R，复数z1=a−1+i，z2=1−a+2ai，z3=−1(1)求z1(2)当A、B、C三点共线时，求实数a的值．16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+3asinC=b+c．

(1)求A的值;

(2)若BD=3DA，cos17.(本小题15分)如图1，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,M是线段AD上的一动点，如图2，将▵ABM沿着BM折起，使点A到达点P的位置，满足点P∉(1)如图2，当BC=2MD时，点N是线段PC的中点，求证：DN//平面PBM；(2)如图2，若点P在平面BCDM内的射影E落在线段BC上．①是否存在点M，使得BP⊥平面PCM，若存在，求PM的长；若不存在，请说明理由；②当三棱锥E−PBM的体积最大值时，求点E到平面PCD的距离．18.(本小题17分)已知锐角α, β满足sinα=(1)求sinα−2β(2)求α+β的值．19.(本小题17分)在某密码通信系统中，字母只通过符号“⊙”和“⊗”传输，每个符号(⊙或⊗)的传输可能出错，传输结果相互独立．系统只有两种传输模式：模式1：若首次传输或前一位传输正确时，则：当发送“⊙”时，正确接收的概率为p，错误接收的概率为1−p；当发送“⊗”时，正确接收的概率为q，错误接收的概率为1−q.模式2：若前一位传输错误，则当前位错误概率变为r，r=max1−p,1−q.假设p,q,r∈(0,1)，已知字母A的密码为“(1)若p=0.6，q=0.8.求字母A正确接收的概率；(2)若p+q=1，在字母G接收的3个符号中，记B=“收到⊙的个数为1”，C=“收到⊙的个数为2”，试比较P(B)和P(C)的大小．

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】ABD

10.【答案】BD

11.【答案】ABD

12.【答案】16.5/3313.【答案】9

14.【答案】315.【答案】解：(1)zz1+z故z1+z(2)由题意知Aa−1,1,B1,−当A、B、C三点共线时，直线AC,BC斜率相等，kAC=1−0则1a=−a+22a，a≠0，则

16.【答案】解：(1)由acosC+3asinC=b+c及正弦定理，

得sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC，

因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，且sinC≠0，

所以3sinA=cosA+1，即sin(A−π6)=12，

因为0<A<π，所以A=π3;

(2)由△ABC17.【答案】解：(1)取PB的中点F，连接MF和FN．

∵FN是△PBC的中位线，∴FN//BC且FN=12BC，

又MD/​/BC且MD=12BC．

∴FN= //MD，

所以四边形FNDM是平行四边形，

∴FM//ND，ND⊄平面PBM，FM⊂平面PBM

∴DN//平面PBM；

(2) ①存在点M，当点M与点D重合，即PM=2时BP⊥平面PCM，

理由如下：

当点M与点D重合时，则MC⊥BC，

∵PE⊥面BCD，MC⊂面BCD，∴MC⊥PE，

又PE∩BC=E，且PE，BC⊂平面PBC，

∴MC⊥平面PBC，

∵PB⊂平面PBC，∴MC⊥PB，

又PB⊥PM，PM∩MC=M，PM，MC⊂面PMC，

∴当点M与点D重合，即PM=2时，PB⊥平面PMC；

 ②在矩形ABCD中作AO⊥BM，垂足为点O，延长AO交BC于点E，折起后得PO⊥BM．

设AM=PM=x，BM=1+x2，AO=x1+x2，

由ΔABM∽ΔBEA得ABAM=BEAB即1x=BE1，∴BE=1x，

∴OE=AE−AO=1+1x2−x1+x2=1x1+x2，

要使得点P的射影落在线段BC上，则AO>OE，则x∈(1,2]，

在RtΔPBE中，PE=1−1x2，

V18.【答案】解：(1)因为α为锐角，所以0<α<πsinα=10因为β为锐角，所以0<2β<π， cos2β=3sinα−2β(2)因为β为锐角， cos所以sinβ=55，又cos(α+β)=0<α+β<π，所以α+β=π

19.【答案】解：(1)字母A的密码为“⊙⊗”，一共接收2个符号，2则字母A正确接收，所以字母A正确接收的概率为pq=0.6×(2)r=若字母G接收的3个符号中，收到“⊙”的个数为1，可分3种情况：传输为“⊙⊗⊗”或“⊗⊙⊗所以P(B