浙教版（新教材）2026年九年级上册第1章《二次函数》单元测试卷（含答案）

浙教版（新教材）2026年九年级上册第1章《二次函数》单元测试卷满分120分时间120分钟一、选择题（共30分）1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（

）A．y=1x2 B．x2−y+2=0 2．将抛物线y=−x2向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（A．y=−(x+3)2 B．y=−x2+3 3．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率x，请问9月份的销售量y关于每月增加的百分率x的函数解析式是（

）A．y=15001+x2 C．y=1+x2+15004．已知抛物线y=3(x−1)2+1上有三点A(1.5,y1)，B(2,y2)，C(−5,A．y1>yC．y3>y5．已知二次函数y=x2+5x+6A．抛物线的开口向下 B．当x>−3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值为6 D．抛物线的对称轴是x=−6．在同一坐标系内，二次函数y=ax2+5x+bA． B．C． D．7．在平面直角坐标系中，函数y=x2+2xx≤0的图象为C1，C1关于y轴对称的图象为C2，则直线y=a（aA．2个 B．1个或2个C．0个或2个或3个或4个 D．无数个8．已知抛物线y=−x2−4x+c（c为常数，−5≤x≤m−5），当x=−5时，y取得最小值，当x=−2时，yA．3≤m≤6 B．−5≤m≤0 C．−3≤m≤0 D．m≥69．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系是h=28t−7t①小球从抛出到落地需要4 s②小球运动中的高度可以是30m③小球运动1s时的高度小于运动3.5其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．310．如图，在矩形ABCD中，M是BC的中点，PQ=6cm，P，Q两点分别从点B，点M同时出发，并都以1cm/s的速度沿着B→C→D方向运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与△OPQ的面积S随时间t变化的图象最接近的是（

A． B． C． D．二、填空题（共18分）11．如果函数y=k−3xk2−7+4x+112．将二次函数y=x2−8x+3化为y=a13．已知点(−2,5)，(4,5)是抛物线上的两点，则此抛物线的对称轴为14．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A−3,4，B1,1，则不等式15．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度6m时，水深3m，当水面上升1m时，水面宽度为________m16．对于三个数a、b、c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如min{−1，三、解答题（共72分）17．（8分）已知二次函数y=x(1)随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．(2)如果直线y=x+1经过二次函数y=x2+2m+1x−m+118．（8分）已知二次函数y=xx…__________________…y…________________…(1)请在表内的空格中填入适当的数；(2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出y=x(3)当x取何值时，y随x增大而减小．19．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．(1)商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？(2)商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？20．（8分）抛物线y=−x2+bx+3与x轴交于点A，B1,0，与(1)求抛物线的函数解析式．(2)求AC的长．21．（8分）已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，并与x(1)求此抛物线的解析式(2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值(3)若抛物线上有一点B，且S△AOB=3，求点22．（10分）如图，二次函数y=−x²−4x+1的图象与一次函数y=kx+3的图象交于A，B两点，点A的坐标为−4,1．(1)求k的值；(2)点M是线段AB上的动点，将点M向上平移h（h＞0）个单位得到点N，若点N在二次函数的图象上，求(3)在（2）的条件下，若h=2，线段MN与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值范围．23．（10分）我们约定：如果一个函数的图象与x轴、y轴都相交，并且各只有一个交点，设交点分别为A、B，若OB=kOA，我们就说该函数是“k倍距函数”．例如函数y=3x+6与x轴交于点A−2,0，与y轴交于点B0,6，OB=3OA，我们就说函数y=3x+6是“(1)下列函数是“4倍距函数”的有____________（填序号）；①y=x2−x−4；②y=4x−4；③(2)若一次函数y=b−6x+2b（其中x是自变量，y是x的函数，b>0）是“b倍距函数”，求(3)已知二次函数y=ax2+bx+c（a>0，b<0）是“224．（12分）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线BC:y=−x+3与抛物线y=ax2+bx+c交于B，C两点，OB=3OA，抛物线经过A，B(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得△BCM是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点N是抛物线上的一动点且位于直线BC的上方，试求△BCN的最大面积．参考答案题号12345678910答案BAADDCCABB1．B【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如y=ax2+bx+c（a≠0【详解】解：A、y=1B、整理x2−y+2=0得y=xC、y=2x+1中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意；D、y2=x2−1中，一个x对应两个不同的y2．A【分析】二次函数的平移的规律是左加右减，上加下减，由此可解．【详解】解：将抛物线y=−x2向左平移3个单位，自变量x变为得到的抛物线解析式为y=−(x+3)3．A【分析】本题考查根据题意列函数关系式．根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量y关于x的函数解析式．【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x，∴8月份的销售量为15001+x∴9月份的销售量y=15001+x故选：A．4．D【分析】根据抛物线的解析式确定开口方向和对称轴，然后根据离抛物线的对称轴的距离判断函数值大小即可．【详解】解：抛物线y=3(x−1)2+1的开口向上，对称轴为x=1∵1.5−1=0.5，2−1=1，又6>1>0.5，抛物线开口方向向上，离抛物线的对称轴越远的点，对应的函数值越大，∴y35．D【分析】先将二次函数化为顶点式,然后根据二次项系数判断开口方向，利用对称轴公式和顶点坐标公式分析对称轴、增减性与最值．【详解】解：y=x∵a=1>0，∴抛物线开口向上，最小值为−14，抛物线对称轴为x=−5∵开口向上，当x>−52时y随x的增大而增大，又∴当x>−3时，y并非随x的增大而一直增大，B错误．6．C【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析a、b的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与y轴的交点均为0,b，即交于y轴上同一点；其次根据a的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式x=−5【详解】解：由一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+5x+b中常数项均为b，两个函数图象与y轴的交点均为0,b观察图象，B选项中两个图象与y轴交点不同，故B错误；对于A选项，一次函数图象从左向右下降，则a<0，二次函数图象开口向上，则a>0，矛盾，故A错误；对于D选项，一次函数图象从左向右上升，则a>0，二次函数图象开口向下，则a<0，矛盾，故D错误；对于C选项，一次函数图象从左向右上升，则a>0，与y轴交于正半轴，则b>0；二次函数图象开口向上，则a>0，与y轴交于正半轴，则b>0；且二次函数对称轴为直线x=−5∵a>0，∴−52a<07．C【分析】设点m,nm≥0是C2上的一点，则点−m,n是C1上的一点，据此可推出C2对应的函数解析式为y=x【详解】解：设点m,nm≥0是C2上的一点，则点−m,n是∴n=−m∴C2对应的函数解析式为y=∵y=x∴当x=−1时，函数y=x2+2x当x=1时，函数y=x2−2x如图所示，由函数图象可知，当a<−1时，直线y=a（a为常数）与C1，C当a=−1时，直线y=a（a为常数）与C1，C当−1<a<0时，直线y=a（a为常数）与C1，C当a=0时，直线y=a（a为常数）与C1，C当a>0时，直线y=a（a为常数）与C1，C综上所述，直线y=a（a为常数）与C1，C8．A【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，再根据最值位置确定区间端点的范围，解不等式得到m的取值范围．【详解】对抛物线配方得：y=−x∵a=−1<0，∴抛物线开口向下，对称轴为x=−2，在x=−2处取得最大值，∵−5≤x≤m−5，且x=−2时y取得最大值，∴−2≤m−5，解得m≥3，又∵x=−5时y取得最小值，二次函数在闭区间的最小值出现在离对称轴更远的端点处，x=−5到对称轴x=−2的距离为−5−−2=3，因此区间右端点m−5化简得m−3≤3解得0≤m≤6，取两个不等式的交集得3≤m≤6，故选：A．9．B【分析】本题考查二次函数的实际应用，分别通过解方程求落地时间，配方求最大高度，代入计算函数值比较大小，逐一验证三个结论即可．【详解】解：①：小球落地时高度h=0，令h=0，得28t−7t因式分解得7t4−t解得t=0或t=4，t=0为抛出时刻，因此小球从抛出到落地需要4s②：h=28t−7t∵−7<0，∴h的最大值为28m，28<30因此小球高度不可能达到30m③：当t=1时，h1当t=3.5时，h3.5∵21>12.25，因此小球运动1s时的高度大于运动3.5综上，正确结论的个数是1，故选B．10．B【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，二次函数的图象，矩形的性质，求二次函数关系式，先根据矩形的性质BM=6cm，再结合图象可知OM=4【详解】解：连接OM，∵四边形ABCD是矩形，点M是BC的中点，∴AO=BO=CO=DO，BM=CM，∴OM⊥BC．当点P与点B重合时，此时S△OPQ当点P与点M重合时，运动时间是6s，则BM=6∴12解得OM=4cm当0≤t≤6时，即线段PQ在BC上运动时，S△OPQ当6<t<12时，即线段PQ在BC，CD上运动时，可知BP=t，则CP=12−t，CQ=6−(12−t)=t−6，∴S△OPQ=S=12(12−t)×4+抛物线开口向上，当t=8时，S最小当12≤t≤14时，即线段PQ在CD上运动时，S△OPQ所以图B符合题意故选：B．11．−3【详解】解：由题意，可得{k解方程k2−7=2，得解得k=3或k=−3；由k−3≠0，得k≠3，故k=−3.12．y=【详解】解：y=x13．直线x=1【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．【详解】解：∵抛物线y=2x2+bx+c经过点(∴此两点关于抛物线的对称轴对称，∴对称轴为直线x=−2+4故答案为：直线x=1．14．−3≤x≤1【详解】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A−3,4∴由图象可得，不等式ax2≤bx+c15．4【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入y=4即可求解．【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax∵抛物线过3,3，代入得：3=a·a=1∴抛物线的解析式为y=1当y=4时，4=1解得x=±2323∴水面宽度为4316．1【分析】分别作出y=x+1,y=x−12,y=2−x【详解】解：作出y=x+1,y=x−1，如图，实线部分即minx+1,x+1=x−1解得x=0或x=3当x=0时，y=1，所以minx+1,(x−1)217．(1)是，y=−(2)0或−2【分析】（1）根据二次函数的函数表达式y=x2+2m+1x−m+1求得该函数的顶点坐标P（2）因为直线y=x+1经过二次函数y=x2+2m+1x−m+1图象的顶点P【详解】（1）解：P是在某条抛物线上，∵二次函数y=x2+2∴y=x+m+1∴顶点坐标是P−m−1,−设−m−1=x，则m=−x−1，∴−m∴P所在轨迹的函数表达式是y=−x（2）解：∵直线y=x+1经过该二次函数的顶点P−m−1,−∴−m∴m2∴m=0或m=−2，∴若直线y=x+1经过该二次函数的顶点，m的值是−2或0；18．(1)填表如下：x…−10123…y…0−3−4−30…（答案不唯一，符合二次函数解析式即可）(2)如图所示(3)x≤1【分析】（1）根据解析式，代入不同的x值，求出对应的y值，填表即可；（2）根据（1）中的x，y值，描点画图即可；（3）根据解析式或函数图象，判断范围即可．【详解】（1）解：当x=−1时，y=(−1)当x=0时，y=0当x=1时，y=1当x=2时，y=2当x=3时，y=3填表如下：（答案不唯一，只要x，y符合二次函数解析式即可）x…−10123…y…0−3−4−30…（2）解：略（3）解：y=x由函数图象可知抛物线的对称轴为x=1，当x≤1时，y随x的增大而减小．19．(1)每个定价为70元，应进货200个(2)每个定价增加15元时可获得最大利润，可获得的最大利润是6250元【分析】（1）设每个定价增加x元，根据题意列一元二次方程，解方程求出x的值，根据进货量较少，确定符合题意的x的值，进而可得出答案；（2）设每个定价增加m元，获得利润为y元，可得y=−10(m−15)2+6250【详解】（1）解：设每个定价增加x元，∵每个进价为40元，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，准备获得利润6000元，∴(50−40+x)(400−10x)=6000，解得：x1=10，∵要使进货量较少，∴每个定价为50+20=70（元），应进货400−10×20=200（个）．答：每个定价为70元，应进货200个．（2）解：设每个定价增加m元，获得利润为y元，∴y=(50−40+m)(400−10m)=−10(m−15)∵−10<0，∴当m=15时，y有最大值，最大值为6250．答：每个定价增加15元时，可获得最大利润，最大利润是6250元．20．(1)y=−(2)3【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和平面直角坐标系中两点间距离的计算，代入已知点求函数系数、利用勾股定理计算线段长度是解题的关键．（1）将已知点B(1,0)其代入抛物线解析式，解方程求出未知系数（2）先通过x=0求出点C坐标，再通过y=0解一元二次方程求出点A坐标，最后利用勾股定理（△AOC是直角三角形）即可计算AC的长度．【详解】（1）解：将点B1,0代入y=−得0=−1+b+3，解得b=−2，∴抛物线的函数解析式为y=−x（2）将x=0代入y=−x2−2x+3∴点C0,3∴OC=3，令y=0，得−x2−2x+3=0，解得x∴点A−3,0∴OA=3，∴AC=O21．(1)y=(2)顶点式为y=(x−1)2−1；顶点坐标为1,−1；对称轴为直线x=1(3)3,3和−1,3【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）利用配方法把解析式化为顶点式即可得到答案；（3）根据三角形的面积公式得到12OA⋅yB=3【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过坐标原点，并与x∴4+2b+c=0c=0∴b=−2c=0∴抛物线的解析式为y=x（2）解：y=x∴顶点坐标为1,−1，对称轴为直线x=1，∵1>0，∴函数开口向上，∴在对称轴处函数有最小值，最小值为−1；（3）解：∵A2,0∴OA=2，∵S△AOB∴12∴12∴yB∴yB在y=x2−2x中，当y=3时，x2−2x=3当y=−3时，x2∴点B的坐标为3,3和−1,3．22．(1)k的值为1(2)h的最大值为49(3)−4<m≤−9−17【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图形上点坐标的特征，解题的关键是用含m的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．（1）把−4,1代入y=kx+3得1=−4k+3，解得k的值为12（2）根据题意，MN∥y轴且在抛物线上，设Mm,12m+3，则（3）求出A−4,1，B−12,114，把M向上平移h=2【详解】（1）解：把−4,1代入y=kx+3得：1=−4k+3，解得k=1∴k的值为12（2）根据题意，MN∥y轴且在抛物线上，如图：由（1）知直线AB解析式为y=1设Mm,12∴h=MN=−m∵−1<0，∴当m=−94时，h取最大值∴h的最大值为4916（3）由y=−x2−4x+1y=1∴A−4,1，B同（2）当M的横坐标为m时，Mm,∵把M向上平移h=2个单位得到点N，∴Nm,∵线段MN与二次函数的图象有公共点，∴12∴m2解得m≥−9+174∵点M在线段AB上，h>0，∴−4<m≤−9−17423．(1)②④(2)b=3(3)该函数解析式为y=4x−1【分析】（1）根据“4倍距函数”的定义逐个判断即可；（2）由函数的解析式可知OB=2b，根据“b倍距函数”的定义可知一次函数与x轴的交点为2,0或者−2,0，可得方程2b−6+2b=0与−2b−6（3）因为二次函数y=ax2+bx+c（a>0，b<0）是“2倍距函数”，所以二次函数y=ax2+bx+c与x轴、y轴都只有一个交点，所以二次函数的顶点式为y=ax−h2，根据“2倍距函数”的定义可得：该二次函数与x轴的交点坐标是h,0，与y轴交于点0,2h，可得：ah=2，根据二次函数y=ax−h2经过点1,1，可得方程【详解】（1）解：解方程x2可得：x1=1+∴函数y=x2−x−4故①不符合题意；当x=0时，y=4x−4=−4，∴函数与y轴的交点坐标是B0,−4∴OB=4，当y=0时，可得：4x−4=0，解得：x=1，∴函数与x轴的交点坐标是A1,0∴OA=1，∴OB=4OA，∴函数y=4x−4是“4倍距函数”，故②符合题意；∵反比例函数y=4故③不符合题意；当y=0时，可得：4x−1解得：x=1，∴函数y=4x−12的图象与x轴的交点坐标是∴OA=1，当x=0时，可得：y=4x−1∴函数y=4x−12的图象与y轴的交点坐标是∴OB=4，∴OB=4OA，故④符合题意；综上所述，是“4倍距函数”的有②④；（2）解：当x=0时，y=2b，∴OB=2b，∵一次函数y=b−6x+2b是“∴一次函数与x轴的交点为2,0或者−2,0，将其代入一次函数中，得到方程2b−6+2b=0与解方程：2b−6可得：b=3，整理−2b−6+2b=0，可得：∴方程无解，综上所述，b=3；（3）解：∵a>0，b<0，∴对称轴x=−b又∵二次函数y=ax2