2026年浙江宁波市奉化区高一期末考试数学试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025学年第二学期期末考试高一数学试题说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.第I卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，，且，则（

）A． B． C．3 D．122．在中，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．3．若复数，则（

）A． B． C． D．4．已知，表示两个不同的平面，，，表示三条不同的直线，则下列结论正确的是（

）A．若，，则B．若，，，，则C．若，，，，则D．若，，则5．为提高学生学习数学的热情，实验中学举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，则这10人成绩的第80百分位数是（

）A．83 B．83.5 C．84 D．706．玩陀螺不仅可以释放往日情怀，找回童年的乐趣，也可锻炼人体协调性和腕部力量，培养敏锐观察力．如图，一个实木陀螺近似的看成同底的一个圆柱和一个圆锥构成．已知这个陀螺是由一个底面直径为6cm．高也为6cm的圆柱实木制成的，为了陀螺旋转的稳定性，设计圆柱部分与圆锥部分的高比为，则这个陀螺的体积最大约为（

）A． B． C． D．7．设随机事件A，B满足，，则（

）．A． B． C． D．8．如图，在中，，为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错得0分，部分选对得部分分.9．已知向量，则下列结论正确的是（

）A．若与方向相反，则B．若，则C．若，则在方向上的投影向量坐标为D．若则与夹角的余弦值为10．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为偶数”，事件为“第一次记录的数字为偶数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（

）A．事件与事件是互斥事件B．事件与事件是相互独立事件C．D．11．如图，在正方体中，M为中点，P为线段上一点，记平面截正方体所得截面为.当A，P，C三点共线时，则（）A．正方体的体积为64B．当AB的中点在α上时，截面图形的面积为C．记MP的中点为Q，CQ的最小值为D．的最小值为第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知的内角的对边为，且，，则外接圆的面积为________.13．已知一组数据，，，，满足，，则这组数据的方差是________.14．已知点是所在平面上一点，且满足为线段中点，且，若，则的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数，，满足，________________.(1)若为实数，求复数；(2)若复数，在复平面内的对应点为，，且，求复数.16．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.(1)求第六组和第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求两名男生在同一组的概率.17．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，E为棱PA的中点，，，直线PA与BC所成的角的大小为.(1)证明：平面BDE；(2)证明：平面ABCD；(3)求二面角的正弦值.18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求角C的值(2)若，的面积为，求的周长．(3)若为锐角三角形，且，求的周长取值范围．19．如图所示，设，是平面内相交成角的两条轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为放射坐标系，若在放射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的放射坐标，记为，若满足，则称为放射坐标系下的“完美向量”.已知在放射坐标系下，，.(1)求以及（用表示）；(2)求向量放射坐标；若时，直接写出两组“完美向量”的放射坐标；(3)设，对任意实数，恒成立，求的取值范围，求的最大值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【分析】由可得即可.【详解】，，解得．2．A【分析】利用余弦定理计算即可.【详解】由题可知：，所以.故选：A3．C【分析】利用复数的除法运算求出，结合复数的几何意义求出复数的模即可.【详解】因为，所以.故选：C4．D【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的平行和垂直的判定定理与性质定理判断即可.【详解】选项A：若，，和可能平行，也可能异面，不是一定平行，A错误.选项B：由线面垂直的判定定理可知：直线垂直于平面内两条相交直线才能推出线面垂直，题干中未指明和不相交，不满足定理条件，B错误.选项C：由面面平行的判定定理可知：一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，才能推出面面平行，题干中和可能平行，此时和仍可以相交，C错误.选项D：根据线面垂直的性质：若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与该直线平行，则另一条直线也垂直于这个平面，结论成立，D正确.5．B【详解】成绩按从小到大排列为.，第80百分位数为第个和第个数据的算术平均数，即.6．C【分析】设圆锥部分的高为,则圆柱部分的高为,得,则这个陀螺的体积为:,进行求解即可.【详解】设圆锥部分的高为,则圆柱部分的高为,依题意得,得,则这个陀螺的体积为:,因为,则,得这个陀螺的体积最大约为:.故选:C7．B【分析】应用条件概率公式、互斥事件的概率的性质计算判断.【详解】，，，故选：B．8．D【分析】设，先由的面积求出及的值，再根据平面向量共线定理，向量的加法法则和平面向量基本定理求出，进而确定，求出，再利用基本不等式即可求出的最小值.【详解】由，可得，所以.由可得.因为为CD上一点，所以设，则.因为，所以，解得，所以，所以(当且仅当，即时等号成立).所以的最小值是.故选：D9．AC【分析】利用共线向量的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B；求出投影向量及向量夹角余弦判断CD.【详解】对于A，由，得，解得，当时，，与方向相同，当时，，与方向相反，A正确；对于B，，由，得，解得或，B错误；对于CD，当时，，，则在方向上的投影向量，C正确；与夹角的余弦值为，D错误.10．BCD【分析】根据互斥事件的定义可判定A,根据可判定B,根据古典概型的概率公式求解，可判定CD.【详解】对于A，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，如第一次和第二次都是数字4，故A错误；对于B，对于事件与事件，,,事件与事件是相互独立事件,故B正确；对于C，,所以，故C正确；对于D，事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故，故D正确.​​​​​​​故选:BCD.11．BCD【分析】根据A，P，C三点共线确定点位置，利用直角三角形勾股定理求出棱长即可判断A，找出截面图形为矩形，求出面积判断B，分析出点Q的轨迹为线段，再确定时，CQ取得最小值，解三角即可判断C，利用展开图及余弦定理求解即可判断D.【详解】对于A，当A，P，C三点共线时，P为BD中点，取的中点，连接,则解得AD=2，所以正方体的体积故A错误;对于B，记中点为E，连接，显然有故点在上，则截面图形为矩形，又所以则截面图形的面积为故B正确；对于C，取MB中点F，MD中点G，连接FG，点Q的轨迹为线段又所以因为点G到平面BB₁C₁C的距离为所以则，

所以均为锐角，故当时，CQ取得最小值，因为，所以，故CQ的最小值为，故C正确；对于D，将沿BD向下翻折与平面BDD₁B₁共面，连接则B₁P+PC的最小值即为线段B₁C的长度，P为与BD的交点，因为所以由余弦定理得，则故D正确.12．【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】设外接圆的半径为，由正弦定理，得，所以外接圆的面积为.13．3.6##【分析】结合题设中的数据，根据平均数和方差的定义和计算方法，即可求解.【详解】由可知，，，，的平均数，方差.14．【分析】通过建立平面直角坐标系，将向量条件转化为代数方程，利用点在线段上的参数表示和向量数量积求出参数范围，再将目标向量模长转化为二次函数，结合定义域分析其取值范围.【详解】由，可知点在线段上。因为，以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，设，，则，为中点，故，，由，得，整理得，将代入，化简得，则，由得或，由得或，所以或，则，所以，该二次函数开口向上，对称轴，当时，该二次函数单调递减，，当时，函数递增，，所以，故综上，的取值范围是.15．(1)或(2)或.【分析】（1）选择①，设，由条件可得，由条件为实数，结合复数运算可得，解方程可求结论；选择②，由为实数，结合复数运算可得，解方程可得结论，选择③，设，由条件可得，由条件为实数，结合复数运算可得，解方程可求结论；（2）选择①或③，设，由条件可得，，解方程求可得结论.选择②，由条件可得，解方程求可得结论.【详解】（1）选择条件①，设，，，又为实数，，，即，，解得或，故或.选择条件②，，为实数，，即，，则，解得，当为偶数时，；当为奇数时，故或.选择条件，为实数，设，,则，解得或，故或.（2）选择条件①、，，，设，则，又，，即，又，，解得或，故或.选择条件②，，，，，即，化简得，又，则，解得，当为偶数时，；当为奇数时，，故或.16．(1)，(2)平均数，中位数(3)【详解】（1）因为第六组为人，频率为，由图可知，组距为，所以第七组频率为.（2）平均数为.因为前三组频率和为，前四组频率和为，所以中位数位于第四组内，.（3）已知第六组人数为，第八组人数为.所以.17．(1)连接，设与相交于点，连接.四边形是菱形，为的中点.是棱的中点，.又平面平面，平面.(2)直线与所成的角为，且，就是直线与所成的角或其补角.，，，在中，由正弦定理得，，即，解得.，即，从而.四边形是菱形，且，,是等边三角形，从而.又，.，从而.又平面平面，平面.(3).【分析】（1）设与相交于点，连接，证明，利用线面平行的判定即可证明；（2）利用正弦定理得，再证明，最后利用线面垂直的判定定理即可证明；（3）过点作，垂足为.过作，垂足为，连接，找到二面角即为，解三角形即可得到答案.【详解】（1）略（2）略（3）过点作，垂足为.过作，垂足为，连接.由（2）平面，又平面，平面平面.又平面平面平面，平面.平面平面，.平面平面，平面.平面，，二面角的平面角是，在中，，，，二面角的正弦值是.18．(1)(2)(3)【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得以及的值；（2）由三角形的面积公式和余弦定理，即可求得的周长；（3）利用正弦定理和三角恒等变换，结合正弦函数的性质，即可求得周长的取值范围.【详解】（1）已知等式利用正弦定理化简得：，整理得：，，，，又，；（2）由余弦定理得，，，，，，的周长为（3）由正弦定理得，可得，，为锐角三角形，且，则，，，，，的周长取值范围是.19．(1)，.(2)放射坐标为，可取如下两个完美向量，其放射坐标为.(3)，的最大值为.【分析】（1）根据放射坐标的定义