点的合成运动-运动学

点的合成运动

第二十八讲运动学

一、内容提要：本讲主要是讲点的合成运动中的三种运动：绝对运动、相对运动、牵连

运动以及点的速度合成、牵连运动为平动时点的加速度的合成等；刚体的平面运动中三

种求速度的方法：速度合成法、速度投影法、速度瞬心法

二、本讲的重点与难点是：点的合成运动中牵连运动以及点的速度合成、牵连运动为平

动时点的加速度的合成问题；刚体的平面运动中三种求速度的方法：速度合成法、速度

投影法、速度瞬心法

三、内容讲解：

1、点的合成运动

(-)绝对运动、相对运动、牵连运动

在这一讲中，我们将应用运动合成和分解的方法建立同一动点相对于不同参考系的运动

(速度和加速度)之间的关系，用以研究和解决比较复杂的物体运动，以及在机构中运动

的传递等问题。

我们以下图为例来介绍有关概念。

动点I通常把所考虑的点称为动点•比如雨点.

却坐标系।常将地面当作静止不动，凡国蛤于静止不动的物体上的坐标系称为静坐标系(Oxy),如地面.

动坐标系，固维于运动物体上的坐标系称为动坐标系(0'x'y,).如车厢.

绝对运动：我们把动点相对于静坐标系的运动称为绝对运动，如雨点对地面相应的轨迹、

速度、加速度，称为绝对轨迹、绝对速度和绝对加速度；

相对运动：动点对于动坐标系的运动称为相对运动，如雨点对车厢的运动，相应的轨迹、

速度、加速度称为点的相对轨迹、相对速度、相对加速度。

牵连运动：我们将动坐标系相对了静坐标系的运动称为牵连运动，如车厢对地面的运动。

动坐标系上与动点重合的那一点叫作牵连点，牵连点对于静坐标系的速度、加速度称为

动点的牵连速度和牵连加速度。

点的合成运动：如果已知动点相对于动坐标系的相对运动以及动坐标系的牵连运动，那

么就可以把动点的绝对运动看成是上述两种运动的结果。反之，亦可把动点的绝对运动

分解为上述两种分运动。因此，这种类型的运动称为点的合成运动。

（二）点的速度合成

设有一点M在某运动的物体上沿曲搓月B运动，现取静坐标系国畦在地面上，动坐标系固连在该运动物

体上，如下图所示.

设在膜时［物体在位苴I,动点在曲娃上的M点,

短过时间间隔后，物体运动到便宜1b曲妓随

同物体运动到月'8',同时动点又沿曲线7TB'运动到

Ml

在喇t和脆时1♦△匕动点分别在M和M'处，则动点

的绝对轨迹为Mf',具绝对位移为•动点的相

对轨迹为沟7',其相对位移为立"不.若无相对运动，则动点因玛动坐标系的牵隹于是在什△（脏

时位于点，则曲妓AQ%为动点牵连轨迹，解连位移.

由上图的矢量关系可得，的由于这些位移部是在同一时间间隔AK尻成的，故可

JVfV'VMVM'

以用A除上述两城并取其极限，则得：lim----------lim------+lim―•—

Ar->0&4-►0及Ar-M)&

------

lim-------为t耐动点的绝对速度，以n表示,其方向沿绝对轨液MT'在M点处的切线方向.

*今0&

A/JLf

lim——1为t㈱时动点的全连速度，即在该喇动坐标系中与初点电台点的遨度，以v.表示，且方向

&T。&

沿牵连轨迹在N点处的切线方向.

Vitf,

lim—J—为t股时动点的相对速度.以VX表示，其方向沿相对轨迹M】Kf'在M点处的切线方向.

a->oM

干是,上面等式就可写成：v.=v.+v^

点的速度合成定理I即在任一聘时动点的绝对速度等于其牵隹速度马相对速度的矢域和，这就是点的速度

合成定理.

由矢量法可知，若自动点N画出具至浅速度和相对速度，并以它们为邻边构成平行四边形，则在此速度平

行四边形中，通过H点的对角线就代表绝对迫度.

下面举例说明点的速度合成定理的应用.

例1、如图所示，桥式吊车，已知小车向右运行的速度▼产l.2“s,起另重物垂亘上升的速度n=0.4“s,

试求重物的速度v,・

解，（1）首先确定动点并选取适当的坐标系.在此种情礼下，以

重物为动点，选动坐标。'x'y'固连于小车上，静坐标系固连于地

面上.

（2）分析三种运动•小车带动重物的水平佝石运动为动点的牵

连运动，即v,=%动点相对运动显然是垂亘上升的直线运动，

其速度为“=如动点对于地面的运动是绝对运动.所以本题是

已知牵连速度及相对速度，求绝对速度.

（3）由速度合成定理画速度矢量图，则动点的绝对遁度的大小

和方向为：

、=Jv：+v：=Jv；+v；=y/12?+0<2=1.27m/s

Ige*喟=。33

例2、管子0A绕。轴旋转，6=。3而3=常量，管内有一颗弹子M沿管轴线以匀速率U

运动，如下图所示，t=0时，M与。点重合，试求M的速度。

动点％设动坐标固结在管子0A上，修坐标固结于地面,左困所示的位

直为任匍阳时,此时相对速度V.=u，方向沿0A轴线，至连速度，=ut・3,

方向为垂直0A.指向与管子0A的转向相适应.所以，绝对速度

乂=Jv：+V；=UJ+垃2,却］tg0=—=cd.

Vr

（三）牵连运动为平动时点的加速度的合成

设一动点相对于所透动坐徐系沿曲戏AB运动，而AB又

随动坐标系在空1瓦平动，如下图所

示，在股时匕动点奸的位直,由速度合成定理可知:v.r.f

在t*At瞬时，动点位于M\由速度合成定理可知：

由加速度定义.动点的绝却加逵度,以4表示为，

V-V（V*+V-（V+V）V-VV-V

a.=lim=lim~d=iim_*_L+Hm

goAtgoAtAt.。AtztoAt

limV--^^连加速度，以4表示.

At->0At

V-V

lim=~~为相对加速度，以4表示.

3At

即牵连运动为平动任一腿时，动点的绝对加速度等于其至连加速度与相对加速度的矢量和.

例3、轮船作直娃平动，加速度为①，股上的涡轮机以3作匀角速转动，具转轴与轮船前进的方向垂直,

如下图所示，试求涡轮机转子上点1、2、3^4的绝却加速度.

»:分别取转子上各指定点作为动点，将动坐标系扉有在船上，则至连

运动为平动，由空连运动为平动时的加速度合成定理，各点的绝对加速

度由牵连加速度与相对加速度所合成,这时，各点的牵隹加速度均相同

并等于轮船的加速度a,而各点的相对加速度均只有法向部分，故指向

转轴，其大小为，a,=a>R32各指定点的加速度分量如上图所示.

显然其绝对加逶度分重为，

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］点，a,=>/a2+R<D,6l=arctg5^_

%

2点।a?=a。+R(rf•水平向左3点।a?=+R%，§=arctg4点“a4=a。-R©3,水平

向右或向左，由a▲之为正或为负而定.

例4、凸论在水平面上向右作激速运动，如图所示，求杆AB在图示位置时的加速度.设凸轮半径为R，图

示曲时的速度和加速度分别为v和a..

解；取杆上的A点为动点，动参考系与凸轮雕，静

参考系与机架或地面固连，则动点的绝对运动是铅垂

的直猫运动，相对运动轨迹为凸轮沱廓曲线，由于牵

连运动为平动，故点的加速度合成定理为，羡=d+.

式中a.为所求的加速度，已知它的方向沿直姥AB，但

，晌与大4制待商定.