北师大版 数学九年级上册 1.2 菱形的性质与判定 二阶训练

北师大版数学九年级上册1.2菱形的性质与判定二阶训练一、选择题1．如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，则A．12 B．1 C．32 2．“菱花窗镂映晴光，雪韵冰晶故事长”.我国传统建筑中的窗棂(如图1)古典雅致，含蓄灵动.构成某扇窗棂的一个窗格可抽象成如图2所示的菱形ABCD，若测得AB=10cm，AC=12cm，则BD的长为()A．16cm B．17cm C．18cm D．19cm3．如图，在菱形ABCD中，∠B=54°，现将菱形ABCD绕点B逆时针旋转16°得菱形A'BC'D'，连接DD'，则∠D'DC=?()A．108° B．109° C．110° D．111°4．如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，将线段CD水平向左平移n个单位长度得到线段MN，若四边形ABMN为菱形，则n的值为()A．1 B．2 C．3 D．55．如图，BD是菱形ABCD的对角线，作BC的垂直平分线分别交BD、BC于点E、F，连接AE、CE，若∠ABC=46°，则∠DAE的度数为（）A．105° B．108° C．111° D．114°6．如图，在菱形ABCD中，点P是边BC上一点，AB=AP，连接PD．若∠BAP=40°，则∠PDC的度数为（）A．12° B．15° C．20° D．25°7．如图，菱形ABCD的边长为4，且∠A=60°，DE⊥BC于点E，P为BD上一点，且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（）A．3+1 B．27+2 C．28．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（）．A．48 B．24 C．12 D．69．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为三边BC，CA，AB的中点，则图中共有菱形（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠CAD交CD于点E，若AE=BD，则∠CAD=（)A．22.5° B．30° C．36° D．37.5°二、填空题11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，DB=6cm，则四边形ABCD的周长为.12．已知菱形的周长为24cm，两邻角之比为2：1.则较短的对角线的长为13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=16，BD=12，E是BC的中点，连结OE，则OE的长是．14．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC交BD于O，已知AB=10，AC=12，BD=16，那么点O到BC的距离为.15．如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD=16，P，Q为BD上两个动点，且PQ=2，则AP+AQ的最小值为.

三、解答题16．如图，过▱ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE.判断四边形EFGH的形状，并说明理由.17．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O.E，F为对角线BD上的两点，请你从以下三个条件：①AE=CF；②∠1=∠2；③AC=EF，选择一个合适的作为已知条件，使四边形AECF为菱形.(不添加辅助线)⑴你选择的条件是▲(填序号)；⑵选择了一个条件后，请证明四边形AECF为菱形.

答案解析部分1．【答案】D【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质【解析】【解答】解：连接BD与AC交于O，如图∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=1，AC与BD互相垂直平分，AC=2AO，∠DAO=12∴AO=AD×cos∠DAO=1×cos30°=32∴AC=2AO=3故答案为：D．【分析】做辅助线后，依据菱形的性质，得出AB=AD=1，AC与BD互相垂直平分，AC=2AO，∠DAO=12∠DAB=30°，此时利用余弦公式计算出AO=322．【答案】A【知识点】勾股定理；菱形的性质【解析】【解答】解：如图，AC与BD相交于点O，

因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD，AO=12AC=6cm，BO=12BD，

在Rt△ABO中，AB=10cm：

所以BO=AB2−AO2=102−623．【答案】B【知识点】菱形的性质；旋转的性质【解析】【解答】解：连接BD、BD'，DD'，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ADC=∠ABC=54°，∴∠BDC=∵菱形ABCD绕点B逆时针旋转16∴B∴∠BD∴∠故选：B.【分析】连接BD、BD'，DD'，如图，先根据菱形的性质得到∠ADC=∠ABC=54∘,则∠BDC=27∘,再根据旋转的性质得到BD4．【答案】B【知识点】菱形的性质；平移的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABMN为菱形，∴BM=AB=3，∴CM=BC−BM=2，∴将线段CD水平向左平移2个单位得到四边形ABMN为菱形．故答案为：B.

【分析】根据菱形的性质得到BM=AB=3，再根据平移的性质解答即可.5．【答案】C【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质【解析】【解答】解：∵AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=12×46∘=23∘，

∴∠BAD=180∘−∠ABC=180∘−46∘=134∘.

∵EF垂直平分BC，

∴EB=EC，即△EBC为等腰三角形，

∴∠ECB=∠EBC=23∘.

菱形对角线BD是对称轴，

∴△ABE≅△CBE，

∴AE=CE，

结合EB=EC，

得AE=EB，△ABE为等腰三角形，

∴∠EAB=∠EBA=23∘.

∴∠DAE=∠BAD−∠EAB=134∘−23∘=111故答案为：C.【分析】由菱形性质，先求出对角线平分内角的度数、邻角互补得到∠BAD；由线段垂直平分线性质得到EB=EC，推出底角∠ECB=∠EBC；由菱形对角线的轴对称性，证明△ABE与△CBE全等，得到AE=EB；根据等腰三角形两底角相等得到∠EAB=23∘，用∠BAD减去∠EAB求出∠DAE.6．【答案】B【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质【解析】【解答】解：∵AB=AP，∠BAP=40°，∴∠ABP=∠APB=70°，

∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠B=∠ADC，AD∥BC，∴∠DAP=∠APB=70°，且AP=AD=AB，∴∠ADP=55°，∵∠ADC=∠ABP=70°，∴∠PDC=∠ADC−∠ADP=15°，故答案为：B．

【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，由AB=AP，∠BAP=40°可求出∠ABP=∠APB=70°，由四边形ABCD是菱形可得AD=AB，∠B=∠ADC，AD∥BC，求出∠DAP=∠APB=70°，且AP=AD=AB，可得∠ADC=∠ABP=70°，从而可求出∠PDC=15°．7．【答案】B【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：连接AC交BD与点O，再连接AE交BD与点P

∵四边形ABCD为菱形且边长为4

∴AC⊥BD，AO=OC，AD=CD=BC=4

∵∠A=60°

∴∠ADB=60°

∵DE⊥BC于点E

∴∠BDE=30°，DE=23，E为BC中点

∴∠ADE=90°，CE=2

∴AE=27

∴△PCE的周长AE+CE=27【分析】利用菱形的性质，得到点A与点C关于BD对称，CD=BC，再连接AE与BD交于点P，即为所求，求PC+PE就是求AE，根据∠A=60°，CD=BC，根据DE⊥BC于点E，利用等腰三角形三线合一，即可得到∠BDE=30°，利用勾股定理即可得到DE=23，CE=2，再根据∠A=60°，AD=AB，所以三角形ADB为等边三角形，所以∠ADB=60°，即可得到∠ADE=90°，再次利用勾股定理即可得到AE=27，即可得到△PCE的周长AE+CE=8．【答案】C【知识点】菱形的判定与性质；中心对称的性质【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=1∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=1故选C．【分析】利用菱形面积公式求出菱形的总面积，再根据菱形是中心对称图形，推导出阴影部分的面积等于菱形面积的一半即可解答.9．【答案】B【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，D，E，F分别为三边BC，CA，AB的中点，

∴△AEF、△BDF、△EFD、△CDE均为等边三角形且全等，

∴AF=AE=EF=BF=DF=BD=DE=CE=CD，

∴组成的菱形有：菱形AEDF、菱形EFDB、菱形EFDC，共3个，故答案为：B.【分析】先证出AF=AE=EF=BF=DF=BD=DE=CE=CD，再结合图形找出所有的菱形即可.10．【答案】C【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角【解析】【解答】解：如图，AE平分∠CAD交CD于点E，过点D作DF∥AE交BA延长线于点F，设∠CAD=2α,∴∠DAE=∠CAE=∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∠BAO=∠CAD=∠ACD=2α,∴∠AED=∠CAE+∠ACE=3α,∵DF‖AE,AF‖DE,∴四边形DFAE是平行四边形，∴∠F=∠AED=3α,DF=AE,∵AE=BD,∴DF=BD,∴∠ABD=∠F=3α,∵AC⟂BD,∴∠OAB+∠ABO=9∴2α+3α=9解得：α=1∴∠CAD=2α=3故选：C.【分析】如图，过点D作DF‖AE交BA延长线于点F，设∠CAD=2α,表示出∠DAE=∠CAE=12∠CAD=α,然后表示出∠AED=∠CAE+∠ACE=3α,证明出四边形DFAE是平行四边形，得到∠F=∠AED=3α,DF=AE,表示出∠ABD=∠F=3α,11．【答案】20cm【知识点】勾股定理；菱形的性质【解析】【解答】解：因为四边形ABCD为菱形，AC=8cm，DB=6cm，

所以AD=BC=CD=AB，AC⊥BD，OA=OC=4cm，OB=OD=3cm，

在Rt△AOD中，

由勾股定理得：AD=OA2+OD2=12．【答案】6【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质【解析】【解答】解：∵菱形的四条边相等，周长为24cm，

∴菱形的边长为24÷4=6cm，

∵菱形的两邻角之比为2：1，且邻角互补，

∴较小内角为180°×12+1=60°，

∵菱形的边长与较短对角线构成等边三角形，

∴较短对角线的长等于菱形的边长，即6cm．

故答案为：6．13．【答案】5【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=OC=12AC，OB=12BD.

∵AC=16，BD=12，

∴OA=8，OB=6.

由勾股定理得：AB=OA2+OB2=10.14．【答案】4.8【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质【解析】【解答】解：如图，过点O作OM⊥BC于点M，

由题意知，

OB=12BD=8，OA=OC=12AC=6，

∵AB=10

∴AB2=OA2+OB2，

∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，

∴AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD是菱形

∴AB=BC=10，

∵S△BOC=12OB·OC=12BC·OM15．【答案】2【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=12BD=8在RtΔAOB中，AB=10，OB=8，由勾股定理得：OA=A∴AC=2OA=12。∵点A关于BD的对称点为点C，∴AP=CP，∴AP+AQ=CP+AQ。将点C沿BD方向平移2个单位得到点C'，连接C'Q∵CC'∥PQ∴四边形CC∴CP=C∴AP+AQ=C当A、Q、C'三点共线时，C'Q+AQ∵CC'∥BD∴AC⊥CC'，即在RtΔACC'中，AC=12，由勾股定理得：A故答案为：2【分析】本题考查菱形性质与轴对称最短路径问题的综合应用。先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线的长度；再利用菱形的轴对称性，将AP转化为CP，通过平移构造平行四边形，将CP进一步转化为C'16．【答案】解：四边形EFGH的形状为菱形，理由如下：

∵四边形ABCD为平行四边形

∴OA=OC，AB∥CD

∴∠OAE=∠OCG

在△OAE和△OCG中

∠OAE=∠OCGOA=OC∠AOE=∠COG

∴△OAE≌△OCG(ASA)

∴OE=OG

同理可得OF=OH

∴四边形EFGH为平行四边形

∵EG⊥FH

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；菱形的判定【解析】【分析】根