北师大版数学九年级上册 1.2 菱形的性质与判定 三阶训练

北师大版数学九年级上册1.2菱形的性质与判定三阶训练一、选择题1．如图，菱形盒子ECDF底部有一面平面镜l，从点A处射入一道平行于CD的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点B(法线与平面镜l垂直，反射角等于入射角)，若∠C=35°，则∠α的度数为（）A．100° B．105° C．110° D．115°2．如图，在菱形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且CD=CE，若∠ABC=100°，则∠CDE=（）A．75° B．70° C．65° D．60°3．如图，在菱形ABCD中，AB=8，动点M从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动；动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CD向D点运动．若运动t秒后，四边形AMND是平行四边形，则t的值为（）A．2 B．23 C．4 D．4．如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于点M，N；A．33 B．37 C．235．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，点E、F分别为AD、CD边上的动点，连接BE、BF、EF．若∠EBF=60°，则以下结论正确的是（）①BE=BF；②△BEF是等边三角形；③四边形EBFD的面积是43；④△DEF面积有最大值为2A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连结DE.若AE=BF，则DE：BC的值为（)A．2：3 B．7:3 C．2.5：3 D．67．如图，菱形ABCD的边长为1，BD=1，E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=1，设△BEF的面积为s，则s的取值范围是().A．14≤s≤1 B．334≤s≤38．如图，在菱形ABCD中，AD=23，∠BAD=6A．23 B．4 C．92 二、填空题9．如图，菱形ABCD的边长为5，面积为20，点E在AB上移动，EF⊥AD，G为CE中点，则FG的最小值为10．油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶．图①是一把油纸伞展开后的剖面图，点E、F分别为伞骨AB、AC的中点，伞圈D为伞柄AP上可移动的点，四边形AEDF为菱形．当油纸伞打开到图①的程度时，∠BAC=120°，当油纸伞缩拢到图②的程度时，∠BAC=60°，若AE=18cm，则伞圈D下滑的距离DD1的长度为11．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE=CF，连接AE，AF，DE．若菱形面积为5610，AB=14，四边形AECF的面积是△ABE面积的3.5倍，则线段ED的长为12．在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=8,E为菱形内部一点，且BE=6，连接DE，点F为DE中点，连接CF，点G是CF中点，连接BG，则BG的最大值为．13．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为BD中点时，则PE＝PF；②PE+PF＝h；③∠EPF+∠A＝180°；④若AB＝2，∠EPF＝60°，连结PC，则PE+PC有最小值为2；⑤若h＝2，∠EPF＝60°，连结EF，则S△PEF的最大值为32其中正确的结论有(填序号）．三、解答题14．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO=OC，OB=OD且∠1=∠2．​​​​​​​（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）E为AO上一点，连接BE，若AE=4，AB=6，EB=23，求AO的长．15．阅读材料：中国-西班牙联合发行《中欧班列（义乌-马德里）》特种邮票1套2枚，两枚邮票的大小、形状相同（如图1）．邮票在设计时采用了多种数学元素：根据画面内容邮票以平行四边形的形式呈现，代表着列车前进的速度，凸显中欧班列的动态美；中国与西班牙两个列车图形保持对称，并向外延展，凸显中欧班列的和谐美；在单枚邮票票面上的平行四边形ABCD中，邻边AB与AD的长度比非常接近黄金分割数5−12≈0618．单枚邮票的规格（平行四边形：长边50毫米，短边32毫米，高28毫米）见图2所示．设图1的▱ABCD中BC根据以上信息解决问题：（1）【相关计算】①单枚邮票的面积为：________mm2，周长为：________mm②计算BH的长为：________mm（结果用最简二次根式表示）；（2）【特例证明】图1中，求证：四边形ABEF是平行四边形．（3）【数形结合】现在将图1中的▱ABCD设计成标准的黄金平行四边形，也就是满足相邻两边的比为黄金分割数的平行四边形．如图3所示，即在▱ABCD中，两邻边AB、AD满足ABAD=5−12，现又在BC上取点G，且满足CGCD=5−12，过点

答案解析部分1．【答案】C【知识点】菱形的性质；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等【解析】【解答】解：∵四边形ECDF是菱形

∴CD//EF，∠F=∠C=35°

∵AG//CD

∴AG//EF

∴∠AGD=∠F=35°

∵法线垂直于GD，反射角等于入射角

∴∠AGB=2(90°-∠AGD)=2×(90°-35°)=110°

∵AG//EF

∴若∠C=35°，则∠α=∠AGB=110°

故选：C.

【分析】由菱形的性质可得∠F=∠C=35°，CD//EF，即得∠AGD=∠F=35°，又可得∠AGB=110°，再根据平行线的性质即可求解.2．【答案】B【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠BCD=180°−∠ABC=80°，在菱形ABCD中，AC为对角线，∠ABC=100°，则∠ACD=∠ACB=1在△CDE中，CD=CE，∠DCE=40°，则∠CDE=1故选：B．【分析】由于菱形是平行四边形，则由邻角互补可得∠BCD的值，又菱形的一条对角线平分一组对角，则可得∠ACD的值，再由等边对等角结合三角形的内角和定理即可．3．【答案】D【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB=8，∴CD=AB=8，∴当AM=DN时，四边形AMND是平行四边形，由题意得AM=t，CN=2t，∴DN=CD−CN=8−2t，∵AM=DN，∴t=8−2t，解得：t=8故答案为：D．

【分析】先求出当AM=DN时，四边形AMND是平行四边形，可得AM=t，CN=2t，再结合AM=DN，可得t=8−2t，最后求出t=84．【答案】D【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=CD=4,AB‖CD.由作图可知，直线MN为线段CD的垂直平分线，∴AE⊥CD,DE=CE=12CD=2,在∵AB∥CD，∴AE⟂AB,∴∠EAB=9在Rt△ABE中，由勾股定理得，BE=A故选：D.

【分析】由作图可知，直线MN为线段CD的垂直平分线，则AE⊥CD,DE=CE=15．【答案】B【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA【解析】【解答】解：①连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=CD=4，∠ADB=∠DBC=∴△ABD、△CBD均为等边三角形，AD=BD=4，又∵∠EBF=60°，即：∠ABE+∠EBD=∠EBD+∠DBF=60°，∴∠ABE=∠DBF，在△ABE和△BDF中，∠A=∠BDF∴△ABE≌△DBF(ASA)，∴BE=BF，故①正确；②·∵BE=BF，∠EBF=60°，∴△EBF为等边三角形，故②正确；③如图，过B作BG⊥AD于G，∴AG=DG=2，BG=∴∵△ABE≌△DBF，∴∵S四边形DEBF=S△DEB+S△DBF④∵△BEF为等边三角形，

当BE⊥AD时，BE最短，△BEF的面积最小，此时AE=DE=∴BE=同理可得：此时S∵∴S△DEF=43−∴正确的结论为：①②③.故选：B.【分析】①连接BD，根据菱形ABCD的性质及∠DAB=60°，可以得到△ABD为等边三角形，结合∠EBF=60°，可得∠ABE=∠DBF，可利用ASA判定△ABE≌△DBF，从而得到BE=BF；②根据BE=BF,∠EBF=60∘,即可得到△EBF为等边三角形；③根据S四边形DEBF=S△DEB+S△DBF及△ABE≅△DBF,可以得到S四边形DEBF=6．【答案】B【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是菱形，

所以AB=BC=AD，又∠ABC=60°，

因此比△ABC是等边三角形，

故∠BAC=60°，AC=AB=BC。

因为EF⊥AB，

所以△AEF是直角三角形，∠AFE=90°，∠EAF=60°，

则∠AEF=30°，设AE=x，由30°角所对直角边是斜边的一半，得AF=12AE=x2，再由勾股定理得EF=32x.

已知AE=BF，

所以BF=AE=x，

因此AB=AF+BF=xx+x=3x2，即BC=AB=3x2。

因为菱形ABCD中AD=AB=3x2，且ADIIBC，∠DAB=180°-∠ABC=120°，∠BAC=60°，

所以∠DAE=∠DAB-∠BAC=60°。

在△ADE中，AD=3x2，AE=x，∠DAE=60°，故答案为：B.【分析】本题利用菱形性质与60°角构造等边三角形，结合直角三角形边角关系设参数表示线段长，再用勾股定理计算DE长度，最终求出DE与BC的比值。7．【答案】D【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC=CD=AB=1.∵BD=1，∴AB=AD=BD.∴△ABD是等边三角形.∴∠A=∠ADB=∠C=∠DBC=60°.∵AE+CF=1，AE+DE=1，∴DE=CF.在△BED和△BFC中，DE=CF,∴△BED≌△BFC.∴BE=BF，∠EBD=∠FBC.∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF=∠DBC=60°.∴△BEF是等边三角形.根据等边三角形的面积公式得s=当点E与点A或点D重合时，BE最大，此时BE=1，此时s最大，且最大值为s=当BE⊥AD时，BE最小，则AE=12AB=12,所以s的取值范围为3故答案为：D.

【分析】利用菱形的性质和正三角形的特点可证得△BDE≅△BCF;继而可得△BEF为正三角形，然后根据点E与点A或点D重合时，BE最大；BE⊥AD时，BE最小，根据勾股定理解答即可.8．【答案】C【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质【解析】【解答】解：根据题意可知，Q在线段Q1Q2（不包括Q2）上，如图，

∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD，OB=OD，∵∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，∴OB=12BD=3，

∵四边形OBQ为平行四边形，

∴OB=PQ=BQ2，

∴DQ2=33，

当DQ'⊥Q1Q2时，此时DQ'最小，

∵∠Q'DQ2=30°，

∴Q'Q2=332，

∴DQ'=

【分析】先根据题意确定Q的运动轨迹，再根据菱形的性质和等边三角形的判定与性质可推出DQ2=339．【答案】22【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；菱形的性质【解析】【解答】作E点关于AD的对称点H，延长CD交AH的延长线于点M，

作AP⊥CD，DQ⊥AB，由对称可知，EF=HF，∠DAB=∠DAM，

又∵G为EC中点，

∴FG=12CH，

∵菱形ABCD面积为20，边长为5，

∴DQ=AP=4，

在△ADQ中，由勾股定理得，AQ=PA=3，

∵CD∥AB，且∠DAB=∠DAM，

∴∠MAD=∠MDA，

∴MA=MD，

设MP=x，则MA=MD=x+3，

由勾股定理得，MP2+PA2=MA2，

∴x2+42=（x+3）2，

∴x=76，

∴MA=MD=x+3=256，

当CH⊥AM时，此时CH取最小，即FG取最小，【分析】作E点关于AD的对称点H，延长CD交AH的延长线于点M，作AP⊥CD，DQ⊥AB，根据题意得FG为CH长的一半，由CD∥AB和∠DAB=∠DAM，可得△MAD为等腰三角形，设MP=x，利用勾股定理求出MA的长，在△AMC中，由等积法可求得CH的最小值，进而得解.10．【答案】18【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质【解析】【解答】解：如图①，∵四边形AEDF为菱形，∠BAC=120°，AE=18cm，∴∠DAE=∠DAF=12∠BAC=60°∴△ADE是等边三角形，∴AD=AE=18cm，如图②，设AD1交EF于点，∵AE=AF=18cm，∠BAC=60°，∴△AEF是等边三角形，∴EF=AE=18cm，∵∠D∴EH=FH=12EF=9cm∴∠AHE=90°，∴AH=A∵AE=DE，EF⊥AD∴D1∴AD∴DD故答案为：183【分析】本题先根据菱形的性质和已知角度判断图①中三角形形状求出AD，再通过等边三角形性质和勾股定理求出图②中AD1，最后由11．【答案】4【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理；菱形的性质【解析】【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N，过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，AB=14，∴BC=AB=CD=14，AD∥BC，∵菱形面积为5610∴BC⋅AM=5610∴14×AM=5610∴AM=410同理：AN=AM=410∵BE=CF，∴△ABE和△ACF等底等高，∴S∵四边形AECF的面积是△ABE面积的3.5倍，∴S∴S∴3∴EC=2.5×BE，∴BC=BE+EC=3.5×BE=14，∴BE=4，∴EC=2.5×BE=10，∵AD∥BC，AM⊥BC，AN⊥CD，根据平行线间的距离处处相等得：DH=AM=410在Rt△DCH中，由勾股定理得：CH=∴EH=EC+CH=10+6=16，在Rt△EDH中，由勾股定理得：ED=故答案为：426【分析】过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N，过点D作DH⊥BC，交BC延长线于点H，连接AC；根据菱形性质得出BC=AB=CD=14，AD∥BC，根据菱形面积公式结合建立方程求出AM的长，同理得到AN的长；根据等底等高三角形面积相等得S△ABE=S△ACF，进而得S△AEC=2.5×S△ABE，再根据三角形面积公式得EC=2.5×BE，由此得BE=4，12．【答案】2【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；三角形的中位线定理【解析】【解答】解∶如图所示∶连接AC交BD于点O，连接FO，取OC的中点H，连接HG和BH，∵在菱形ABCD中，O为AC中点，F为CE中点，BE=4，∴OF=1当B、F、E、D共线时，OF也为3，∵G为CF中点、H为OC中点，∴GH=∵在菱形ABCD中，且∠DAB=60°，AB=8，∴∠ABO=12∠ABC=30°，∠BOA=90°∴OB=1∴OC=OA=8∴OH=1∴BH=4∵BG≤BH+HG．∴BG≤27∴BG的最大值为27故答案为∶27【分析】连接AC交BD于点O，连接FO，取OC的中点H，连接HG和BH，利用菱形的性质及已知条件可求出OF的长，当B、F、E、D共线时，OF也为3，同时可求出GH的长，利用菱形的性质可求出∠ABO的度数及OB的长，利用勾股定理求出OC的长，可得到OH的长；再利用勾股定理求出BH的长；然后利用三角形的三边关系可知BG≤BH+HG，据此可求出BG的最大值.13．【答案】①②③【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；菱形的性质【解析】【解答】解：①如图：∵菱形ABCD

∴PB=PD，

∴CA平分∠BCD，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴PE=PF.

∴①正确，

②如图：延长EP交AD于F'，

∵菱形ABCD，

∴AD//BC，

∵PE⊥BC，

∴PF'⊥AD.

∵菱形ABCD，

∴DB平分∠ADC，

∵PF⊥CD，PF'⊥AD，

∴PF=PF’

∴PE+PF=PE+PF'=EF'=h.

∴②正确，

③∵菱形ABCD，

∴∠BAD=∠BCD，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴∠PEC+∠PFC=90°+90°=180°，

∴∠EPF+∠BCD=360°-(∠PEC+∠PFC)=180°，

∴∠EPF+∠BAD=180°

∴③正确，

④过C作CE'⊥AB，交BD于P，

∵PE=PE'，

∴CE'=CP+PE'=CP+PE.

∵CE'最小，

∴PE+PC最小.

∵AB=2，

∴BE'=12AB=1，

∴CE'=3BE'=3，

∴PE+PC最小值3.

∴④错误.

④过F作FG⊥PE，

设PE=x，

由②知PF=h-PE=2-x，

∵PF⊥CD，又∠PDF=30°，

∴∠DPF=60°，

∴∠GPF=180°-∠BPE-∠DPF=60°，

∴PG=12PF=1−12x，

∴GF=3PG=3

【分析】①运用菱形的对角线平分对角解答即可；②运用菱形的对称性解答即可；③运用姜形的对角相等解答即可；④利用垂线段最短解答即可；⑤设PE=x，再换算出GF=3−314．【答案】（1）证明：因为AO=OC，OB=OD，所以四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠2=∠ACB，因为∠1=∠2，所以∠1=∠ACB所以AB=CB，所以平行四边形ABCD是菱形（2）解：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，在Rt△ABO和Rt△EBO中，根据勾股定理得：OB2=AB2-AO2=BE2-OE2，设OE=x，因为AE=4，AB=6，EB=23，AO=4+x，所以62-（4+x）2=（23）2-x2，解得：x=1，所以AO=AE+OE=4+1=5．【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定，对角线互相平分，即AO=OC，OB=OD，即可得到四边形ABCD是平行四边形，即可得到AD∥BC，再利用平行线的性质，两直线平行，内错角相等，即可得到∠2=∠ACB，再根据∠1=∠2，等量代换即可得到∠1=∠ACB，利用等角对等边即可得到AB=CB，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得到平行四边形ABCD是菱形。

（2）根据菱形的性质，对角线互相平分且垂直，即可得到AC⊥BD，根据支架三角形勾股定理得OB2=AB2-AO2=BE2-OE2，再利用方程的思想，设OE=x，根据AE=4，AB=6，EB=23，AO=4+x，利用勾股定理得到62-（4+x）2=（23）2-x2，所以x=1，所以AO=AE+OE=4+1=5，即可得到答案。15．【答案】（1）①1400；164；②4（2）证明：∵四边形ABCD和四边形DCEF都是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=C