2024年河南省平顶山市中考数学二模试卷及答案

2024年河南省平顶山市中考数学二模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，最大的数是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣32．（3分）移动如图中的一个小正方体得到如图所示的几何体．移动前后几何体的三种视图不变的是（）A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和左视图3．（3分）白龟湖国家城市湿地公园是内陆城市淡水自然湖泊湿地的典型代表和城市湿地公园的匠心佳作，其湿地面积为4.97平方公里．已知1平方公里＝100公顷，1公顷＝100公亩，1公亩＝100平方米，则4.97平方公里等于（）A．49.7×105平方米 B．4.97×106平方米 C．4.97×107平方米 D．0.497×107平方米4．（3分）如图，直线m∥n，以点B为圆心，AB长为半径画弧交直线m于另一点C，若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．50° B．55° C．60° D．65°5．（3分）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x＝﹣1 B．x2+3x＝0 C．（x﹣2）2+1＝0 D．（x+1）（x﹣3）＝06．（3分）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，每个扇形内分别写有“我”“爱”“我”“家”字样．固定指针，转动两次转盘，指针所指区域的文字恰好能组成“爱家”的概率为（）A．14 B．18 C．1107．（3分）若一次函数y＝x+b的图象经过点（﹣1，2），则该图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（3分）如图，CD切⊙O于点D，OC交⊙O于点A，AB垂直平分OD．若AB=23，则线段OCA．23 B．4 C．439．（3分）如图，菱形OABC的顶点A在x轴上．CD⊥AB于点D，将菱形沿CD所在直线折叠，点B的对应点为B′．若∠AOC＝45°，点B′的横坐标为2，则点B的坐标为（）A．(22+2，2) B．（4，2） C．(2210．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，且AD＝8，AE＝2，点P为边AB上的动点，连接PE，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，点M是线段EF的中点，当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为（）A．14 B．15 C．16 D．17二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若a为整数，且1＜a＜2，写出a的一个值为：12．（3分）不等式组3≥1+x2(1-x)＜5的解集为13．（3分）某校为迎接“五四”青年节，举办了校园歌曲比赛．每名选手最后得分为去掉一个最高分和一个最低分后的平均分．已知七位评委给小萌的分数分别为：94，98，97，92，95，96，93，则小萌同学最后的得分为分．14．（3分）如图，折线AOBC是一段固定的栅栏，其上方为草场．已知OA⊥OB，OB＝6m，∠OBC＝120°．一条长度为12m的绳子，一头固定在点O处，另一头P栓着小羊．则小羊活动的最大区域面积为m2．（结果保留π）15．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠ABC＝90°，M为BC的中点，点P为平面内一动点，且PM＝BM，射线AP交BC于点D，在点P的运动过程中，当△BPC为等腰三角形时，BD的长为．三、解答题（本大题共8道小题，满分75分）16．（10分）计算与化简（1）计算：(1（2）化简：(117．（9分）如图，已知A（﹣1，0），B(0，3)，连接AB．将线段AB向右平移1个单位长度，点B的对应点C恰好落在反比例函数（1）求该反比例函数关系式．（2）设点P是x轴正半轴上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出∠POC的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）（3）连接BC，并延长BC与（2）中所作角平分线相交于点D．求证：AB＝CD．18．（9分）2024年4月22日是第五十五个“世界地球日”，某市团委在全市中小学生中，举办了“善待地球，我爱我家”为主题的征文比赛活动，对各校上报的参赛文章进行评分，小明将所在学校参赛选手的成绩（用x表示）分为四组：A组（60≤x＜70），B组（70≤x＜80），C组（80≤x＜90），D组（90≤x≤100），并绘制了如下所示的不完整统计图表．本校参赛选手的成绩频数统计表组别频数A组：60≤x＜704B组：70≤x＜80mC组：80≤x＜90nD组：90≤x≤10010本校参赛选手的成绩扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）统计表中，m＝，n＝．（2）扇形统计图中A组所对应圆心角的度数为；小明所在学校所有参赛选手的成绩的中位数一定在组范围内．（3）小明根据本校参赛选手的成绩，估计全市参赛的2000名选手中会有200名选手的成绩低于70分，实际上只有98名选手的成绩低于70分，请你分析小明估计不准确的原因．19．（9分）如图，某小区内有AB和CD两栋家属楼，竖直的移动支架EF位于两栋楼之间，且高为4m，点A，E，C在同一条直线上．当移动支架EF运动到如图所示的位置时，在点F处测得点B，D的仰角分别为45°、60°，点A的俯角为30°，此时测得支架EF到楼CD的水平距离EC为15m．求两楼的高度差．（结果精确到1m，参考数据：2≈1.41，320．（9分）如图1，线段AB的长度一定，现将线段首尾相连，围成正n边形（n≥3，且n为整数），已知正n边形的面积S（单位：cm）与边数n（单位：条）之间的关系如图2所示．（1）根据图中的信息，线段AB＝cm，当n＝6时，S＝cm2．（2）发现：观察图象，写出正n边形的面积S随边数n的变化趋势为．（3）猜想：把线段AB围成什么图形时面积最大，并求出最大面积．21．（9分）图1是某广场中的一个景观喷泉，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间立柱近似看作一条线，以其为y轴建立如图2所示直角坐标系，已知中间立柱顶端C到水面的距离为6m，喷水头D恰好是立柱OC的中点，若水柱上升到最高点E时，到水面的距离为4m，到中间立柱的距离为1m．（1）求图2中第一象限内抛物线的函数表达式．（2）为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米？22．（10分）在“五一”假期期间，为了回馈新老客户，某服装批发市场开展让利活动，规定购买服装总费用不超过300元按原价销售；若购买服装总费用超过300元，则超过部分的费用打八折．某服装店在让利活动前，购买了A，B两种型号的服装，若按让利活动价计算则可省150元．（1）问服装店在让利活动前购买这批服装花费多少元？（2）服装店在让利活动前购买的A，B两种型号服装中，A型号服装的数量为7件．两种服装的市场批发价和服装店售价如表：A型号服装B型号服装市场批发价（元/件）5070服装店售价（元/件）6590①请计算服装店销售完这两种型号服装获得的总利润．②由于季节的变换，A型号服装很快销售一空．在让利活动期间，服装店又购进m（m＞6）件A型号服装．设售完两次购进的所有服装，获得的总利润为W元．求出W与m的函数关系式，当两次销售的总利润不少于600元时，第二次购进A型号服装最少多少件？23．（10分）（1）阅读思考：问题：如图1，点P是等边△ABC边BC上一点，过点P作PD⊥AB于点D，点D关于BC的对称点为F，连接BF，FP，延长FP交AC于点E，探究线段EF与BC的数量关系．小明的思路如下：由对称性可得∠PBD＝∠PBF，∠PDB＝∠F＝90°．由等边三角形性质知，∠PBD＝∠C＝60°，则∠PBF＝∠C，所以BF和CE的位置关系为①_____，有∠PEC＝∠F＝90°．在Rt△PBF中有PF＝BP•sin60°=32BP，在Rt△PEC中有PE＝PC•sin60°=32PC，所以EF和BC的数量关系为EF＝填空：请在①和②两处填上正确的结论分别为、．（2）探究证明：如图2，小华同学将（1）的等边△ABC改为一般的等腰△ABC，已知AB＝AC，∠ABC＝α．PD交射线BA于点D，其它条件不变，请你猜想EF与BC的数量关系，并就图2说明理由．（结果包含α）（3）解决问题：如图3，在四边形中ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＝BC，∠BAD＝60°，∠ACD＝90°，CD=3，点P是射线AC上一点，过点P作EF⊥BC，分别交射线AD，BC于点E，F，连接DF．若DF=212

2024年河南省平顶山市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，最大的数是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣3【分析】根据实数比较大小的方法分析即可求解．【解答】解：∵2≈1.4∴2＞1＞0＞-3故最大的数是：2，故选：A．【点评】本题考查了实数的大小比较，正确估算无理数的大小是解题的关键．2．（3分）移动如图中的一个小正方体得到如图所示的几何体．移动前后几何体的三种视图不变的是（）A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和左视图【分析】根据图形，得出图形的三视图，进而进行判断．【解答】解：移动前的俯视图为：，主视图为：，左视图为，移动后的俯视图为：，主视图为，左视图为，所以移动前后几何体的三种视图不变的是俯视图故选：C．【点评】本题考查的是图形的三视图．熟练掌握三视图的定义是解题的关键．3．（3分）白龟湖国家城市湿地公园是内陆城市淡水自然湖泊湿地的典型代表和城市湿地公园的匠心佳作，其湿地面积为4.97平方公里．已知1平方公里＝100公顷，1公顷＝100公亩，1公亩＝100平方米，则4.97平方公里等于（）A．49.7×105平方米 B．4.97×106平方米 C．4.97×107平方米 D．0.497×107平方米【分析】用科学记数法表示即可，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．【解答】解：4.97平方公里＝4.97×106平方米，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）如图，直线m∥n，以点B为圆心，AB长为半径画弧交直线m于另一点C，若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．50° B．55° C．60° D．65°【分析】根据作图，得到AB＝CB，等边对等角，求出∠BAC的度数，再利用两直线平行的性质，即可求出∠2的度数．【解答】解：由作图可知：AB＝CB，∴∠BAC=∠BCA=1∵m∥n，∴∠2＝∠BAC＝65°，故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理及平行线的性质．熟练掌握等边对等角是解题的关键．5．（3分）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x＝﹣1 B．x2+3x＝0 C．（x﹣2）2+1＝0 D．（x+1）（x﹣3）＝0【分析】由偶次方非负性以及因式分解求一元二次方程的根，即可找出各选项中方程根的情况，即可得到答案．【解答】解：A、x2﹣2x＝﹣1化为：x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，有两个相等实数根，故符合题意；B、x2+3x＝0化为：（x+3）x＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝0，故不符合题意；C、（x﹣2）2+1＝0化为（x﹣2）2＝﹣1，故方程无实根，故不符合题意；D、由（x+1）（x﹣3）＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，故不符合题意故选：A．【点评】本题主要考查了因式分解法和配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．6．（3分）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，每个扇形内分别写有“我”“爱”“我”“家”字样．固定指针，转动两次转盘，指针所指区域的文字恰好能组成“爱家”的概率为（）A．14 B．18 C．110【分析】先列表得到所有的等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可．【解答】解：∵共被分成了均匀的4个区域，转到每个区域的机会相等，列表如下：我（A）爱（B）我（C）家（D）我（A）（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）爱（B）（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）我（C）（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）家（D）（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）所有的等可能的结果数有16种，符合条件的结果数有2种，∴指针所指区域的文字恰好能组成“爱家”的概率为216故选：B．【点评】本题考查的是利用列表法或画树状图的方法求解随机事件的概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．7．（3分）若一次函数y＝x+b的图象经过点（﹣1，2），则该图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】代入点（﹣1，2）求出b，再根据一次函数的性质，即可得到该函数图象不经过哪个象限．【解答】解：∵y＝x+b经过点（﹣1，2），∴将（﹣1，2）代入y＝x+b得：﹣1+b＝2，解得：b＝3，∴y＝x+3，∴该函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选：D．【点评】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是关键．8．（3分）如图，CD切⊙O于点D，OC交⊙O于点A，AB垂直平分OD．若AB=23，则线段OCA．23 B．4 C．43【分析】连接AD，根据垂直平分线的性质得到△AOD为等边三角形，可得∠AOD＝60°，再利用垂径定理得到AE=12AB=3，求得【解答】解：∵AB垂直平分OD，∴AO=AD，AE=1∵OA＝OD，∴△AOD为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∴OE=AE∴OD＝2OE＝2，∴OC＝2OD＝4，故选：B．【点评】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的边长关系，作出辅助线，熟练得到各线段的边长关系是解题的关键9．（3分）如图，菱形OABC的顶点A在x轴上．CD⊥AB于点D，将菱形沿CD所在直线折叠，点B的对应点为B′．若∠AOC＝45°，点B′的横坐标为2，则点B的坐标为（）A．(22+2，2) B．（4，2） C．(22【分析】根据点B′的横坐标为2，可得OE＝2，则可求得OC=CB=22，即可得到点B【解答】解：∵四边形OABC为菱形，∠AOC＝45°，∴∠B＝∠AOC＝45°，OC＝CB，∵CD⊥AB，菱形沿CD所在直线折叠，点B的对应点为B′，∴∠B′＝45°，∵∠OAB＝135°，∴∠EAB＝45°，∴OA⊥CB′，∵点B′的横坐标为2，∴OE＝2，∴CE＝OE＝2，∴OC=C∴CB=22则点B的坐标为(22故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，熟练利用相关性质得到菱形的边长是解题的关键．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，且AD＝8，AE＝2，点P为边AB上的动点，连接PE，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，点M是线段EF的中点，当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为（）A．14 B．15 C．16 D．17【分析】过M作GH⊥AD交AD于点G，交BC于点H，证明△EGM≌△FHM，得到MG＝MH，故点M的运动轨迹是一条平行于BC的线段，当点P与A重合时，BF1＝AE＝2，当点P与B重合时，由△EF1B∽△F2F1E得到28=8F1F【解答】解：过M作GH⊥AD交AD于点G，交BC于点H，如下图，∵点M是线段EF的中点，∴ME＝MF∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC，在△EGM和△FHM中，∠MGE=∠MHF=90°∠EMG=∠FMH∴△EGM≌△FHM（AAS），∴MG＝MH，故点M的运动轨迹是一条平行于BC的线段，当点P与A重合时，BF1＝AE＝2，当点P与B重合时，∠BEF2＝∠F2+∠EBF1＝90°，∠BEF1+∠EBF1＝90°，∴∠F2＝∠BEF1，∵∠EF1F2＝∠EF1B＝90°，∴△EF1B∽△F2F1E，∴BF1E解得F1F2＝32，∵M1、M2分别为EF1、EF2的中点，∴M1M2是△EF1F2的中位线，∴M1M2故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，点的轨迹，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若a为整数，且1＜a＜2，写出a的一个值为：【分析】将1，2可看作1，【解答】解：由题意可得1＜∴1＜a＜4，∵a为整数，∴a的值可为2，3，故答案为：2（答案不唯一）．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．12．（3分）不等式组3≥1+x2(1-x)＜5的解集为【分析】先求两个不等式的解集，再求两个解集的公共部分即可解答．【解答】解：解不等式3≥1+x，得x≤2，解不等式2（1﹣x）＜5，得x＞-3因此该不等式组的解集为：-3故答案为：-3【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键．13．（3分）某校为迎接“五四”青年节，举办了校园歌曲比赛．每名选手最后得分为去掉一个最高分和一个最低分后的平均分．已知七位评委给小萌的分数分别为：94，98，97，92，95，96，93，则小萌同学最后的得分为分．【分析】根据题意只需要计算出93、94、95、96、97这五个数的平均数即可得到答案．【解答】解：94+97+93+96+955∴小萌同学最后的得分为95分，故答案为：95．【点评】本题主要考查了求平均数，正确记忆相关知识点是解题关键．14．（3分）如图，折线AOBC是一段固定的栅栏，其上方为草场．已知OA⊥OB，OB＝6m，∠OBC＝120°．一条长度为12m的绳子，一头固定在点O处，另一头P栓着小羊．则小羊活动的最大区域面积为m2．（结果保留π）【分析】题意画出图象可知小羊活动的最大区域面积是扇形EOF和扇形EBM的面积和，利用扇形面积公式求解即可．【解答】解：由题可知，小羊活动的最大区域面积是扇形EOF和扇形EBM的面积和，如下图：∴OP＝12，BE＝OP﹣OB＝12﹣6＝6，∵∠OBC＝120°，∴∠EBM＝180°﹣∠OBC＝180°﹣120°＝60°，∴S扇形EOF+S∴小羊活动的最大区域面积为42πm2，故答案为：42π．【点评】本题考查扇形面积、垂线的定义，根据题意画出图象是解题关键．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠ABC＝90°，M为BC的中点，点P为平面内一动点，且PM＝BM，射线AP交BC于点D，在点P的运动过程中，当△BPC为等腰三角形时，BD的长为．【分析】由M为BC的中点，PM＝BM，可得PM＝BM＝CM＝2，则点P在以M为圆心，BC为直径的圆上运动，如图，当△BPC为等腰三角形时，BP＝CP，P为BC⌢的中点，PM⊥BC，PM=12BC=2，①当P在BC的右侧时，证明△PDM∽△ADB，则DMBD=PMAB，即2-BDBD=26，计算求解即可；②当P在BC的左侧时，如图P′，D′，连接BP′，CP′，同理，P′M⊥BC，P′M=12BC=2【解答】解：∵M为BC的中点，PM＝BM，∴PM＝BM＝CM＝2，∴点P在以M为圆心，BC为直径的圆上运动，如图，∴当△BPC为等腰三角形时，BP＝CP，P为BC⌢的中点，PM⊥BC∴PM=1①当P在BC的右侧时，∵∠PMD＝90°＝∠ABD，∠PDM＝∠ADB，∴△PDM∽△ADB，∴DMBD=PM解得，BD=3②当P在BC的左侧时，如图P′，D′，连接BP′，CP′，同理，P′M⊥BC，P′M=1∵∠P′MD′＝∠ABD′，∠P′D′M＝∠AD′B，∴△P′D′M∽△AD′B，∴MD′BD′=P′M解得，BD′＝3，综上所述，BD的长为32故答案为：32【点评】本题考查了圆，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．确定当△BPC为等腰三角形时，点P的位置是解题的关键．三、解答题（本大题共8道小题，满分75分）16．（10分）计算与化简（1）计算：(1（2）化简：(1【分析】（1）先求出(12)-1、（2）先进行因式分解同时对括号内进行通分运算，再算除法，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，最后约分得出结果．【解答】解：（1）原式＝2﹣（﹣2）+1＝5．（2）原式==2【点评】本题考查的是负次幂，立方根，0次幂，熟练掌握分式的化简运算是关键．17．（9分）如图，已知A（﹣1，0），B(0，3)，连接AB．将线段AB向右平移1个单位长度，点B的对应点C恰好落在反比例函数（1）求该反比例函数关系式．（2）设点P是x轴正半轴上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出∠POC的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）（3）连接BC，并延长BC与（2）中所作角平分线相交于点D．求证：AB＝CD．【分析】（1）首先根据平移的性质得到C的坐标为(1，3（2）利用尺规作角平分线的方法求解即可；（3）首先证明出四边形OABC为平行四边形，得到BC∥AO，然后根据等角对等边证明即可．【解答】（1）解：将点B(0，3)向右平移1个单位长度到点所以C的坐标为(1，3把点C代入反比例函数y=k得k=3即该反比例函数关系式为y=3（2）解：如图所示，射线OQ即为所求．（3）证明：由平移可知，AB∥OC，且AB＝OC，∴四边形OABC为平行四边形，∴BC∥AO，∴∠ODC＝∠POD．由作图可知，OQ平分∠POC，∴∠POD＝∠COD，∴∠ODC＝∠COD，∴OC＝CD，∴AB＝CD．【点评】此题考查了平移的性质，待定系数法求反比例函数解析式，尺规作角平分线，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．18．（9分）2024年4月22日是第五十五个“世界地球日”，某市团委在全市中小学生中，举办了“善待地球，我爱我家”为主题的征文比赛活动，对各校上报的参赛文章进行评分，小明将所在学校参赛选手的成绩（用x表示）分为四组：A组（60≤x＜70），B组（70≤x＜80），C组（80≤x＜90），D组（90≤x≤100），并绘制了如下所示的不完整统计图表．本校参赛选手的成绩频数统计表组别频数A组：60≤x＜704B组：70≤x＜80mC组：80≤x＜90nD组：90≤x≤10010本校参赛选手的成绩扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）统计表中，m＝，n＝．（2）扇形统计图中A组所对应圆心角的度数为；小明所在学校所有参赛选手的成绩的中位数一定在组范围内．（3）小明根据本校参赛选手的成绩，估计全市参赛的2000名选手中会有200名选手的成绩低于70分，实际上只有98名选手的成绩低于70分，请你分析小明估计不准确的原因．【分析】（1）先求出样本容量，进而求出m、n的值；（2）利用360°乘以A组的占比，中位数的定义即可得到答案；（3）根据抽样的要求分析即可得到答案．【解答】解：（1）样本容量：10÷25%＝40（人），m＝40×20%＝8，n＝40﹣4﹣10﹣8＝18，故答案为：8，18；（2）由（1）得，扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为：360°×4∵小明所在学校所有参赛选手的成绩的中位数是第20、21个数据，4+8＝12，4+8+18＝30，∴中位数一定在C组范围内，故答案为：36°，C；（3）由题意可得：小明估计不准确的原因：小明同学抽样的样本不具有随机性，不符合取样要求．【点评】本题考查数据统计分析，解题的关键是根据频数统计表与扇形统计图得到样本容量．19．（9分）如图，某小区内有AB和CD两栋家属楼，竖直的移动支架EF位于两栋楼之间，且高为4m，点A，E，C在同一条直线上．当移动支架EF运动到如图所示的位置时，在点F处测得点B，D的仰角分别为45°、60°，点A的俯角为30°，此时测得支架EF到楼CD的水平距离EC为15m．求两楼的高度差．（结果精确到1m，参考数据：2≈1.41，3【分析】过点F作MN⊥AB，分别交AB于点M，CD于点N，由题意可知，AM＝EF＝CN＝4m，CE＝FN＝15m，∠AFM＝30°，∠BFM＝45°，∠DFN＝60°．通过直角三角形中三角函数求出MF，BM，DN，最后DN﹣BM即可求出两楼的高度差．【解答】解：过点F作MN⊥AB，分别交AB于点M，CD于点N，由题意可知，AM＝EF＝CN＝4，CE＝FN＝15，∠AFM＝30°，∠BFM＝45°，∠DFN＝60°．在Rt△AMF中，由tan∠AFM=AM得MF=AM在Rt△BFM中，由∠BFM＝45°，得BM=MF=43m在Rt△DFN中，由tan∠DFN=DN得DN=FN⋅tan∠DFN=15×tan60°=153（m所以DN-BM=153-43答：两楼的高度差为19m．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．20．（9分）如图1，线段AB的长度一定，现将线段首尾相连，围成正n边形（n≥3，且n为整数），已知正n边形的面积S（单位：cm）与边数n（单位：条）之间的关系如图2所示．（1）根据图中的信息，线段AB＝cm，当n＝6时，S＝cm2．（2）发现：观察图象，写出正n边形的面积S随边数n的变化趋势为．（3）猜想：把线段AB围成什么图形时面积最大，并求出最大面积．【分析】（1）根据正方形的面积，求出周长即可得到AB＝12，再求出正六边形的周长和面积即可；（2）根据函数图象直接得到答案；（3）根据题意，线段AB围成圆形时面积最大，进而即可求解．【解答】解：（1）当n＝4时，图形为正方形，此时面积为9cm2，∴正方形的边长为3cm，周长为12cm，即AB＝12cm，当n＝6时，图形为正六边形，边长为12÷6＝2（cm），面积=6×3故答案为：12，63（2）由函数图象可知：S随n的增大而增大，故答案为：S随n的增大而增大；（3）线段AB围成圆形时面积最大．由2πr＝12得圆的半径r=6所以圆的面积S=πr【点评】本题考查多边形的面积和周长，圆的面积和周长，得出函数的性质：S随n的增大而增大是解答本题的关键．21．（9分）图1是某广场中的一个景观喷泉，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间立柱近似看作一条线，以其为y轴建立如图2所示直角坐标系，已知中间立柱顶端C到水面的距离为6m，喷水头D恰好是立柱OC的中点，若水柱上升到最高点E时，到水面的距离为4m，到中间立柱的距离为1m．（1）求图2中第一象限内抛物线的函数表达式．（2）为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米？【分析】（1）求出点D、E的坐标，利用顶点式假设出抛物线的解析式，再把D点坐标代入计算即可求解；（2）利用（1）中所得的二次函数解析式求出点B坐标，得出OB的长，根据AB＝2OB即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，OD=12∴点D的坐标为（0，3），由题意可得顶点E的坐标为（1，4），设该抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣1）2+4，把D（0，3）代入得，3＝a（0﹣1）2+4，解得a＝﹣1，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，即y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3，∴当y＝0时，有﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合，舍去），∴点B坐标为（3，0），∴OB＝3m，此时有AB＝2OB＝6m，答：圆形水池的直径不能小于6m．【点评】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键．22．（10分）在“五一”假期期间，为了回馈新老客户，某服装批发市场开展让利活动，规定购买服装总费用不超过300元按原价销售；若购买服装总费用超过300元，则超过部分的费用打八折．某服装店在让利活动前，购买了A，B两种型号的服装，若按让利活动价计算则可省150元．（1）问服装店在让利活动前购买这批服装花费多少元？（2）服装店在让利活动前购买的A，B两种型号服装中，A型号服装的数量为7件．两种服装的市场批发价和服装店售价如表：A型号服装B型号服装市场批发价（元/件）5070服装店售价（元/件）6590①请计算服装店销售完这两种型号服装获得的总利润．②由于季节的变换，A型号服装很快销售一空．在让利活动期间，服装店又购进m（m＞6）件A型号服装．设售完两次购进的所有服装，获得的总利润为W元．求出W与m的函数关系式，当两次销售的总利润不少于600元时，第二次购进A型号服装最少多少件？【分析】（1）根据题中关系列出一元一次方程即可；（2）①结合（1）中结论及表格数据即可求出总利润；②列出总利润关系式，再根据两次销售的总利润不少于600元，列出不等式即可求解．【解答】解：（1）设服装店在让利活动前购买这批服装花费x元，由题意得x﹣150＝300+0.8（x﹣300），解得：x＝1050．答：服装店在让利活动前购买这批服装花费1050元；（2）①A型号服装的费用：7×50＝350（元），购买B型号服装的费用：1050﹣350＝700（元），故购买B型号服装的数量：700÷70＝10（件），该服装店获得的总利润为：7×（65﹣50）+10×（90﹣70）＝305（元），答：服装店获得的总利润为305元；②由题意可得W＝305+65m﹣[300+0.8×（50m﹣300）]，化简得W＝25m+245，解不等式25m+245≥600，得m≥141因为m为正整数，所以的最小值为15．答：当两次销售利润不少于600元时，第二次购进A型服装的数量最少为15件．【点评】本题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程及总利润关系式．23．（10分）（1）阅读思考：问题：如图1，点P是等边△ABC边BC上一点，过点P作PD⊥AB于点D，点D关于BC的对称点为F，连接BF，FP，延长FP交AC于点E，探究线段EF与BC的数量关系．小明的思路如下：由对称性可得∠PBD＝∠PBF，∠PDB＝∠F＝90°．由等边三角形性质知，∠PBD＝∠C＝60°，则∠PBF＝∠C，所以BF和CE的位置关系为①_____，有∠PEC＝∠F＝90°．在Rt△PBF中有PF＝BP•sin60°=32BP，在Rt△PEC中有PE＝PC•sin60°=32PC，所以EF和BC的数量关系为EF＝填空：请在①和②两处填上正确的结论分别为、．（2）探究证明：如图2，小华同学将（1）的等边△ABC改为一般的等腰△ABC，已知AB＝AC，∠ABC＝α．PD交射线BA于点D，其它条件不变，请你猜想EF与BC的数量关系，并就图2说明理由．（结果包含α）（3）解决问题：如图3，在四边形中ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＝BC，∠B