2027届新高考数学热点精准复习概率与统计的综合问题

2027届新高考数学热点精准复习概率与统计的综合问题目录典型例题·精研析01知能演练·扣课标02典型例题·精研析01课堂互动关键能力提升题型一古典概型与统计【例1】

随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照

区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），

[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中

x

的值及身高在170

cm以上的学生人数；解：由频率分布直方图可知，5

x

＝1－5×（0.07＋0.04＋0.02

＋0.01），得

x

＝0.06.因此身高在170

cm以上的学生人数为100×（0.06×5＋0.04×5

＋0.02×5）＝60.（2）将身高在区间[170，175），[175，180），[180，185]内的学

生依次记为

A

，

B

，

C

三个组，用分层随机抽样的方法从三个组

中抽取6人，求从这三个组中分别抽取的学生人数；

（3）在（2）的条件下，要从6名学生中抽取2人，用列举法计算

B

组

中至少有1人被抽中的概率.解：在（2）的条件下，设

A

组的3名学生分别为

A1，

A2，

A3，

B

组的2名学生分别为

B1，

B2，

C

组的1名学生为

C1，则从6名学

生中抽取2人可能出现的样本点共15个，分别为：（

A1，

A2），

（

A1，

A3），（

A1，

B1），（

A1，

B2），（

A1，

C1），（

A2，

A3），（

A2，

B1），（

A2，

B2），（

A2，

C1），（

A3，

B1），

（

A3，

B2），（

A3，

C1），（

B1，

B2），（

B1，

C1），（

B2，

C1）.

通性通法古典概型与统计综合问题的解题策略

该类问题需要利用统计中频率分布表或频率分布直方图等统计图

表获取相关的数据信息，再利用样本估计总体的统计思想，解决生活

实践情境下的实际问题.具体步骤如下：（1）分析题意，构建（古典概型）数字模型；（2）由统计图表获取样本数据；（3）求解该事件的样本空间及含有该事件的样本点数，求出该事件

的概率；（4）用样本事件的概率估计总体事件的概率，从而解决问题.【跟踪训练】某市2024年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要

污染物为可吸入颗粒物）：61，76，70，56，81，91，92，91，75，

81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，

79，86，85，75，71，49，45.（1）作出频率分布表；解：频率分布表如下：分组频数频率[41，51）2[51，61）1分组频数频率[61，71）4[71，81）6[81，91）10[91，101）5[101，111]2（2）作出频率分布直方图；解：频率分布直方图如图所示.（3）根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；污染

指数在51～100之间时，空气质量为良；污染指数在101～150之

间时，空气质量为轻度污染；污染指数在151～200之间时，空

气质量为中度污染.从30天中任意选取一天，则这天空气质量为

优或良的概率是多少？

（4）请对该市的空气质量给出一个简短评价.解：答对下述两条中的一条即可.

题型二相互独立事件的概率与统计【例2】

为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，得到频率分布直方图如图所示.（1）如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球”

项目测试的人数；

（2）若测试数据与成绩之间的关系如下表：测试数据（单位：米）（0，6）[6，8）[8，12]成绩不合格及格优秀根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意

选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；解：设“从该市初二年级男生中任意选取一人，‘掷实心球’

成绩为优秀”为事件

A

.

由频率直方图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二

男生，成绩优秀的频率为（0.15＋0.05）×2＝0.4，由频率估计概率得

P

（

A

）＝0.4.（3）在（2）的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定

两人的成绩是否优秀之间没有影响，求两人中恰有一人“掷实

心球”成绩为优秀的概率.

【跟踪训练】10月1日，某品牌的两款新手机（记为

W

型号，

T

型号）同时投放市

场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机

调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表：

A

B

C

D

E

W

型号手机销量6613811

T

型号手机销量1291364若在10月1日当天，从

A

，

B

这两个手机店售出的新款手机中各随机抽

取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为

W

型号手机的概率.

知能演练·扣课标02课后巩固核心素养落地

12345678910111213141516

123456789101112131415162.

十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多

人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福.某课外兴

趣小组制作了一个正十二面体模型（如图），并在十二个面分别雕

刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2022年春节前，某兴趣

小组的甲、乙两位成员将模型随机抛出，希望能抛出虎的图案朝上

（即虎的图案在最上面），两人各抛一次，则恰好出现一次虎的图

案朝上的概率为（

）

12345678910111213141516

123456789101112131415164.

（2026春·广州期末）天气预报报道：端午节甲地降雨的概率是0.6，乙地降雨的概率是0.8．假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一地降雨的概率是（

）

A．0.2

B．0.48

C．0.52

D．0.9212345678910111213141516解析：

设事件A表示甲地降雨，事件B表示乙地降雨，

因为P（A）＝0.6，P（B）＝0.8，且事件A与事件B相互独立，

所以P（AB）＝P（A）P（B）＝0.48，

所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝0.6＋0.8－0.48＝0.92．

故选：D．123456789101112131415165.

在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通

电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是

（

）

12345678910111213141516

123456789101112131415166.

某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批

水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水

稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概

率为

⁠.解析：设事件

A

为水稻种子发芽，事件

B

为出芽后的幼苗成活，

则

P

（

A

）＝0.8，

P

（

B

）＝0.9，所以这粒水稻种子能成长为幼

苗的概率为

P

（

AB

）＝

P

（

A

）

P

（

B

）＝0.8×0.9＝0.72.0.72

123456789101112131415167.

为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层随机抽

样的方法从

A

，

B

，

C

三个区抽取7个工厂进行调查，已知

A

，

B

，

C

三个区分别有18，27，18个工厂.（1）求从

A

，

B

，

C

区分别抽取的工厂个数；

12345678910111213141516（2）若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，求

这2个工厂中至少有1个来自

A

区的概率.解：设

A1，

A2为在

A

区抽得的2个工厂，

B1，

B2，

B3为在

B

区抽得的3个工厂，

C1，

C2为在

C

区抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能出现的样本点有

（

A1，

A2），（

A1，

B1），（

A1，

B2），（

A1，

B3），（

A1，

C1），（

A1，

C2），（

A2，

B1），（

A2，

B2），（

A2，

B3），（

A2，

C1），（

A2，

C2），（

B1，

B2）